+ Pokaż spis treści

Zbiory

Jesteś tu: Baza wiedzy / Matematyka / Zbiory

Pojęcie zbioru


Pojęcie zbioru jest jednym z pierwotnych pojęć matematycznych, a więc pojęciem nie definiowanym. Używane jest we wszystkich działach matematyki, podobnie jak w mowie potocznej, w znaczeniu kolekcji określonych obiektów np. zbiór uczniów w klasie, zbiór liczb pierwszych, zbiór rozwiązań nierówności itp.
 
Obiekty, które należą do danego zbioru nazywamy elementami tego zbioru.
 
Zbiory oznaczamy zwykle dużymi literami A, B, X ,Y, W, ...., a ich elementy małymi literami: a, b, x, y, w, ...
 
Jeżeli element a należy do zbioru A , to zapisujemy to symbolicznie .
Jeśli element a nie należy do zbioru A, to piszemy .

Symbolem oznaczamy zbiór skończony o n elementach. 
Zbiór, do którego nie należy żaden element nazywamy zbiorem pustym i oznaczamy symbolem .

Zbiór, który nie jest skończony i który nie jest pusty, nazywamy zbiorem nieskończonym.

Mocą zbioru skończonego nazywamy ilość elementów tego zbioru i oznaczamy symbolem .
 
Najważniejsze sposoby określenia zbioru:
 
  1. Wymienienie wszystkich jego elementów: 
  2. Podanie warunków, jakie spełniają elementy zbioru i tylko one: .

Z powyższego opisu wynika, że 

Podzbiory


Zbiór  jest zawarty w zbiorze , lub inaczej mówiąc zbiór  jest podzbiorem zbioru . wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element zbioru  należy do zbioru .


 
W szczególności każdy zbiór jest swoim własnym podzbiorem  tzn.  oraz zbiór pusty  jest podzbiorem każdego zbioru tzn.
 
Jeśli , to zbiór A nazywamy podzbiorem właściwym zbioru B.
 
Każdy zbiór skończony -elementowy ma  wszystkich podzbiorów (łącznie z samym sobą i zbiorem pustym).
 
Przykład:
Wypisz wszystkie podzbiory zbioru
 
Rozwiązanie:
Zbiór  jest zbiorem 3 elementowym, więc ma  podzbiorów:


 

Równość zbiorów


Zbiory oraz równe wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór  jest podzbiorem zbioru , a zbiór  jest podzbiorem zbioru , czyli każdy element zbioru  jest elementem zbioru  i na odwrót.


  
Zbiory są równe, jeśli mają takie same elementy.
 
Przykład:

Sprawdź, czy równe są poniższe zbiory.


 

 
Rozwiązanie:

Zbiory  i są równe, ponieważ należą do nich takie same elementy: (kolejność zapisu nie jest ważna). Dla sprawdzenia, czy zbiór  jest równy zbiorom  i należy wypisać jego elementy. Po rozwiązaniu warunku określającego zbiór  otrzymujemy:
 
Wszystkie trzy zbiory składają się z takich samych elementów, więc są równe: .