+ Pokaż spis treści

Układy równań

Układ równań:

gdzie , nazywamy układem dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi  i .

Rozwiązaniem układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi nazywamy każdą parę liczb , która spełnia jednocześnie oba równania układu.

Jeśli niewiadomych (i równań) jest więcej, to rozwiązaniem nazywamy odpowiednio trójkę, czwórkę itd. liczb spełniających wszystkie równania.

Rozwiązanie układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi polega na wyznaczeniu wszystkich jego rozwiązań albo stwierdzeniu, że zbiór rozwiązań jest pusty.

Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi może:

  1. mieć jedno rozwiązanie postaci pary liczb ,
  2. mieć nieskończenie wiele rozwiązań (nieskończenie wiele par liczb),
  3. nie mieć rozwiązań.

Istnieje kilka metod rozwiązania układu równań pierwszego stopnia.

  1. Metoda podstawiania

    W metodzie tej z jednego z równań wyznaczamy jedną niewiadomą w zależności od drugiej i otrzymaną zależność wstawiamy do drugiego równania. Otrzymujemy w ten sposób równanie z jedną niewiadomą i rozwiązujemy je. Na koniec z otrzymanej w pierwszym kroku zależności między niewiadomymi wyznaczamy drugą niewiadomą.

    Przykład:
    Rozwiąż układ równań metodą podstawienia: 

    Rozwiązanie:
    Z drugiego równania wyznaczamy zmienną  w zależności od  i otrzymane wyrażenie podstawiamy do równanie pierwszego:

    Odp. Rozwiązaniem danego układu jest para liczb:   .
  2. Metoda przeciwnych współczynników

    W metodzie tej równania układu mnożymy przez tak dobrane liczby, aby przy jednej z niewiadomych uzyskać współczynniki będące liczbami przeciwnymi. Następnie równania dodajemy stronami i otrzymujemy równanie z jedną niewiadomą. Rozwiązujemy to równanie, a na koniec wyznaczamy drugą niewiadomą z jednego z równań układu.

    Przykład:
    Rozwiąż układ równań metodą przeciwnych współczynników :   

    Rozwiązanie:
    Aby współczynniki przy zmiennej  były liczbami przeciwnymi pomnożymy stronami pierwsze równanie przez liczbę , a drugie równanie przez liczbę :

    Teraz równania dodajemy stronami i otrzymujemy:
    .


    Z pierwszego równania wyznaczamy  dla obliczonego :
    .

    Odp. Rozwiązaniem danego układu jest para liczb: .
  3. Metoda graficzna (przybliżona)

    Wiadomo, że obrazem graficznym równania z dwiema niewiadomymi jest prosta. Rysuje się więc w jednym układzie współrzędnych wykresy każdego z równań i odczytuje współrzędne punktów wspólnych dla obu prostych.

    Para liczb  będąca współrzędnymi punktu przecięcia prostych jest rozwiązaniem układu równań.

Ilość rozwiązań danego układu zależy od wzajemnego położenia prostych będących obrazami każdego z równań układu:

  • Proste przecinające się  -  układ ma jedno rozwiązanie.
  • Proste pokrywające się  -  układ ma nieskończenie wiele rozwiązań.
  • Proste równoległe  -  układ nie ma rozwiązań.

    Liczba rozwiązań Ilustracja graficzna Nazwa układu
    Jedno Proste przecinające się Oznaczony
    (układ równań niezależnych)
    Nieskończenie wiele Proste pokrywające się Nieoznaczony
    (układ równań zależnych)
    Brak rozwiązań Proste równoległe Sprzeczny
     
Układ równań:
gdzie  i ,  nazywamy układem trzech równań liniowych z trzema niewiadomymi .

Rozwiązaniem  układu trzech równań liniowych z trzema niewiadomymi nazywamy każdą trójkę liczb , która spełnia jednocześnie wszystkie trzy równania układu.

Rozwiązanie układu trzech równań liniowych z trzema niewiadomymi polega na wyznaczeniu wszystkich jego rozwiązań albo stwierdzeniu, że zbiór rozwiązań jest pusty.

Do rozwiązania układu trzech równań liniowych z trzema niewiadomymi można stosować metodę podstawienia oraz przeciwnych współczynników.