+ Pokaż spis treści

Szereg geometryczny


Dany jest ciąg geometryczny nieskończony:  
 
Ciąg   o wyrazach:  , nazywamy ciągiem sum częściowych ciągu geometrycznego lub szeregiem geometrycznym.
 
Jeśli ciąg sum częściowych  ma granicę , to nazywamy ją sumą nieskończonego ciągu geometrycznego lub sumą szeregu geometrycznego.
 
Szereg zbieżny, to taki, który ma granicę. Szereg rozbieżny to taki, który nie jest zbieżny.
 
Warunek zbieżności szeregu geometrycznego
 
Szereg geometryczny jest zbieżny gdy lub .
 
Suma zbieżnego szeregu geometrycznego:
 

 
 
Przykład:

Wyznacz szereg geometryczny, którego suma wynosi , a suma jego wyrazów o wskaźnikach nieparzystych wynosi .
 
Rozwiązanie:

Szereg geometryczny tworzą wyrazy:  Ciąg wyrazów o wskaźnikach nieparzystych , tzn.  też jest szeregiem geometrycznym o pierwszym wyrazie  i ilorazie . Korzystając ze wzoru na sumę nieskończonego ciągu geometrycznego (przy założeniu, że ciąg jest zbieżny, czyli ) otrzymuje się układ równań:
 
  
 
Z drugiego równania otrzymuje się , co spełnia warunek . Po wstawieniu tej wartości do równania pierwszego otrzymuje się .
 
Odp. Szukanym ciągiem jest ciąg: 
 
 
 
Często nieskończony ciąg geometryczny wykorzystywany jest w równaniach, nierównościach i wzorach funkcji, a także w geometrii.
 
 
Przykład:
Rozwiąż nierówność, w której lewa strona jest sumą nieskończonego szeregu geometrycznego:
 


W danym szeregu geometrycznym:  .
Szereg geometryczny jest zbieżny, jeśli  1o   lub  2o  .  Należy rozwiązać nierówność w obu przypadkach.
 
1o        i  nierówność spełniona.
2o     . Należy rozwiązać nierówność podwójną:  
.
 
Tak więc szereg geometryczny jest zbieżny, gdy  i można skorzystać ze wzoru na sumę.
.
 
Podstawiając  do nierówności otrzymujemy:
 

.
 
Należy teraz uwzględnić warunek zbieżności szeregu .   Odpowiedzią jest część wspólna obu zbiorów, a więc: .
Odpowiedź ta uwzględnia , dla .
 
Odp. Rozwiązaniem nierówności jest zbiór .