Bryła sztywna - siły kontaktowe

---

Spróbuj zmienić układ klocków, aby opierały się o siebie pod różnymi kątami lub układaj jeden na drugim. Zobaczysz, że są bardzo śliskie i ciężko jest ułożyć stos! Wynika to z faktu, że w tej symulacji nie występuje tarcie kontaktowe.

Siły kontaktowe są pokazane jako czerwone linie, które pojawiają się w rogach obiektów. Siły kontaktowe występują w parach (równe co do wartości i przeciwnie skierowane), ale tutaj pokazano tylko jedną z każdej pary.

Informacje na temat tarcia i tłumienia: w tej symulacji na styku między obiektami nie występuje żadne tarcie, dzięki czemu mogą łatwo przesuwać się względem siebie. Parametr tłumienia, który można zmodyfikować, ma związek z ruchem obiektów w przestrzeni -- przyjmujemy, że obiekty poruszają się w ośrodku lepkim.

Jak obliczyć siły kontaktowe – przegląd

Może cię zaskoczyć, że umieszczenie spoczywających przedmiotów na podłodze to bardzo trudny problem!

Jest tak dlatego, że siły kontaktowe są trudne do wyrażenia. Inne siły są znacznie prostsze, ponieważ zależą tylko od położenia jednego lub dwóch obiektów. Na przykład siła działania sprężyny między dwoma przedmiotami zależy tylko od położenia punktów końcowych sprężyny. Ale siły kontaktowe między obiektami zależą w dość złożony sposób od wszystkich pozostałych sił działających na te obiekty i tego, w jaki sposób stykają się ze sobą.

Opisane tutaj oprogramowanie (klasa o nazwie ContactSim) do obliczania sił kontaktowych ściśle współpracuje z oprogramowaniem, które obsługuje zderzenia, patrz Bryła sztywna - zderzenia. To oprogramowanie (nadklasa o nazwie ImpulseSim) zajmuje się kolizjami. W rezultacie nie powinno dojść do zderzenia, gdy kod siły nacisku jest aktywny, ponieważ kod zderzenia wykrywa kolizje, cofa się w czasie tuż przed i przykłada odpowiedni impuls, powodujący odbijanie się obiektów (zmienia zwroty ich prędkości). Nadklasa oblicza również wpływ działających na obiekty sił zewnętrznych, takich jak siły grawitacyjne, ciągu, sprężystści i tłumienia. (Co ciekawe, to te siły zewnętrzne powodują pojawienie się sił kontaktowych: bez nich nie byłoby sił popychających obiekty do siebie.)

Chodzi o to, aby obliczyć dokładną siłę potrzebną przy każdym zetknięciu, aby tylko zapobiec przenikaniu się obiektów. Siły te są obliczane w metodzie ewaluacji klasy ContactSim, która jest wielokrotnie wywoływana przez układ rozwiązywania równań różniczkowychw celu znalezienia przyspieszeń obiektów. Solver równania różniczkowego wykorzystuje te informacje do postępu stanu układu w czasie. Na wstępie tej metody ewaluacji mamy dane aktualne pozycje i prędkości każdego obiektu, co jest niezbędne do ustalenia, gdzie znajdują się punkty styku i geometrii sił kontaktowych między obiektami.

Najpierw znajdujemy wszystkie kontakty spoczynkowe między obiektami. Kryteria są następujące: róg musi znajdować się bardzo blisko krawędzi i poruszać się bardzo powoli (w kierunku prostopadłym do krawędzi). Korzystając z tych kryteriów, tworzymy listę punktów kontaktowych. Dla każdego styku gromadzimy informacje, takie jak: które dwa obiekty są w kontakcie, jaka jest normalna (wektor prostopadły) do krawędzi, jak się ma punkt styku do każdego obiektu itp.

Rozważmy dwa stykające się obiekty przedstawione na rysunku. Punkt kontaktowy ciała 1 to wierzchołek oznaczony p₁ , punkt kontaktowy ciała 2 znajduje się na krawędzi i jest oznaczony p₂ . Niech d będzie odległością między dwoma punktami, tak że d = |p₁ − p₂| . Niech n będzie wektorem normalnym wskazującym na zewnątrz ciała 2 (prostopadłym do jego krawędzi). Na schemacie poniżej widzimy dwie siły wzajemnego działania, przyłożone w punkcie styku. Siła kontaktowa f n działa na ciało 1, zapobiegając jego przenikaniu do ciała 2. Zgodnie z trzecią zasadą dynamiki Newtona działa także (równa co do wartości, ale o przeciwnym zwrocie) siła −f n, przyłożona do ciała 2, zapobiegająca jego przenikaniu do ciała 1.

Chcemy znaleźć (obecnie nieznane) siły kontaktowe, takie jak f n ,które ledwo powstrzymają obiekty przed przyspieszaniem do siebie, przeciwdziałając wszystkim innym siłom (takim jak grawitacja), które mają tendencję do zsuwania obiektów razem.

Koncentrujemy się na odległości kontaktowej d , odstępie między punktami kontaktu. Ponieważ przedmioty stykają się, to d = 0 (w granicach tolerancji numerycznej). Wartość d < 0 wskazywałaby, że obiekty się przenikają. Wartość d > 0 wskazywałaby, że obiekty nie stykają się, lecz są oddzielone odległością d .

Szybkość zmiany odległości kontaktowej jest prędkością d' . Ponieważ obiekty są w kontakcie spoczynkowym, mamy d' = 0 (w granicach tolerancji numerycznej). Było to jedno z kryteriów wyboru zestawu spoczynkowych punktów kontaktowych. Zauważ, że obiekty mogą się przesuwać względem siebie, ponieważ istotny dla nas jest tylko ruch w kierunku normalnym (prostopadłym do krawędzi).

Najbardziej interesuje nas d'' , przyspieszenie szczeliny. Bez sił kontaktowych stwierdzimy, że dla większości punktów kontaktowych d'' < 0, co oznacza, że obiekty wpadając na siebie, będą się przenikały.

Obliczanie sił kontaktowych jest dość trudne, ponieważ wszystkie są ze sobą powiązane. Jest tak, ponieważ możemy mieć złożony układ obiektów spoczywających na sobie. Rozwiązanie polega na znalezieniu zestawu równań, które dokładnie odzwierciedlają wpływ każdej siły nacisku na każdą szczelinę. Następnie rozwiązujemy równania, aby znaleźć siły, które dokładnie ustawiają d'' = 0 w każdym punkcie styku. W rzeczywistości dopuszczamy również wartość d'' > 0, co oznacza, że obiekty się rozdzielają, a zatem nie ma siły nacisku na tym konkretnym styku.

Po znalezieniu dokładnych sił na każdym styku, zachowujących kontakty spoczynkowe (zapobiegających przyspieszaniu obiektów w siebie), przykładamy teraz te siły do każdego obiektu. Powoduje to zmianę ich przyspieszeń. Uwzględniamy to w solverze równań różniczkowych, który rozwija ewolucję symulacji w czasie przy użyciu tych nowych przyspieszeń. Ale teraz te przyspieszenia są modyfikowane tak, aby obiekty pozostały w kontakcie spoczynkowym, zgodnie z potrzebami.

Obliczanie sił kontaktowych - szczegółowo

Ten program do obliczania sił kontaktowych nazywa się ContactSim; jest jest to podklasa klasy ImpulseSim, opisanej na stronie Bryła sztywna - zderzenia. To co poniżej opiera się na tych wyjaśnieniach.

Zastosowane tutaj algorytmy oparte są na dwóch artykułach autorstwa Davida Baraffa:

• [Baraff-1] David Baraff, An Introduction to Physically Based Modeling: Rigid Body Simulation II - Nonpenetration Constraints. Są to notatki z wykładu z Physically Based Modeling: Principles and Practice (Online Siggraph '97 Course Notes). Zauważ, że na stronie D62 występuje błąd typograficzny: w kilku miejscach, w których widzisz "a force of j n_j(t₀)", powinno być "a force of f_j n_j(t₀)".
• [Baraff-2] David Baraff. Fast contact force computation for nonpenetrating rigid bodies. Computer Graphics Proceedings, Annual Conference Series: 23-34, 1994. 12 pages.

Zobacz także Wahadło - siły reakcji, prostszy przykład obliczania sił kontaktowych za pomocą matematyki pokazanej na tej stronie.

Załóżmy, że mamy zestaw n kontaktów w określonej (ale dowolnej) kolejności. Definiujemy następujące zmienne:

• n = liczba kontaktów.
• d_i'' = przyspieszenie odległości kontaktowej i-tego kontaktu.
• a = n-elementowy wektor przyspieszeń odległości kontaktowych, taki że a_i = d_i''
• f = n-elementowy wektor wartości sił kontaktowych (do ustalenia)
• b = n-elementowy wektor podający przyspieszenia odległości kontaktowych wynikające z działania sił zewnętrznych (grawitacja, siła ciągu, itp.).
• A = macierz n × n, która określa, w jaki sposób siły kontaktowe wpływają na przyspieszenie odległości kontaktowych
• a_{i j} = element macierzy A w i-tym wierszu i j-tej kolumnie.

Naszym celem jest utworzenie i rozwiązanie (z zastrzeżeniem pewnych ograniczeń) równania macierzowego

a = A f + b

(1)

Wyraz a_{i j} macierzy mówi, o ile zmieni się d_i'' z powodu jednostkowej zmiany f_j. Jeśli wykonamy mnożenie macierzy w równaniu (1) zobaczymy, że przyspieszenie i-tej odległości kontaktowej jest dane przez

di'' = ai 1 f1 + ai 2 f2 +. . . + ai j fj + . . . + ai n fn + bi

(2)

To mówi, że przyspieszenie i -tej odległości kontaktowej jest funkcją sił kontaktowych f₁, f₂,..., f_n i sił zewnętrznych w bi. Możemy ustalić a_{i j} i b_i (patrz poniżej). Wartości d_i'' muszą wychodzić zerowe lub dodatnie, ponieważ obiekty nie mogą przyspieszać do siebie (są to bryły sztywne, które się nie przenikają). Zatem jedynymi niewiadomymi są siły kontaktowe f_i i możemy rozwiązać układ równań, aby je znaleźć.

Aby zilustrować sposób obliczania macierzy A i wektora b, rozważmy powyższy rysunek. Mamy tu 5 ciał, pozostających w kontakcie spoczynkowym w 4 punktach kontaktowych, oraz pokazano wypadkowe siły kontaktowe. (Zauważ, że wektory normalne n_i są zawsze prostopadłe do krawędzi i zgodnie z konwencją skierowane na zewnątrz obiektu; to określa, które siły mają znaki minus). Punkty styku są ponumerowane zgodnie z siłami kontaktowymi, tak że siła f₁ n₁ działa w punkcie 1, itd. Skupiając się na styku 2 (między ciałami 1 i 2), z równania (2) możemy zapisać

d2'' = a2,1 f1 + a2,2 f2 + a2,3 f3 + a2,4 f4 + b2

(3)

Zastanówmy się, co wpływa na przyspieszenie odległości kontaktowej d₂''. Wszystko, co przyspiesza ciało 1 lub ciało 2, może wpływać na d₂''. Oto lista tych źródeł przyspieszenia d₂'' i gdzie występują w równaniu (3).

• Dla wszystkich sił nie-kontaktowych (grawitacja, ciąg itp.) działających obecnie na ciało 1, obliczamy, jakie jest wynikające z tego przyspieszenie narożnika ciała 1 na styku 2; uwzględnione to jest w b₂ .
• Podobnie w przypadku wszystkich sił nie-kontaktowych (grawitacja, ciąg itp.) działających obecnie na ciało 2, obliczamy, jakie jest wynikające z tego przyspieszenie punktu ciała 2 na styku 2; uwzględnione to jest w b₂ .
• W odniesieniu do siły kontaktowej f₁ n₁ , dla jednostkowej zmiany f₁ obliczamy, jakie byłoby wynikające stąd przyspieszenie punktu ciała 2 na styku 2; uwzględnione to jest w a_2,1 .
• W odniesieniu do siły kontaktowej f₂ n₂ , dla jednostkowej zmiany f2 obliczamy, jakie byłoby wynikające stąd przyspieszenie rogu ciała 1 na styku 2; uwzględnione to jest w a_2,2 .
• W odniesieniu do siły kontaktowej −f₂ n₂ , dla jednostkowej zmiany f₂ obliczamy, jakie byłoby wynikające stąd przyspieszenie punktu ciała 2 na styku 2; dołożone jest to do a_2,2 .
• W odniesieniu do siły kontaktowej −f₃ n₃ , dla jednostkowej zmiany f₃ obliczamy, jakie byłoby wynikające stąd przyspieszenie rogu ciała 1 na styku 2; uwzględnione to jest w a_2,3 .
• Ponieważ siły kontaktowe f₄ n₄ i −f₄ n₄ nie wpływają bezpośrednio na ciała 1 lub 2, przyjmujemy a_2,4 = 0 .

Mam nadzieję, że daje to pewne wyobrażenie tego, jak obliczana jest macierz A i wektor b. calculated. Szczegółowe informacje na temat tych obliczeń podano poniżej w sekcjach Obliczanie macierzy A i Obliczanie wektora b.

Po znalezieniu macierzy A i wektora b, jesteśmy gotowi do wyznaczenia z równania (1) nieznanych wielkości siły w wektorze f, z zastrzeżeniem następujących 3 ograniczeń:

ai ≥ 0,   fi ≥ 0,   a · f = 0

(4)

Opisowo te ograniczenia oznaczają:

• a_i ≥ 0 oznacza, że nie zezwalamy na przenikanie (które występuje, gdy a_i < 0 ). Wymagamy, aby wszystkie względne normalne przyspieszenia między ciałami w punktach styku były zerowe (kontakt) lub dodatnie (rozdzielanie).
• f_i ≥ 0 oznacza, że wymagamy sił kontaktowych równych zero lub dodatnich, ponieważ mogą one tylko naciskać, a nie ciągnąć.
• a · f = 0 oznacza, że w każdym punkcie styku, jeśli występuje siła kontaktowa, wówczas przyspieszenie wynosi zero LUB jeśli występuje przyspieszenie (przy rozdzieleniu), wówczas nie ma siły kontaktowej. Kropka w równaniu to iloczyn skalarny wektorów.

Artykuł Fast contact force computation for nonpenetrating rigid bodies. autorstwa Davida Baraffa szczegółowo opisuje sposób rozwiązywania równania (1) z zastrzeżeniem ograniczeń (4). Podam tutaj krótki opis działania algorytmu opisanego w tym dokumencie.

Algorytm rozpoczyna się od ustawienia wszystkich sił kontaktowych w f na zero. Podstawową ideą jest dokładanie jednej siły kontaktowej na raz, siły wystarczającej do zachowania ograniczeń i dostosowanie innych sił w razie potrzeby. Ignorujemy punkty styku, których jeszcze nie rozważaliśmy, stopniowo zwiększając zestaw punktów spełniających ograniczenia. Oto bardzo uproszczony szkic tego, jak to działa:

• Zaczynamy od rozważenia tylko styku 1, ignorując wszystkie inne punkty styku (które prawdopodobnie nie spełniają warunku a_i ≥ 0 ). Obliczamy wielkość siły f₁ w punkcie styku 1, która jest wystarczająca, aby a₁ = 0 .
• Następnie dokładamy styk 2. Rozwiązujemy względem f₂ , dostosowując f₁ w razie potrzeby, aby nasze trzy ograniczenia były spełnione dla a₁, a₂ i f₁, f₂ .
• Kontynuujemy dodawanie styków i sił kontaktowych pojedynczo, jednocześnie dostosowując poprzednie siły tak, aby zachować trzy ograniczenia równania (4).

W każdym punkcie rozwiązujemy podzbiór równania macierzowego (1) obejmujący tylko te punkty styku, które rozważaliśmy do tej pory. W ostatnim kroku dodaliśmy wszystkie punkty styku i dlatego mamy kompletne rozwiązanie równania (1) , które spełnia ograniczenia równania (4).

Teraz, gdy znamy siły kontaktowe, ostatnim krokiem jest przyłożenie ich do ciał, co daje końcowy zestaw przyspieszeń ciał, które następnie oprogramowanie obliczeniowe zwraca do solvera równania różniczkowego. W grę wchodzi tu układ powiązań, w którym każda siła kontaktowa jest przyłożona do każdego ciała, aby określić, jak ta siła kontaktowa wpływa na przyspieszenie liniowe i kątowe danego ciała. Proces ten jest bardzo podobny do tego opisanego na stronie Bryła sztywna - zderzenia dotyczącego traktowania sił takich jak siły ciągu.

Solver równania różniczkowego następnie rozwija ewolucję symulacji w czasie, wykorzystując te nowe przyspieszenia. Przyspieszenia te zostały jednak dokładnie obliczone, aby ciała będące w kontakcie spoczynkowym pozostawały w kontakcie spoczynkowym bez wzajemnego przenikania.

Obliczanie macierzy A

Naszym celem tutaj jest obliczenie elementów macierzy A równania (1). Jak opisano powyżej, element o wskaźnikach i, j macierzy A, a_{i j}, określa, w jaki sposób j-ta siła kontaktowa, f_j, wpływa na przyspieszenie i-tej odległości kontaktowej, d_i''.

Dla konkretnego punktu styku i , niech ciała będą ponumerowane 1 i 2, przy czym ciało 2 określa wektor normalny n_i skierowany od ciała 2 w kierunku ciała 1 (jak na schemacie powyżej). Niech p₁ będzie punktem ciała 1, który styka się z punktem p₂ ciała 2. Niech d_i będzie odległością między p₁ i p₂ . Jeśli potraktujemy p₁ i p₂ jako wektory o początkach w początku układu współrzędnych i końcach w tych punktach ciał 1 i 2, to ich różnica (p₁ − p₂) jest również wektorem i możemy zapisać

di = ni ⋅ (p1 − p2)

(5)

ponieważ iloczyn skalarny z normalną daje nam wartość składowej wektora (p₁ − p₂) w kierunku n . Zauważ, że d_i jest zatem wielkością skalarną. Pamiętając, że wszystkie zmienne w równaniu (5) są funkcjami czasu, możemy dwukrotnie zróżniczkować jak następuje:

d_i' = n_i' ⋅ (p₁ − p₂) + n_i ⋅ (p₁' − p₂')
d_i'' = n_i'' ⋅ (p₁ − p₂) + 2 n_i' ⋅ (p₁' − p₂') + n_i ⋅ (p₁'' − p₂'')

Ponieważ jest to punkt styku, mamy, że p₁ − p₂ = 0 więc powyższe upraszcza się do

di'' = ni ⋅ (p1'' − p2'') + 2 ni' ⋅ (p1' − p2')

(6)

Drugi człon, 2 n_i' ⋅ (p₁' − p₂') , jest zależny od prędkości (dzięki czemu można od razu go obliczyć, bez znajomości działających sił), i dlatego jest częścią b_i . Zobacz Obliczanie wektora b poniżej. Zatem zależną od f_j częścią równania (6) jest tylko

ni ⋅ (p1'' − p2'').

(7)

Siła kontaktowa f_j n_j tylko wtedy wpływa na d_i'', , jeśli działa na ciało 1 lub ciało 2. Jeśli tak nie jest, wiemy, że a_{i j} = 0 . Załóżmy teraz, że f_j n_j wpływa na ciało 1 lub 2. Należy jednak pamiętać, że f_j n_j może być siłą kontaktową, która nie jest w i -tym punkcie styku (patrz na przykład wcześniejszy schemat 5 stykających się ciał). Możemy znaleźć a_{i j} z geometrii sytuacji w sposób opisany poniżej.

Niech n_j będzie wektorem normalnym w j -tym punkcie styku. Załóżmy, że j -ty kontakt dotyczy ciała 1. Wtedy siła kontaktowa wynosi f_j n_j jeśli punkt styku to narożnik ciała 1 lub −f_j n_j jeśli to krawędź. Z geometrii możemy obliczyć wpływ siły na ciało 1, i stąd na przyspieszenie p₁'' . Jeśli kontakt dotyczy ciała 2, wtedy wpływa na p₂'' . Następnie za pomocą równania (7) dojdziemy do wpływu f_j n_j na a_{i j} .

Zdefiniujmy następujące dodatkowe zmienne:

• x₁ = środek masy ciała 1
• r₁ = wektor od środka masy ciała 1 do p₁ w i-tym punkcie styku
• r_j = wektor od środka masy ciała 1 do j-tego punktu styku
• ω₁ = wartość prędkości kątowej ciała 1
• ω₁ = prędkość kątowa ciała 1, wektor, który jest prostopadły do płaszczyzny, czyli ω₁ = {0, 0, ω₁}.
• v₁ = x₁' = wektor prędkości środka masy ciała 1
• m₁ = masa ciała 1

Wówczas p₁ = x₁ + r₁ i uwzględniając, że wszystkie te zmienne są funkcjami czasu, możemy policzyć pochodne:

p1' = x1' + r1' = v1 + ω1 × r1

(7a)

Wykorzystaliśmy tutaj fakt, że r₁ zmienia się tylko przez obrót o prędkości ω₁ . Elementarne prawa rachunku różniczkowego dają następnie wynik r₁' = ω₁ × r₁ gdzie × oznacza iloczyn wektorowy. Obliczamy następną pochodną:

p₁'' = v₁' + ω₁' × r₁ + ω₁ × r₁'

p1'' = v1' + ω1' × r1 + ω1 × (ω1 × r1)

(8)

Człon ω₁ × (ω₁ × r₁) jest zależny od prędkości, więc przechodzi do wektora b . Zatem zależna od f_j część p₁'' to

v1' + ω1' × r1

(8a)

Naszym zadaniem jest teraz zbadanie, jak bardzo wpływa na to jednostkowa zmiana f_j .

Ponieważ v₁' jest przyspieszeniem liniowym ciała 1, z pierwszej zasady dynamiki Newtona mamy

v₁' = (wypadkowa siła działająca na ciało 1) /m₁

Dlatego część v₁' zależna od f_j to

f_j n_j /m₁

Ponieważ pracujemy w 2D, możemy zapisać przyspieszenie kątowe jako

ω₁' = τ₁ / I₁

gdzie τ₁ = moment obrotowy działający na ciało 1, a I₁ = moment bezwładności ciała 1 wokół środka masy. (W 3D, przyspieszenie kątowe jest inaczej określone; zobacz [Baraff-1] po więcej informacji). Przypuśćmy, że j -ty kontakt następuje w punkcie p_j , a wektor r_j ma początek w środku masy obiektu 1, a koniec w p_j . Wówczas moment siły f_j n_j wynosi r_j × f_j n_j . Czyli zależna od f_j część ω₁' to

(r_j × f_j n_j) / I₁

i możemy zapisać równanie (8a), zależną od f_j część p₁'' , w postaci

f_j n_j / m₁ + (r_j × f_j n_j) × r₁ / I₁
= f_j (n_j / m₁ + (r_j × n_j) × r₁ / I₁),

a zależną od f_j część d_i'' w równaniu (6) jako

f_j n_i ⋅ (n_j / m₁ + (r_j × n_j) × r₁ / I₁)

Dlatego patrząc wstecz na równanie (2) dla kontekstu, mamy zależność d_i'' od f_j jako

ni ⋅ (nj / m1 + (rj × nj) × r1 / I1)

(9)

co wchodzi do a_{i j} .

Należy pamiętać, że przyjęliśmy, że f_j n_j działa na ciało 1. Jeśli zamiast tego −f_j n_j działa na ciało 1, to zmienia to znak wyrażenia (9). Jeśli f_j n_j działa na ciało 2, a nie na 1, wtedy wpływa na p₂'' w równaniu (6), więc jest zmiana znaku i także używamy m₂, r₂ i I₂ w wyrażeniu (9), a r_j jest obliczane w odniesieniu do ciała 2. Również w przypadku, gdy f_j n_j jest się w punkcie styku ciał 1 i 2, wtedy f_j n_j działa na ciało 1, a −f_j n_j działa na ciało 2 i kończymy używając wyrażenia (9) dwa razy i umieszczając sumę w a_{i j} .

Obliczanie wektora b

Tutaj obliczamy wektor b z równania (1). Wektor b określa, jakie byłoby przyspieszenie odległości styku d_i'' przy braku sił kontaktowych. Zależy to od sił nie-kontaktowych, takich jak grawitacja, ciąg, siła sprężyny, tłumienie itp., ale ma również składnik zależny od prędkości.

Zauważ, że to te siły powodują istnienie sił kontaktowych; siły kontaktowe pojawiają się w reakcji na inne siły, które popychają obiekty do siebie, stąd są również znane jako „siły reakcji”.

W kontekście rozwiązywania równania (1), wektor b jest uważany za wektor „stały”, ponieważ w chwili, gdy rozwiązujemy równanie (1) dla sił kontaktowych, wektor b jest znaną wielkością.

Kontynuujemy ten sam scenariusz i używamy zmiennych zdefiniowanych w poprzedniej części Obliczanie macierzy A. To znaczy, bierzemy pod uwagę i-ty styk i numerujemy ciała jako 1 i 2, gdzie ciało 2 określa wektor normalny n_i styku. Szukamy wyrażenia b_i w równaniu (2). Zaczynamy od równania (6), które zostało wyprowadzone w poprzedniej części:

d_i'' = n_i ⋅ (p₁'' − p₂'') + 2 n_i' ⋅ (p₁' − p₂')

Najpierw rozważamy wyrażenie 2 n_i'⋅ (p₁' - p₂'). Jest zależne tylko od aktualnej prędkości, a nie od przyspieszenia, a zatem jest niezależne od przyłożonych sił kontaktowych i dlatego należy do wektora b. Przypomnijmy, że n_i to wektor normalny do powierzchni ciała 2. Dlatego, jeśli ciało 2 jest nieruchome (na przykład ściana lub podłoga), wówczas normalna nie zmienia się, więc n_i' jest wektorem zerowym, a to wyrażenie wynosi zero.

Teraz możemy użyć tego wyrażenia dla n_i' i równania (7a), co daje wyrażenie dla p₁' (i również podobnie dla p₂' ) do napisania tego

2 ni' ⋅ (p1' − p2') = 2 (ω2 × ni) ⋅ (v1 + ω1 × r1 − (v2 + ω2 × r2))

(10)

Powyższe wyrażenie jest częścią równania (6) i dodaje się do b_i . Ale tylko w przypadku, gdy ciało 2 jest obiektem poruszającym się; jeżeli ciało 2 jest nieruchome (na przykład ściana lub podłoga), to n_i' wynosi zero.

Następnie rozważmy wyrażenie n_i ⋅ (p₁'' − p₂'') równania (6). Musimy uwzględnić w b_i wpływ wszelkich sił nie-kontaktowych na przyspieszenia punktów styku p₁ i p₂ . Zaczniemy od równania (8), które zostało wyprowadzone w poprzedniej części:

p₁'' = v₁' + ω₁' × r₁ + ω₁ × (ω₁ × r₁)

Okazuje się, że przyspieszenia v₁' i ω₁' , które są spowodowane siłami nie-kontaktowymi, zostały już dla nas obliczone przez wcześniejsze procesy (patrz metoda ewaluacji klasy ImpulseSim). Te przyspieszenia są przekazywane do naszej metody ewaluacji, więc po prostu wstawiamy je do równania (8), aby uzyskać p₁'' (a p₂'' ma podobne wyrażenie). Możemy więc zapisać to jako

ni ⋅ (p1'' − p2'') = ni ⋅ (v1' + ω1' × r1 + ω1 × (ω1 × r1) − (v2' + ω2' × r2 + ω2 × (ω2 × r2)))

(11)

co jest częścią równania (6), którą należy dodać do b_i . Należy pamiętać, że w powyższym równaniu, v₁' i ω₁' są przyspieszeniami ciała 1 spowodowanymi jedynie siłami nie-kontaktowymi (i podobnie dla v₂' i ω₂' ).

Mamy teraz w wyrażeniach (10) i (11), niezależne od siły nacisku części równania (6), które wchodzą do b_i .

Jednostki miary

Symulacje myPhysicsLab nie mają określonych jednostek miary, takich jak metry, kilogramy, sekundy. Jednostki są bezwymiarowe, mogą być interpretowane, jak chcesz, ale muszą być spójne w symulacji.

Na przykład, jeśli traktujemy jednostkę odległości jako jeden metr i jednostkę czasu jako jedną sekundę, to jednostka prędkości musi wynosić jeden metr/sekundę.

Dostosuj i udostępnij

Istnieje kilka sposobów na odtworzenie określonej konfiguracji eksperymentalnej. Najłatwiej jest kliknąć przycisk „udostępnij”.

1. Zmodyfikuj symulację, zmieniając parametry, takie jak grawitacja, tłumienie oraz przeciągając obiekty za pomocą myszy.
2. Kliknij przycisk „udostępnij”. Skopiuj adres URL z okna dialogowego.
3. Udostępnij adres URL lub zapisz go w pliku tekstowym do późniejszego wykorzystania.

Gdy odbiorca kliknie adres URL, EasyScript osadzony w tym adresie powieli warunki, które zostały ustawione.

Zobacz Dostosowywanie symulacji myPhysicsLab (en) jak dodatkowo programować symulacje z bezpośrednim wykorzystaniem JavaScript lub EasyScript.

Opublikowano po raz pierwszy w styczniu 2007 roku.