Ta tożsamość trygonometryczna pokazuje, że kombinacja funkcji sinus i cosinus może być zapisana jako pojedyncza funkcja sinus przesunięta w fazie.
$$a \cos{t} + b \sin{t} = \sqrt{a^2 + b^2} \; \sin(t + \operatorname{arctg} \frac{a}{b}) $$
dla b ≠ 0 i − π⁄2 < arctg a⁄b < π⁄2
Przesunięcie fazowe równe arctg a⁄b , powoduje przesunięcie wykresu funkcji sinus w lewo lub w prawo.
Aby wyprowadzić tą tożsamość trygonometryczną, założymy, że kombinację a cos(t) + b sin(t) można zapisać w postaci c sin(K + t) dla nieznanych stałych c, K .
a cos(t) + b sin(t) = c sin(K + t)
a cos(t) + b sin(t) = c sin(K) cos(t) + c cos(K) sin(t)
Użyliśmy wzoru na sinus sumy kątów, aby rozwinąć prawą stronę powyżej. Aby równość zachodziła dla dowolnej wartości t , współczynniki cos(t) i sin(t) po lewej i prawej stronie równania muszą być sobie równe.
a = c sin(K)
b = c cos(K)
Rozwiązanie tego układu równań prowadzi nas do
c = ± √(a2 + b2)
K = arctg a⁄b
Tak więc tożsamość trygonometryczna dla b ≠ 0 to
a cos(t) + b sin(t) = ± √(a2+b2) sin(t + arctg a⁄b)
Jeśli ograniczyliśmy arcus tangens do
− π⁄2 < arctg a⁄b < π⁄2 ,
to zawsze możemy wybrać + przed pierwiastkiem kwadratowym.