Zderzenia sprężyste centralne
Symulacja czołowych zderzeń sprężystych obrazująca zachowanie zarówno pędu, jak i energii kinetycznej.
Wyobraź sobie dwie kule bilardowe o masach \( m_1\) and \( m_2 \), poruszające się z prędkościami odpowiednio \( \vec{v_{1p}} \) i \( \vec{v_{2p}} \) (indeks \(_{p}\) oznacza wartość początkową). Kule zderzają się i odbijają od siebie z prędkościami \( \vec{v_{1k}} \) i \( \vec{v_{2k}} \) ( indeks \(_{k}\) oznacza wartość końcową).
Zakładając, że znamy masy i prędkości początkowe, możemy obliczyć prędkości końcowe korzystając dwóch podstawowych zasad zachowania: zachowania pędu i zachowania energii (w tym wypadku kinetycznej).
Zasada zchowania pędu (tj. całkowity pęd przed zderzeniem jest równy całkowitemu pędowi po) daje nam równanie 1. Zauważ, że ponieważ mamy do czynienia z ruchem w jednym wymiarze, potrzebujemy tylko wartości wektorów, więc notacja wektorowa nie jest potrzebna.
\begin{equation} \label{eq:momentum-conservation} m_1v_{1p} + m_2v_{2p} = m_1v_{1k} + m_2v_{2k} \end{equation}Zasada zchowania energii (tj. całkowita energia kinetyczna przed zderzeniem jest równa całkowitej energii kinetycznej po) daje nam równanie \( \eqref{eq:kinetic-energy} \). Zderzenie, które rozważamy, jest doskonale sprężyste, więc nie ma energii kinetycznej traconej w samym zderzeniu, co pozwala nam zajmować się wyłącznie tą formą energii.
\begin{equation} \label{eq:kinetic-energy} \frac{1}{2}m_1v_{1p}{}^2 + \frac{1}{2}m_2v_{2p}{}^2 = \frac{1}{2}m_1v_{1k}{}^2 + \frac{1}{2}m_2v_{2k}{}^2 \end{equation}Po podzieleniu przez \( \frac{1}{2} \) obu stron tego równania otrzymujemy równanie \( \eqref{eq:kinetic-half-factored} \).
\begin{equation} \label{eq:kinetic-half-factored} m_1v_{1p}{}^2 + m_2v_{2p}{}^2 = m_1v_{1k}{}^2 + m_2v_{2k}{}^2 \end{equation}Przekształcenie równania \( \eqref{eq:kinetic-half-factored} \) daje nam
\begin{align} m_1v_{1p}{}^2 - m_1v_{1k}{}^2 &= m_2v_{2k}{}^2 - m_2v_{2p}{}^2 \label{eq:kinetic-rearranged} \\ m_1 (v_{1p}{}^2 - v_{1k}{}^2) &= m_2(v_{2k}{}^2 - v_{2p}{}^2) \end{align}Różnice kwadratów po każdej stronie równania (wyrażenia w nawiasach) mogą być teraz przdstawione w postaci iloczynowej.
\begin{equation} \label{eq:kinetic-factored} m_1 (v_{1p} + v_{1k})(v_{1p} - v_{1k}) = m_2(v_{2k} + v_{2p})(v_{2k} - v_{2p}) \end{equation}Teraz, powracając do równania \( \eqref{eq:momentum-conservation} \), grupujemy wszystkie składniki zawierające tę samą masę.
\begin{align} m_1v_{1p} - m_1v_{1k} &= m_2v_{2k} - m_2v_{2p} \\ m_1(v_{1p} - v_{1k}) &= m_2(v_{2k} - v_{2p}) \label{eq:momentum-rearranged} \end{align}Możemy teraz podzielić równanie \( \eqref{eq:kinetic-factored} \) przez równanie \( \eqref{eq:momentum-rearranged} \) co daje nam
\begin{align} \label{eq:divided} v_{1p} + v_{1k} &= v_{2k} + v_{2p} \\ v_{1k} &= v_{2k} + v_{2p} - v_{1p} \label{eq:velocities} \end{align}Podstawiamy teraz \( \eqref{eq:velocities} \) do \( \eqref{eq:momentum-conservation} \)
\begin{align} m_1v_{1p} + m_2v_{2p} &= m_1(v_{2k} + v_{2p} - v_{1p}) + m_2v_{2k} \\ m_1v_{1p} + m_2v_{2p} &= m_1v_{2k} + m_1v_{2p} - m_1v_{1p} + m_2v_{2k} \\ m_1v_{1p} + m_2v_{2p} &= (m_1 + m_2)v_{2k} + m_1v_{2p} - m_1v_{1p} \\ \end{align} \begin{gather} 2m_1v_{1p} + m_2v_{2p} - m_1v_{2p} = (m_1 + m_2)v_{2k} \\ 2m_1v_{1p} + v_{2p}(m_2 - m_1) = (m_1 + m_2)v_{2k} \\ v_{2k} = \frac{2m_1v_{1p} + v_{2p}(m_2 - m_1)}{m_1 + m_2} \end{gather}To jest rozwiązanie dla \( v_{2k} \) i możemy teraz podstawić ten wynik do \( \eqref{eq:velocities} \), aby uzyskać ostateczne rozwiązanie dla \( v_{1k} \)
\begin{align} v_{1k} &= \frac{2m_1v_{1p} + v_{2p}(m_2 - m_1)}{m_1 + m_2} + v_{2p} - v_{1p} \\ v_{1k} &= \frac{2m_1v_{1p} + v_{2p}(m_2 - m_1) + v_{2p}(m_1 + m_2) - v_{1p}(m_1 + m_2)}{m_1 + m_2} \\ v_{1k} &= \frac{2m_2v_{2p} + v_{1p}(m_1 - m_2)}{m_1 + m_2} \end{align}