Równanie różniczkowe może wyglądać dość onieśmielająco, z mnóstwem fantazyjnych symboli matematycznych. Ale idea, która się za tym kryje, jest dość prosta:
Równanie różniczkowe określa, jak zmiana ("różniczka") jednej zmiennej wpływa na inne zmienne.
Na przykład symulacja pojedynczej sprężyny ma dwie zmienne: położenie bloku, x , i jego prędkość, v . Każda z tych zmiennych ma równanie różniczkowe, które mówi, jak zmienia się ta zmienna w czasie. Równanie różniczkowe dla położenia x to
x' = v
gdzie x' oznacza pochodną x po czasie (tempo zmiany x ). To równanie mówi, że
tempo zmiany położenia jest równe prędkości
To coś w rodzaju oczywistego stwierdzenia. Uważaj, następne równanie jest bardziej interesujące:
Wielkość rozciągnięcia (odkształcenia) sprężyny jest bezpośrednio związana z położenia bloku, x . Szczegóły można zobaczyć na stronie symulacji Pojedyncza sprężyna, ale z wykorzystaniem II zasady dynamiki Newtona F = m a jesteśmy w stanie zapisać równanie różniczkowe dla prędkości v jako
v' = −k x
gdzie k to stała sprężystości sprężyny (określa jej sztywność). Równanie to mówi, że
tempo zmiany prędkości jest proporcjonalne do położenia (ma przeciwny zwrot)
Na przykład, gdy położenie jest zerowe (tj. sprężyna nie jest ani rozciągnięta, ani ściśnięta), prędkość nie zmienia się. Ma to sens, ponieważ sprężyna nie działa w tym momencie żadną siłą.
Z drugiej strony, gdy położenie jest duże (tzn. sprężyna jest bardzo rozciągnięta lub ściśnięta), szybkość zmiany prędkości jest duża, ponieważ sprężyna działa dużą siłą.
Kiedy zaczynasz uczyć się matematyki, pracujesz nad uzyskaniem rozwiązań równań takich jak
x2 + 2 x + 1 = 0
które ma rozwiązanie x = −1 Dla równania różniczkowego rozwiązaniem nie jest pojedyncza wartość, ale funkcja. Zadanie polega na znalezieniu funkcji, której różne pochodne pasują do równania różniczkowego przez długi okres czasu. Na przykład,
| x'' + 2 x' + x = 0 | (1) |
jest równaniem różniczkowym, w którym celem jest znalezienie funkcji x(t) , która po podstawieniu jej i jej pochodnych do tago równania, spełnia je w dowolnym momencie t .
Ogólnym rozwiązaniem poprzedniego równania okazuje się być
| x(t) = a e−t + b t e−t | (2) |
gdzie e=2.71828... , a a, b są nieokreślonymi stałymi. Łatwo jest potwierdzić, że mamy rozwiązanie: wystarczy podstawić je do równania różniczkowego! W naszym przykładzie znajdujemy pierwszą i drugą pochodną (zobacz w Powtórce matematyki jak znaleźć te pochodne ... to całkiem proste!):
| x'(t) = (b − a)e−t − b t e−t | (3) |
| x''(t) = (a − 2 b)e−t + b t e−t | (4) |
Teraz podstawiamy te równania (2), (3) i (4) do lewej strony równania różniczkowego (1) i wykonujemy przekształcenia algebraiczne:
x'' + 2 x' + x =
= ((a − 2 b)e−t + b t e−t) + 2((b − a)e−t − b t e−t) + (a e−t + b t e−t)
= (a − 2 b + 2 b − 2 a + a)e−t + (b − 2 b +b) t e−t
= 0
Zatem rozwiązanie (2) spełnia równanie różniczkowe (1) dla dowolnych wartości a, b .
Rozwiązanie to nazywa się rozwiązaniem ogólnym ponieważ nie uwzględniliśmy jeszcze określonego zestawu warunków początkowych.
W powyższym przykładzie zostaliśmy z nieokreślonymi stałymi a, b . Jak możemy ustalić, ile wynoszą? Są one zależne od warunków początkowych, które są konkretnymi wartościami początkowymi zmiennych. Na przykład w symulacji pojedynczej sprężyny warunki początkowe to położenie początkowe i prędkość bloku w momencie t = 0 .
Dla przykładowego problemu powyżej, możemy ustalić warunki początkowe określające położenie x i prędkość x' w chwili t = 0 następująco
x(0) = 1
x'(0) = 0
Następnie możemy podstawić t = 0 do równań (2) i (3) powyżej, aby znaleźć wartości stałych a, b
x(0) = a + 0 = 1
x'(0) = (b − a) − 0 = 0
a zatem a = b = 1 , a rozwiązaniem szczególnym jest
x(t) = e−t + t e−t
To rozwiązanie nazywa się rozwiązaniem szczególnym ponieważ dotyczy tylko określonych warunków początkowych, które wybraliśmy.
Więcej informacji na temat równań różniczkowych:
Opublikowano po raz pierwszy w czerwcu 2001.