Fizyka sprężyny 2D
zmienne sprężyny 2D
Sprężyna z obciążnikiem, zaczepiona w nieruchomym (ale przeciągalnym) punkcie kotwiczącym,
kołysze się w dwóch wymiarach. Ciężarek traktujemy jako punkt materialny. Określamy
następujące zmienne:
-
θ =
kąt (
0 =
pion, zwiększa się przy obrocie przeciwnym do ruchu wskazówek zegara)
-
S =
odkształcenie sprężyny (przemieszczenie od długości spoczynkowej)
-
L =
długość sprężyny
-
u =
położenie ciężarka
-
v = u'=
prędkość ciężarka
-
a = u''=
przyspieszenie ciężarka
Wprowadzamy kilka stałych:
-
R =
długość spoczynkowa sprężyny
-
T =
położenie punktu kotwiczącego
-
m =
masa ciężarka
-
k =
współczynnik sprężystości sprężyny
-
b =
stała tłumienia (oporu)
-
g =
przyspieszenie grawitacyjne
wersory osi
Zauważ, że dla tej symulacji oś pionowa jest skierowana w dół. Będziemy potrzebować
standardowych wektorów jednostkowych, wersorów osi
i, j
. Do oznaczenia wektora używamy pogrubienia i kreski nad symbolem.
-
i =
wektor jednostkowy w kierunku poziomym
-
j =
wektor jednostkowy w kierunku pionowym (w dół)
Na ciężarek działają trzy siły:
-
Fgrawitacji = m g j =
siła ciężkości działająca pionowo w dół
-
Fsprężystości = −k S (sin θ i + cos θ j) =
naprężenie sprężyny, wzdłuż linii ciężarek/punkt kotwiczenia.
-
Ftłumienia = −b (vx i + vy j) =
tłumienie (opór) działające przeciwnie do kierunku ruchu ciężarka, tj. przeciwnie do jego wektora prędkości.
Po zsumowaniu tych sił i skorzystaniu z drugiej zasady dynamiki Newtona, otrzymujemy:
m a = Fgrawitacji + Fsprężystości + Ftłumienia
m (ax i + ay j) = m g j −
k S (sin θ i + cos θ j) −
b (vx i + vy j)
Możemy zapisać osobne równania dla składowych poziomych i pionowych.
Daje nam to dwa równania. Dzielimy także każdą ze stron przez
m
.
ax = − k⁄m S sin θ − b⁄m vx
| (1a) |
ay = g − k⁄m S cos θ − b⁄m vy
| (1b) |
Są to równania ruchu. Pozostaje tylko pokazać, jak
S sin θ
i
S cos θ
zależą od położenia ciężarka. Odkształcenie
sprężyny
S
to aktualna długość sprężyny minus długość spoczynkowa.
Z twierdzenia Pitagorasa możemy uzyskać długość sprężyny
L
w zależności
od położenia obciążnika,
u
i położenia punktu zaczepienia,
T
.
$$L = \sqrt{(u_x - T_x)^2 + (u_y - T_y)^2} \tag{3}$$
Sinus i cosinus kąta
θ
wynosi:
Rozwiązanie numeryczne sprężyny 2D
Aby rozwiązać te równania ruchu numerycznie, tak abyśmy mogli sterować symulacją,
stosujemy metodę Rungego-Kutty
rozwiązywania układów równań różniczkowych zwyczajnych. Ponieważ metoda ta
dotyczy tylko równań różniczkowych pierwszego rzędu,
przekształcamy dwa równania drugiego rzędu (1) na następujące cztery równania pierwszego rzędu.
ux' = vx
uy' = vy
vx' = − k⁄m S sin θ − b⁄m vx
vy' = g − k⁄m S cos θ − b⁄m vy
Należy pamiętać, że
S sin θ
i
S cos θ
są funkcjami
położenia ciężarka,
ux, uy
, jak to podano w równaniach (2-4).
Jednostki miary
Symulacje myPhysicsLab nie mają określonych jednostek miary, takich jak
metry, kilogramy, sekundy. Jednostki są bezwymiarowe, mogą być
interpretowane, jak chcesz, ale muszą być spójne w
symulacji.
Na przykład, jeśli traktujemy jednostkę odległości jako jeden metr i jednostkę czasu
jako jedną sekundę, to jednostka prędkości musi wynosić jeden metr/sekundę.
Dostosuj i udostępnij
Istnieje kilka sposobów na odtworzenie określonej konfiguracji eksperymentalnej. Najłatwiej jest kliknąć przycisk „udostępnij”.
- Zmodyfikuj symulację, zmieniając parametry, takie jak grawitacja, tłumienie
oraz przeciągając obiekty za pomocą myszy.
- Kliknij przycisk „udostępnij”. Skopiuj adres URL z okna dialogowego.
- Udostępnij adres URL lub zapisz go w pliku tekstowym do późniejszego wykorzystania.
Gdy odbiorca kliknie adres URL, EasyScript osadzony w tym adresie
powieli warunki, które zostały ustawione.
Zobacz
Dostosowywanie symulacji myPhysicsLab (en) jak dodatkowo programować symulacje z bezpośrednim wykorzystaniem JavaScript lub EasyScript.
Opublikowano po raz pierwszy w kwietniu 2001 roku.