Symulacja pokazuje pojedynczą masę na sprężynie, która jest zaczepiona o ścianę. Jest to przykład prostego oscylatora harmonicznego.
Można zmienić masę bloku, współczynnik sprężystości sprężyny i opór (tłumienie). Można przeciągnąć masę za pomocą myszy, aby zmienić położenie początkowe.
Zależności matematyczne użyte w symulacji są pokazane poniżej.
Problemy
Spróbuj, wykorzystując wykres i zmieniając parametry, takie jak masa lub sztywność sprężyny, odpowiedzieć na następujące pytania:
- Jaki jest związek między przyspieszeniem i położeniem?
- Jak masa i sztywność sprężyny wpływa na zależność między przyspieszeniem a położeniem?
- Jak masa i sztywność sprężyny wpływa na okres i częstotliwość oscylacji?
Znajdziesz odpowiedzi poniżej.
Fizyka
Definiujemy następujące zmienne i stałe
- x = położenie bloku
- v = x' = prędkość bloku
- m = masa bloku
- R = długość spoczynkowa sprężyny
- k = współczynnik sprężystości sprężyny
- b = stała tłumienia (oporu)
Sprężyna działa siłą proporcjonalną do jej rozciągnięcia (w przeciwnym kierunku)
Fsprężystości = −k × odkształcenie
Jeśli tak dostosujemy układ współrzędnych, żeby x = 0 odpowiadało sprężynie nieodkształconej, wtedy odkształcenie sprężyny jest po prostu równe x . Siła z jaką działa sprężyna wyrazi się wówczas wzorem
Fsprężystości = − k x
Ponadto uwzględniamy siłę tłumienia (oporu), która przeciwdziała ruchowi. Jest ona proporcjonalna do prędkości. Więc dodajemy Ftłumienia = −b v , aby uzyskać wypadkową siłę
F = Fsprężystości + Ftłumienia = − k x − b v
Łącząc to z drugą zasadą dynamiki Newtona F = m a i uwzględniając definicję przyspieszenia jako drugiej pochodnej położenia a = x'' otrzymujemy równanie różniczkowe:
m x'' = −k x − b v
lub równoważnie:
| x'' = − k⁄m x − b⁄m x' | (1) |
Równanie (1) to równanie ruchu ciała doczepionego do sprężyny, określające dokładnie, co dzieje się w miarę upływu czasu.
Można zobaczyć tę zależnośc z równania (1), jeśli włączymy wykres w symulacji. Załóżmy, że nie ma tłumienia (ustaw tłumienie na zero). Następnie, jeśli ustawimy wykres zależności przyspieszenia względem położenia, otrzymamy linię prostą, o tangensie kąta nachylenia (współczynik kierunkowy funkcji liniowej) = −k/m . Czyli jeśli zwiększysz sztywność sprężyny, linia będzie bardziej stroma. Jeśli zwiększysz masę, nachylenie się zmniejszy.
Rozwiązanie numeryczne
Aby rozwiązać to równanie numerycznie (z użyciem komputera) stosujemy metodę Rungego-Kutty. Aby to zrobić, musimy przekonwertować równanie różniczkowe (1) drugiego rzędu na zestaw równań różniczkowych pierwszego rzędu. Zauważ, że możemy zapisać przyspieszenie jako pierwsza pochodną prędkości: x'' = v' . Dlatego możemy wyrazić równanie (1) jako układ dwóch równań różniczkowych pierwszego rzędu:
x' = v
v' = − k⁄m x − b⁄m v
Jest to forma, której potrzebujemy, aby użyć metody Rungego-Kutty do numerycznego rozwiązania równania różniczkowego.
Aby rozpocząć symulację, inicjalizujemy dwie zmienne x,v dla ich wartości w momencie t=0 . Następnie wykorzystujemy algorytm Rungego-Kutty do obliczenia wartości x,v po krótkim odstępie czasu i tak kontynuujemy w nieskończoność.
Rozwiązanie analityczne
Rozwiązywanie analityczne wykorzystuje matematykę do znalezienia rozwiązania, zamiast brutalnej siły komputera. Zaletą jest to, że z rozwiązania analitycznego uzyskujemy nieco większy wgląd, zamiast konieczności analizowania ogromnej liczby danych, które pochodzą z rozwiązania numerycznego.
Przy braku tłumienia ( b = 0 ) i początkowo spoczywającym bloku, rozwiązaniem analitycznym jest
$$x(t) = x_0 \cos(\sqrt{k/m} \; t)$$
gdzie x0 = początkowe położenie bloku i t = czas. Okres oscylacji to czas trwania jednego cyklu ruchu. Z rozwiązania widzimy, że oscylacja powtarza się, gdy \(\sqrt{k/m} \; t = 2 \pi\), a więc okres to
$$T = 2 \pi \sqrt{m/k}$$
Częstotliwość jest odwrotnością okresu:
$$częstotliwość = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{k/m}$$
Możemy więc przewidywać, że
- czterokrotne zwiększenie masy podwaja okres i zmniejsza o połowę częstotliwość;
- czterokrotne zwiększenie współczynnika sprężystości dwukrotnie zmniejsza okres i podwaja częstotliwość;
Możesz sprawdzić te prognozy, modyfikując parametry symulacji (użyj stopera do wyznaczenia częstotliwości).
Możesz wyświetlić stronę z wyprowadzeniem rozwiązania analitycznego.
Odpowiedzi
Jaki jest związek między przyspieszeniem i położeniem?
Odpowiedź: Jest to zależność liniowa dana równaniem
x'' = − k⁄m x
gdzie x = położenie, x'' = przyspieszenie, m = masa, a k = współczynnik sprężystości.
Jak masa i sztywność sprężyny wpływa na zależność między przyspieszeniem a położeniem?
Odpowiedź: Z równania
x'' = − k⁄m x
wiemy, że istnieje prosta liniowa zależność między przyspieszeniem a położeniem. Masa i współczynnik sprężystości wpływają na współczynnik kierunkowy prostej.
- Zwiększenie masy bloku powoduje, że linia jest mniej stroma.
- Zwiększenie współczynnika sprężystości sprężyny powoduje, że linia jest bardziej stroma.
Jak masa i sztywność sprężyny wpływa na okres i częstotliwość oscylacji?
Odpowiedź: Rozwiązaniem analitycznym jest
$$x(t) = x_0 \cos(\sqrt{k/m} \; t)$$
gdzie częstotliwość jest dana przez
$$częstotliwość = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{k/m}$$
Możemy więc przewidywać, że
- czterokrotne zwiększenie masy podwaja okres i zmniejsza o połowę częstotliwość;
- czterokrotne zwiększenie współczynnika sprężystości dwukrotnie zmniejsza okres i podwaja częstotliwość;
Jednostki miary
Symulacje myPhysicsLab nie mają określonych jednostek miary, takich jak metry, kilogramy, sekundy. Jednostki są bezwymiarowe, mogą być interpretowane, jak chcesz, ale muszą być spójne w symulacji.
Na przykład, jeśli traktujemy jednostkę odległości jako jeden metr i jednostkę czasu jako jedną sekundę, to jednostka prędkości musi wynosić jeden metr/sekundę.
Opublikowano po raz pierwszy w kwietniu 2001 roku.
