III prawo Keplera

Interaktywna demonstracja ukazująca, w jaki sposób wielka półoś orbity planety (czyli jej średnia odległość od gwiazdy) jest powiązana z okresem obiegu.

pokaż/ukryj opis

Stosunek kwadratu okresu obiegu planety wokół gwiazdy do sześcianu wielkiej półosi jej orbity jest taki sam dla każdej planety w tym układzie. Relację tę można zapisać tak, aby podać okres \( T \):

\[ T = 2 \pi \sqrt{\frac{a^3}{GM} } \]

Gdzie \( a \) to półoś wielka (w przypadku orbity kołowej, równa jest promieniowi orbity), \( G \) to uniwersalna stała grawitacyjna \( M \) to masa okrążanego ciała.

Jeśli rozważymy jedynie kołowe orbity, wyprowadzenie powyższego równania wynika z Prawa powszechnego ciążenia Newtona i siły dośrodkowej. W tym przypadku siła grawitacyjna stanowi siłę dośrodkową, a więc przyspieszenie grawitacyjne musi być równe przyspieszeniu dośrodkowemu.

Przyspieszenie grawitacyjne

\[ F = ma = \frac{GMm}{r^2} \] \[ a = \frac{GM}{r^2} \]

Przyspieszenie dośrodkowe

\[ a = \frac{v^2}{r} \]

Porównanie przyspieszeń daje

\[ \frac{v^2}{r} = \frac{GM}{r^2} \] \[ v = \sqrt{\frac{GM}{r}} \]

Aby obliczyć okres obiegu \( T \), podzielimy drogę pokonaną w ciągu jednego obiegu, tj. długość orbity \( 2 \pi r \), przez szybkość \( v \)

\[ \frac{2 \pi r}{\sqrt{\frac{GM}{r}}} \]

Po przekształceniu:

\[ T = 2 \pi \sqrt{\frac{r^3}{GM} } \]

Powyższe demo pokazuje dwie planety krążące po kołowych orbitach wokół gwiazdy. Za pomocą suwaków można zobaczyć, jak zwiększenie promienia zwiększa okres obiegu (innymi słowy, powoduje to, że prędkość kątowa zmniejsza się). Zwiększenie masy gwiazdy zmniejsza okres, co oznacza, że planety poruszają się szybciej.

Autorzy