Szybkie przypomnienie dotyczące rachunku różniczkowego i trygonometrii, aby pomóc Ci cieszyć się matematyką w symulacjach fizycznych MyPhysicsLab.
Notacja pierwszej pochodnej funkcji x(t) , po czasie t :
x'
x'(t)
d⁄dt
x(t)
Wszystkie zapisy są równoważne. Zapis dla drugiej pochodnej to x'' lub x''(t) .
Niektóre podstawowe zasady obliczania pochodnych. W poniższych wzorach k i n są rzeczywistymi niezerowymi stałymi, a h(t) i g(t) są funkcjami zmiennej t .
Najpierw rozważmy potęgi t . Reguła ogólna to
d⁄dt t n = n t n − 1 dla każdego n ≠ 0
Kilka przykładów pochodnych funkcji potęgowych, z użyciem powyższej reguły:
d⁄dt t = 1
d⁄dt t 2 = 2 t
d⁄dt (t 3 + t 2 + t + 1) = 3t 2 + 2t + 1
d⁄dt 1⁄t = d⁄dt t −1 = − t −2 = −1⁄t 2
Kilka podstawowych reguł dotyczących obliczania pochodnych:
d⁄dt k = 0 (k = stała)
d⁄dt (k h(t)) = k d⁄dt h(t) (k = stała)
d⁄dt (h(t) + g(t)) = d⁄dt h(t) +
d⁄dt g(t)
d⁄dt (h(t) × g(t)) = h×g' + h'×g Pochodna iloczynu
Pochodne niektórych bardzo ważnych funkcji specjalnych
d⁄dt sin(t) = cos(t)
d⁄dt cos(t) = −sin(t)
d⁄dt e t = e t
d⁄dt ln(t) = 1⁄t Pochodna logarytmu naturalnego
Wszechstronna reguła dotycząca funkcji złożonej pozwala nam obliczać pochodną funkcji funkcji:
d⁄dt h(g(t)) = h'(g(t)) × g'(t)
Pochodna funkcji złożonej
Ważne jest, aby dobrze posługiwać się regułą obliczania pochodnej funkcji złożonej. Oto kilka przykładów zastosowania tej reguły w akcji:
d⁄dt sin(h(t)) = cos(h(t)) h'(t)
d⁄dt sin(t2) = 2 t cos(t2)
d⁄dt e h(t) = h'(t) e h(t)
d⁄dt e k t = k e k t (k = stała)
d⁄dt e t2 = 2 t e t2
d⁄dt ln(h(t)) = h'(t) ⁄ h(t)
| d⁄dt ( | 1 | ) = | − h'(t) |
| h(t) | h(t)2 |
Pochodna ilorazu funkci:
| d⁄dt ( | h(t) | ) = | g h' − h g' | Pochodna ilorazu |
| g(t) | g2 |
Korzystając ze wzoru na pochodną funkcji złożonej i iloczynu, możemy uzyskać wzór na pochodną ilorazu:
d⁄dt h(t)⁄g(t) = d⁄dt (h × 1⁄g) = h' × (1⁄g) + h × (−g'⁄g2) = (g h' − h g') ⁄ g2
Po pierwsze, uwaga na pewną mylącą notację: indeks górny −1 w funkcji trygonometrycznej oznacza funkcję odwrotną (a nie odwrotność tej funkcji! −1 nie jest tu wykładnikiem). W związku z tym
tg−1(x) = arctg(x)
podczas gdy
tg2(x) = (tg(x))2
Najlepszym sposobem, aby poczuć się komfortowo w trygonometrii, jest myślenie w kategoriach okręgu jednostkowego. Większość tych tożsamości staje się wtedy oczywista.
sin(−x) = −sin x
cos(−x) = cos x
tg(−x) = −tg x
sin x = cos(π⁄2 − x)
cos x = sin(π⁄2 − x)
sin(0) = 0
cos(0) = 1
sin(π⁄2) = 1
cos(π⁄2) = 0
sin(π) = 0
cos(π) = −1
sin(3 π⁄2) = −1
cos(3 π⁄2) = 0
sin(x + 2 nπ) = sin x n liczba całkowita
cos(x + 2 nπ) = cos x n liczba całkowita
Słynne twierdzenie Pitagorasa daje nam następującą tożsamość
cos2x + sin2x = 1
Wzory na funkcje trygonometryczne sumy i różnicy kątów
cos(x + y) = cos x cos y − sin x sin y
cos(x − y) = cos x cos y + sin x sin y
sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y
sin(x − y) = sin x cos y − cos x sin y
Opublikowano po raz pierwszy w kwietniu 2001 roku.