+ Pokaż spis treści

Ruch prostoliniowy


Najbardziej podstawowym procesem fizycznym jest ruch. Polega on na zmianie położenia (ruch postępowy) lub orientacji (ruch obrotowy) ciała w miarę upływu czasu. Ruch postępowy odnosi się zwykle do tzw. punktów materialnych, zaś ruch obrotowy - do ciał rozciągłych. Wprawdzie ruch obrotowy można uważać jako złożenie wielu ruchów postępowych poszczególnych cząstek ciała, niemniej praktycznie taki opis jest niemożliwy ze względu na ogromną liczbę cząstek składających się np. na bryłę sztywną; dlatego też opisuje się go w inny sposób.

Punkt materialny
to w istocie ciało o rozmiarach małych w stosunku do występujących w ruchu odległości i które nie może wykonywać ruchu obrotowego. To samo ciało raz może być traktowane jak punkt materialny, innym razem musi być traktowany jak ciało rozciągłe. Przykładem tego może być wiele ciał niebieskich. Z punktu widzenia ruchu po trajektorii okołosłonecznej planetę można uważać za punkt, z innego - jak olbrzymią obracającą się kulę. Podobnie można traktować atom: z makroskopowego punktu widzenia jest on obiektem punktowym, ale dla fizyków atomowych i optyków ma bogatą strukturę wewnętrzną, złożoną z wielu punktów materialnych.

Ruch postępowy ciał rozciągłych opisuje się poprzez ruch wyróżnionego punktu, jakim jest jego środek masy. Często ruch postępowy występuje razem z ruchem obrotowym.

Matematycznie ruch opisuje się podając zależność położenia od czasu. Położenie punktu materialnego charakteryzuje jego wektor położenia r, na który składają się trzy współrzędne przestrzenne: x, y, z.


Ruch w przestrzeni jest złożeniem trzech ruchów prostoliniowych (wzdłuż każdego kierunku oddzielnie). Dlatego ruch po linii prostej jest podstawą do opisania każdego innego ruchu.    
Układ osi tego układu nazywa się układem odniesienia. Jego wybór jest w dużej mierze dowolny, ale zwykle sytuacja fizyczna narzuca jakiś punkt odniesienia i kierunku osi. Od wyboru układu odniesienia zależy w dużym stopniu sam opis ruchu i jego charakter, co wyrażamy mówiąc, że ruch jest względny. Względem jednego układu odniesienia ciało może być w spoczynku, podczas gdy względem innego to samo ciało może być w stanie ruchu. Ruch jest zatem pojęciem względnym.
Ruch prostoliniowy polega na zmianie współrzędnej x, co zapisuje się skrótowo w następujący sposób:  x = x(t), albo też y = y(t) lub z = z(t). Zależnie od rodzaju tej zależności wyróżnia się ruch jednostajny, jednostajnie zmienny, harmoniczny i inne.
 
Podstawowymi wielkościami charakteryzującymi każdy ruch są: prędkość i przyspieszenie. Ich definicje podamy najpierw dla ruchu po prostej.
 
Prędkość

Prędkość definiuje się jako zmianę położenia przypadającą na jednostkę czasu. Zapisuje się ją jako iloraz:
,

gdzie Dt jest przedziałem czasu, w którym nastąpiła zmiana położenia o Dx. Oba te przyrosty nie są bliżej określone, dlatego przyjmuje się, że są one dostatecznie małe (co też nie jest precyzyjne). Graniczna wartość tego ilorazu (przy Dt dążącym do zera) nazywa się pochodną położenia po czasie i tylko ona ma jednoznaczny sens matematyczny. Niemniej z fizycznego punktu widzenia powyższy iloraz różnicowy niewiele różni się od pochodnej przy małych przyrostach czasu i dlatego definicja powyższa prędkości chwilowej jest często używana, gdyż jest najbardziej poglądowa.

Tak określona prędkość może być zarówno dodatnia (oznacza to ruch w kierunku dodatnim osi Ox), jak i ujemna (ruch w kierunku ujemnym). Ma więc charakter wektorowy. Często interesuje nas jedynie wartość prędkości ("szybkość") i wówczas posługujemy się wartością bezwzględna prędkości.

W ruchu jednostajnym położenie jest liniową funkcją czasu: x = x0 + vt. Parametr x0 oznacza położenie początkowe i może być zarówno dodatni, jak i ujemny. Wielkość v jest prędkością w tym ruchu. Może ona być dodatnie lub ujemna. W pierwszym przypadku położenie zwiększa się podczas ruchu - ruch odbywa się w kierunku dodatnim. Gdy prędkość jest ujemna - ruch odbywa się w kierunku ujemnym. Wybór kierunku dodatniego i   ujemnego jest w zasadzie dowolny. W każdym przypadku prędkość jest stała podczas ruchu - nie zmienia się ani jej wartość, ani kierunek.

Kilka przykładów ruchu jednostajnego podanych jest na poniższym wykresie.


We wszystkich przypadkach położenie początkowe to punkt przecięcia wykresu z osią Ox. O znaku prędkości decyduje nachylenie prostej w stosunku do dodatniego kierunku osi czasu.
W przypadku (1) położenie początkowe x0>0, zaś prędkość v00. W przypadku (3), x0>0 oraz v>0.
Odpowiednie wykresy prędkości mają postać pokazaną na następnym wykresie.


Prędkość średnia

Prędkość średnia na drodze o długości s określa się jako stosunek tej drogi do czasu zużytego na jej pokonanie: .
Pojęcie to odnosi się jedynie do wartości prędkości, a nie do wektora prędkości.

Przykład.  Pojazd jedzie w jedną stronę odcinka (o długości l) z prędkością v1, następnie pokonuje ten sam odcinek jadąc w przeciwną stronę z prędkością v2. Prędkość średnia w całym ruchu wynosi:

.

Wynik ten nie równa się średniej arytmetycznej obu wartości prędkości, czyli
Gdy interesuje nas średni wektor prędkości, to wówczas możemy jedynie mówić o średniej arytmetycznej obu wektorów prędkości. W takich przypadkach pojęcie średniej ma inny sens.

Jednostki prędkości


Podstawową jednostką prędkości liniowej jest metr na sekundę: 1 m/s. W praktyce bardzo wygodną jednostką jest kilometr na godzinę 1 km/h równy:  1 km/h = 0,278 m/s. Specyficzną jednostką prędkości (względnej) jest liczba Macha, równa stosunkowi prędkości ciała poruszającego się w gazie do prędkości dźwięku w tym gazie. Gdy jest ona większa od 1, to mamy do czynienia z ruchem naddźwiękowym.

Dodawanie prędkości

 
Z sytuacją taka mamy do czynienia, gdy ciało A porusza się względem ciała B z prędkością v', natomiast ciało B porusza się względem ciała C z prędkością v0. Wówczas prędkość v ciała A względem C wynosi:

v = v0 ą v'.

Znak + odnosi się do przypadku, gdy obie prędkości są zgodne, znak - gdy prędkości są przeciwne. Znaki prędkości zależą od tego, jaki kierunek ustalimy za dodatni.
Oba przypadki można zapisać w sposób jednolity, gdy prędkości traktować będziemy jako wektory. Wówczas wypadkowa prędkość ma postać sumy wektorowej:

v = v0 + v'.
     
Przykład.   Woda w rzece płynie z prędkością 2 m/s. Wzdłuż rzeki płynie (z prądem) łódka o prędkości 4 m/s względem wody. Prędkość łódki względem brzegu wynosi 6 m/s. Gdyby łódka płynęła pod prąd, wówczas jej prędkość względem brzegu wynosiłaby -2 m/s. Ujemna wartość oznacza, że wypadkowa prędkość łódki skierowana jest przeciwnie do kierunku prądu wody. W tym zadaniu kierunek ruchu wody uważamy za dodatni.

Prędkość względna

W zapisie wektorowym prędkość względna wynosi:  v' = v - v0.  Jest to oczywiście odwrócenie wzoru na dodawanie prędkości.

Przyspieszenie

Przyspieszenie to szybkość zmian prędkości:
.

Przykład.  Samochód startuje tak, że prędkość 100 km/h osiąga w ciągu 20 sekund. Jego przyspieszenie wynosi:


W ruchu jednostajnym przyspieszenie równe jest zeru.
W ruchu jednostajnie przyspieszonym jest stałe. Jego wartość może być dodatnia lub ujemna. Gdy znak przyspieszenia pokrywa się ze znakiem prędkości, mamy do czynienia z przyspieszaniem, gdy ich kierunki są przeciwne - występuje opóźnienie


Ruch jednostajnie zmienny

Ruch taki opisują następujące zależności:

a = const
 v = v0 + at
 x = x0 + v0t +

Wszystkie występujące tu wielkości mogą być zarówno dodatnie, jak i ujemne. Wyjątek stanowi tu czas t, który z reguły przyjmuje się jako nieujemny (t 0); nie jest to jednak konieczne. Wykresy tych wielkości ilustruje poniższy rysunek, na którym przyjęto: x0 = 0,  v00.


Rzut pionowy

      We wszystkich rzutach przyspieszenie równe jest przyspieszeniu ziemskiemu g = 9,81 m/s2. Przyspieszenie to skierowane jest zawsze w dół. Jeśli zatem za dodatni kierunek przyjmiemy kierunek w górę, to a = - g.
      Zależność położenia pionowego w czasie:
,

gdzie y0 jest położeniem początkowym, v0 - prędkością początkową. Jeśli wyrzut następuje w górę, to prędkość ta jest dodatnia, gdy rzucamy ciało w dół - prędkość początkowa jest ujemna.
Zależność prędkości od czasu:
v= v0 - gt.

Rzut w górę

Czas wznoszenia się jest czasem po którym prędkość osiąga wartość zerową:
t0  =

Maksymalna wysokość, na jaką wzniesie się ciało wyrzucone w górę:

Spadanie w dół odbywa się w symetryczny sposób - prędkość końcowa tuż przed upadkiem równa jest prędkości wyrzutu.

Rzut w dół


Jeśli rzucamy ciało pionowo w dół z wysokości h, to wygodnie jest wtedy za dodatni kierunek ruchu przyjąć kierunek w dół. Wówczas możemy założyć, że  y0 = 0, zaś położenie końcowe  y = h. Czas spadania określony jest równaniem: h = 0 + v0t + (v0  oznacza tu bezwzględną wartość prędkości początkowej). Jego rozwiązaniem jest:

Wartość prędkości końcowej wynosi:
vk = v0 + gt0 = .

Przy spadaniu swobodnym bez prędkości początkowej, prędkość końcowa wynosi:
.

 
Ruch po równi pochyłej

Wszystkie wzory odnoszące się do ruchu jednostajnie zmiennego stosują się do równi pochyłej. Należy jedynie wstawić do nich odpowiednią wartość przyspieszenia. Wzdłuż równi jest ono wypadkową dwóch przyspieszeń: składowej przyspieszenia ziemskiego wzdłuż równi (równej g sin a,  gdzie a oznacza kąt nachylenia równi do poziomu) oraz składowej związanej z siłą tarcia i równej  fg cos a (f - współczynnik tarcia posuwistego).

a = g (sin a - f cos a).


Za oś Ox wybiera się wówczas linię wzdłuż równi, przy czym kierunek dodatni zwykle kieruje się w dół. Początkiem układu odniesienia może być punkt najwyższy lub najniższy.