W studiowaniu równań różniczkowych jest coś w rodzaju botaniki. Uczysz się patrzeć na równania i klasyfikować je, zaliczając do określonej grupy. Powodem, dla którego to robimy, jest to, że techniki rozwiązywania równań różniczkowych są wspólne dla tych różnych grup klasyfikacji. Czasami można przekształcić równanie jednego typu w równanie równoważne innego typu, aby można było użyć łatwiejszych technik rozwiązywania. Oto niektóre z głównych rodzajów równań różniczkowych:
Na tej stronie zakładamy, że x i y są funkcjami czasu, t :
x = x(t)
y = y(t)
i pochodne są liczone po t
| d x | = x'(t) |
| d t |
Równanie różniczkowe zwyczajne ma dyskretny (skończony) zbiór zmiennych (funkcje i ich pochodne, z jedną zmienną niezależną). Na przykład w wahadle prostym, występują dwie zmienne: kąt i prędkość kątowa.
Równanie różniczkowe cząstkowe ma nieskończony zbiór zmiennych (dwie lub więcej zmiennych niezależnych), które odpowiadają wszystkim położeniom na linii, powierzchni czy obszarze przestrzeni. Na przykład w symulacji struny mamy ciągły zbiór zmiennych wzdłuż struny odpowiadających przemieszczeniu struny w każdym z jej punktów. W praktyce przybliżamy nieskończony zbiór zmiennych skończonym zbiorem zmiennych rozłożonych na strunie (lub powierzchni lub objętości) w określonych położeniach.
W przypadku równań różniczkowych zwyczajnych, każda zmienna ma odrębne równanie różniczkowe z wykorzystaniem „zwyczajnych” pochodnych. W przypadku równań różniczkowych cząstkowych, mamy tylko jedno „cząstkowe” równanie różniczkowe dla każdego wymiaru.
Rząd równania różniczkowego jest równy najwyższej pochodnej w równaniu. Symbole prim (′), bis (″), ter (‴) oznaczają kolejne pochodne (począwszy od czwartej - liczby arabskie w nawiasie). Czyli x' to pierwsza pochodna, a x'' to druga pochodna.
x' = 1/x jest pierwszego rzędu
x'' = −x jest drugiego rzędu
x'' + 2 x' + x = 0 jest drugiego rzędu
Liniowy oznacza tylko, że zmienna w równaniu pojawia się tylko z potęgą o wykładniku jeden. Zatem x jest liniowe, ale x2 jest nieliniowe. Również każda funkcja, jak cos(x) jest nieliniowa.
W matematyce i fizyce, liniowe na ogół oznacza „proste”, a nieliniowe „skomplikowane”. Teoria rozwiązywania równań liniowych jest bardzo dobrze rozwinięta, ponieważ równania liniowe są wystarczająco proste, aby można je było rozwiązać. Równania nieliniowe zwykle nie mogą być rozwiązane dokładnie i są przedmiotem wielu badań. Oto krótki opis rozpoznawania równania liniowego.
Przypomnijmy wzór funkcji liniowej
y = m x + b
gdzie m, b to stałe ( m to współczynnik kierunkowy - tangens kąta nachylenia prostej do osi x, a b to wyraz wolny - rzędna punktu przecięcia prostej z osią y ). W równaniu różniczkowym, gdy zmienne i ich pochodne są mnożone tylko przez stałe, równanie jest liniowe. Zmienne i ich pochodne muszą zawsze występować w pierwszej potędze. Oto kilka przykładów.
x'' + x = 0 jest liniowe
x'' + 2x' + x = 0 jest liniowe
x' + 1/x = 0 jest nieliniowe, bo 1/x nie jest pierwszą potęgą
x' + x2 = 0 jest nieliniowe, bo x2 nie jest pierwszą potęgą
x'' + sin(x) = 0 jest nieliniowe, bo sin(x) nie jest pierwszą potęgą
x x' = 1 jest nieliniowe, bo x' nie jest mnożone przez stałą
Podobne zasady dotyczą problemów wielu zmiennych.
x' + y' = 0 jest liniowe
x y' = 1 jest nieliniowe, bo y' nie jest mnożone przez stałą
Należy jednak pamiętać, że wyjątkiem jest zmienna niezależna, czas t (zmienna, względem której różniczkujemy). Możemy mieć dowolną zwariowaną nieliniową funkcję t w równaniu, ale wciąż mieć równanie, które jest liniowe względem x .
x'' + 2 x' + x = sin(t) jest liniowe względem x
x' + t2x = 0 jest liniowe względem x
sin(t) x' + cos(t) x = exp(t) jest liniowe względem x
Zobacz artykuł w Wikipedii Równania różniczkowe liniowe (en), aby uzyskać więcej szczegółów.
To kolejny sposób klasyfikowania równań różniczkowych. Te fantazyjne terminy w równaniach poniżej sprowadzają się do stwierdzenia czy występuje wyrażenie zawierające tylko czas, t (pokazane po prawej stronie równań).
x'' + 2_x' + x = 0 jest jednorodne
x'' + 2_x' + x = sin(t) jest niejednorodne
x' + t2x = 0 jest jednorodne
x' + t2x = t + t2 jest niejednorodne
Niejednorodna część równania to wyrażenie, w którym występuje tylko czas. W modelu fizycznym zazwyczaj odpowiada członowi wymuszającemu. Na przykład w drganiach wymuszonych wahadła związany byłby z silnikiem napędzającym wahadło.
Opublikowano po raz pierwszy w czerwcu 2001 roku.