+ Pokaż spis treści

Zmienna losowa

Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa
[-]


      Bardzo często ze zdarzeniami losowymi wiąże się pewne wielkości liczbowe.
 
      Niech para  będzie przestrzenią probabilistyczną.
      Każdą funkcję określoną na zbiorze skończonym o wartościach rzeczywistych nazywamy zmienną losową przestrzeni probabilistycznej , krótko zmienną losową.
 
      Zmienne losowe będziemy oznaczać literami  lub
 
      Zdarzenie - zmienna losowa  przyjmuje  wartość  oznaczać będziemy symbolem:,  a prawdopodobieństwo zdarzenia  symbolem .
 
Zmienną losową skokową  nazywamy zmienną losową, która ma skończony lub przeliczalny zbiór wartości.
 
Rozkład zmiennej losowej skokowej.
 
      Dana jest zmienna losowa, której zbiorem wartości jest zbiór: . Zbiór wszystkich uporządkowanych par postaci  dla , a więc zbiór: , gdzie  jest prawdopodobieństwem, z jakim zmienna losowa  przyjmuje wartość  ,  nazywamy rozkładem zmiennej losowej .
 
      Prawdopodobieństwa  spełniają zależność:
.
 
      Zatem rozkład zmiennej losowej to zbiór uporządkowanych par, w których pierwszym elementem jest wartość zmiennej losowej , a drugim jest prawdopodobieństwo, z jakim wartość ta jest przyjmowana przez zmienną losową .
 
      Jeżeli zmienna losowa przyjmuje tylko dwie wartości  z prawdopodobieństwami odpowiednio , to zbiór  nazywamy rozkładem dwupunktowym.
 
      Gdy  oraz (), to zbiór  nazywamy rozkładem zerojedynkowym.
 
      Jeżeli zmienna losowa przyjmuje wartości  z prawdopodobieństwami
, gdzie   i  , to zbiór:

nazywamy rozkładem dwumianowym (Bernoulliego).
 
      Jeżeli zmienna losowa przybiera wszystkie swoje wartości z takim samym prawdopodobieństwem, to mówimy, że ma ona rozkład jednostajny.
 
Wartość oczekiwana zmiennej losowej.
 
      Wartością oczekiwaną (wartością średnią, wartością przeciętną, nadzieją matematyczną) zmiennej losowej  o rozkładzie   nazywamy liczbę:
.
 
Własności wartości oczekiwanej.
 
  1. , gdzie
  2. , gdzie  - zmienne losowe określone na tym samym zbiorze zdarzeń elementarnych .

Wariancja zmiennej losowej.

 
Wariancją zmiennej losowej  o rozkładzie  nazywamy liczbę:
,
gdzie  jest wartością oczekiwaną zmiennej losowej .
 
Wariancję zmiennej losowej można też obliczyć ze wzoru:
,  gdzie  .
 
      Wariancja zmiennej losowej jest parametrem charakteryzującym rozrzut wartości zmiennej losowej względem wartości oczekiwanej. Zawiera informację o tym, jak daleko od wartości oczekiwanej znajdują się wartości zmiennej losowej. Jeśli , to oznacza, że zmienna losowa jest funkcją stałą o wartości równej wartości oczekiwanej .
 
Wariancje zmiennej losowej w niektórych rozkładach:
  1. Rozkład dwupunktowy - .
  2. Rozkład dwumianowy  - .
Własności wariancji
  1. Wariancja jest liczbą nieujemną.
  2. , gdzie .

Odchylenie standardowe zmiennej losowej
 
      Liczbę , gdzie  jest wariancją zmiennej losowej , nazywamy odchyleniem standardowym zmiennej losowej .
 
Przykład:
      Rzucamy dwa razy symetryczną kostką do gry. Niech X oznacza zmienną losową wyrażającą sumę uzyskanych oczek. Wyznacz rozkład tej zmiennej, jej wartość oczekiwaną, wariancję i odchylenie standardowe.
 
Rozwiązanie:
Zmienna losowa może przyjmować wartości ze zbioru:
.

 
Należy obliczyć, z jakim prawdopodobieństwem uzyskuje się powyższe sumy oczek.
W dwukrotnym rzucie kostką .
 
Suma oczek
Zdarzenia sprzyjające
Prawdopodobieństwo
2
(1,1)
3
(1,2),(2,1)
4
(1,3),(2,2),(3,1)
5
(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)
6
(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)
7
(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)
8
(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)
9
(3,6),(4,5),(5,4),(6,3)
10
(4,6),(5,5),(6,4)
11
(5,6),(6,5)
12
(6,6)

 
Rozkład danej zmiennej losowej jest następujący:

 
Wartość oczekiwana rozważanej zmiennej wynosi:

 
Wariancja rozważanej zmiennej wynosi:


Odchylenie standardowe:
.
 
Odp.