+ Pokaż spis treści

Ruch dwuwymiarowy


Ruch dwuwymiarowy

Ruch dwuwymiarowy rozpatruje się najczęściej albo w płaszczyźnie pionowej (rzuty poziome i ukośne) lub tez w płaszczyźnie poziomej (różne ruchy po okręgu). Oba rodzaje ruchów opisuje się przy użyciu układu współrzędnych Oxy (oś Oy skierowana w górę kartki, oś Ox - w bok).
 
Położenie

Położenie punktu materialnego jest teraz reprezentowane przez dwie współrzędne wektora położenia: x oraz y. Można to w skrócie zapisać jako równość: r = (x, y). Obie współrzędne mogą podlegać różnym prawom, które nie są jednak niezależne od siebie, gdyż łączy je ten sam czas t.

Prędkość

Wektor prędkości jest złożeniem prędkości w kierunku "poziomym" i "pionowym":   v = (vx, vy ). Prędkości w kierunkach osi współrzędnych określa się jak w ruchu prostoliniowym.
 
Dodawanie i odejmowanie wektorów prędkości

Prędkości dodaje i odejmuje się metodą równoległoboku, jak pokazano na rysunku.


Algebraicznie oznacza to dodawanie lub odejmowanie odpowiednich współrzędnych:

vo  + v' = (vox +  vx' , voy + vy' ).
v - vo  =  (vx- vox ,  vy -  voy).

Różnica dwóch wektorów prędkości oznacza prędkość względną.
 
Przykład dodawania prędkości. Woda w rzece płynie z prędkością  v0 = 2 m/s. Prostopadle do niej płynie łódka z prędkością v' =  4 m/s względem wody. Prędkość łódki względem brzegu jest równa długości przekątnej prostokąta (wektory v0  i  v' są tym razem prostopadłe do siebie). Wynosi ona  = 2 m/s ť 4,438 m/s.
 
Przykład odejmowania prędkości. Jeden samochód jedzie na wschód z prędkością 60 km/h, drugi - na północ, z prędkością 80 km/h. Ich prędkość względna wynosi 100 km/h i nie zależy od czasu - w każdej chwili jest taka sama.
Jeśli wektory prędkości tworzą kąt różny od 90o, to wartość i nachylenie wypadkowego wektora prędkości znajduje się według następującego sposobu, prawdziwego dla dowolnych wektorów A i B. Najpierw dodajemy (lub odejmujemy) odpowiednie współrzędne, a następnie stosujemy twierdzenie Pitagorasa. W ten sposób na długość wypadkowego wektora dostajemy wzór:

 
Nachylenie wektora wypadkowego do kierunku Ox jest kątem, którego tangens wynosi:

tg a = .

W ostatnim przykładzie za kierunek osi Ox możemy przyjąć kierunek na wschód. Wówczas prędkość względna samochodów tworzy z tym kierunkiem kąt taki, że jego tangens wynosi 4/3.  Jest to kąt bliski wartości 53o.
 
Przyspieszenie

W ruchu na płaszczyźnie przyspieszenie jest wektorem zdefiniowanym jako:

.

Przyrost Dv należy rozumieć jako różnicę dwóch wektorów prędkości  v2  i  v1 , odpowiadających - odpowiednio - chwilom  t + Dt oraz t: 

Dv = v2 - v1.

Zmiana prędkości może nastąpić na dwa sposoby: albo przez zmianę wartości prędkości, albo przez zmianę jej kierunku (lub też na oba te sposoby jednocześnie). Zmiana wartości występuje w ruchach prostoliniowych, w rzutach itp. Zmiana kierunku, ale bez zmiany wartości występuje w ruchu jednostajnym po okręgu.
 
Rzut ukośny

Rzut ukośny analizuje się najczęściej przez wybór układu odniesienia, jak na rysunku.


W kierunku poziomym (oś Ox) ruch jest jednostajny, ze stałą prędkością równą vx  =  v0  cos a. Położenie poziome zmienia się w czasie według wzoru:  (na rysunku: x0 = 0).
Położenie pionowe podlega prawu:   (na rysunku: y0 = 0).
Krzywa przedstawiona na rysunku jest parabolą o równaniu: y= .
Prędkość pionowa zmienia się według wzoru: vy = v0 sin a - gt..
Maksymalna wysokość, na jaką wzniesie się ciało: h = .
Zasięg rzutu w kierunku poziomym: .
Największy zasięg przy ustalonej prędkości początkowej występuje dla rzutu pod katem 45o.
 
Ruch po okręgu

Ruch po okręgu (lub jego fragmencie) może być realizowany na wiele sposobów. Wykonują go:
  • ciała zataczające pełne obroty w ruchu wirowym wokół ustalonej osi (satelity, elektrony w modelu Bohra atomu, cząstki stanowiące elementy bryły sztywnej obracanej wokół pewnej osi itp.);
  • ciała poruszające się po łuku okręgu (pojazdy mechaniczne na zakrętach, mikrocząstki przebiegające przez pole magnetyczne);
  • wahadła.
Do opisu takiego ruchu można stosować wielkości (prędkość, przyspieszenie) liniowe bądź kątowe. Prędkość kątową w definiuje się jako stosunek zmiany kąta odchylenia Da do czasu Dt, w którym ta zmiana  kąta następuje:

.

Ponieważ kąt a równy jest stosunkowi długości łuku s do promienia r okręgu, to 
Związek prędkości liniowej (stycznej do okręgu) i prędkości kątowej jest więc następujący: v= w r, gdzie r oznacza promień okręgu.

W ruchu jednostajnym po okręgu prędkość kątowa jest stała i równa stosunkowi drogi kątowej (np. 2p) do odpowiadającego jej czasu (w tym przypadku - okresu T ruchu): .
Można też wyrazić ją przez częstotliwość f  obrotów, czyli liczbie obrotów w jednostce czasu. Jest ona równa odwrotności okresu: 
Mamy wtedy: w = 2pf.

Przykład.  Prędkość liniowa ciał znajdujących się na równiku Ziemi, związana z jej ruchem obrotowym wokół własnej osi. W tym przypadku T = 86 400 s, zaś promień okręgu r = 6400 km. Zatem  v = (2p/86400 s) (6400 000 m) = 465 m/s = 16,7 km/h

Identyczny, jak dla prędkości, związek zachodzi dla przyspieszeń: przyspieszenie liniowe a styczne do okręgu jest równe przyspieszeniu kątowemu e pomnożonemu przez promień okręgu: a = e r .

Przyspieszenie styczne nie występuje w ruchu jednostajnym po okręgu. Pojawia się jedynie wtedy, gdy wartość prędkości stycznej ulega zmianie, jak np. podczas hamowania obracającego się koła.

Przyspieszenie dośrodkowe

W każdym ruchu po okręgu - zarówno jednostajnym, jak i przyspieszonym - obecne jest przyspieszenie dośrodkowe. Związane jest ono ze zmianą kierunku prędkości stycznej, ale nie ze zmianą jej wartości. W każdym momencie może ono być różne. Ogólny wzór na to przyspieszenie  jest następujący:

,

gdzie v oznacza chwilową wartość prędkości liniowej stycznej do okręgu. Można je też wyrazić przez prędkość kątową: ar = w2 r.

Przykład. Samochód jadący ze stałą prędkością 36 km/h po łuku drogi o promieniu krzywizny  r = 20 m doznaje przyspieszenia dośrodkowego równego  ar = (36000 m/3600 s)2 / 20 m = 5 m/s2.
W ruchu jednostajnym po okręgu przyspieszenie dośrodkowe może być wyrażone przez okres ruchu lub częstotliwość obrotów: .

Przykład. Przyspieszenie dośrodkowe związane z ruchem obrotowym Ziemi wynosi (na równiku): ar = (465 m/s)2 / (6400 000 m) = 0,034 m/s2, jest więc blisko 340 razy mniejsze od przyspieszenia grawitacyjnego g. Wartość ta zmniejsza się stopniowo aż do zera w miarę przesuwania się w kierunku biegunów ziemskich.