+ Pokaż spis treści

Ruch drgający harmoniczny


Ruchem drgającym jest każdy ruch, w którym następuje powtarzanie się stanu ruchu. Oznacza to, że istnieje taki okres czasu T, po upływie którego położenie, prędkość i przyspieszenie ciała osiągają takie same wartości, jak poprzednio. Można to zapisać matematycznie w następujący sposób:
 
      x(t + T) = x(t)                        
 
dla każdej wartości czasu t. W tym sensie ruchem drgającym jest np. ruch kulki spadającej na płaską płytę, od której odbija się sprężyście lub ruch wahadłowy tramwajów czy pociągów. Przedmiotem zainteresowań fizyki jest jednak pewien specyficzny rodzaj drgań, jakimi są tzw. drgania harmoniczne, czyli takie, które przebiegają w sposób bardziej płynny, tak, jak funkcja sinus lub cosinus.

W każdym ruchu drgającym można wyróżnić pewien punkt równowagi, wokół którego odbywają się drgania. Wychylenie z tego punktu oznaczać będziemy symbolem x. Maksymalne wychylenie nazywa się amplitudą drgań; będziemy ją oznaczać symbolem A. Ponadto każdy ruch drgający zachodzi z pewną częstotliwością  f  lub z pewnym okresem T. Między częstotliwością i okresem zachodzi prosty związek:
 
T =

Jeśli np. w ciągu sekundy ciało wykonuje 2 pełne drgania (tzn.  f = 2 s-1), to okresem tego ruchu jest T = 0,5 s.
 
Kinematyka ruchu harmonicznego
 
Wychylenie x w ruchu harmonicznym zmienia się zgodnie z regułą:
 
x = A cos
 
Oznacza to, że w chwili początkowej ciało znajduje się w położeniu skrajnym i od tego momentu zaczynamy odliczanie czasu. Gdyby przyjąć, że w chwili początkowej ciało przebywa w położeniu równowagowym, to zamiast funkcji cosinus należałoby użyć funkcji sinus. Wykresem tej zależności jest krzywa, przedstawiona na poniższym rysunku.



Wielkość oznacza się często symbolem w i nazywa częstością drgań. Jest ona równa prędkości kątowej w ruchu punktu po okręgu, w którym rzut tego punktu na oś pionowa wykonuje drgania harmoniczne.



Jeśli ruch jest jednostajny, to a = wt  (zakładamy, że w chwili początkowej a = 0) i wówczas otrzymujemy
 
x = A cos a = A cos wt                                          
(w = 2p/T)
 
Prędkość w ruchu harmonicznym równa jest składowej poziomej prędkości stycznej do okręgu, czyli
 
v = - Aw sin a = - Aw sin wt.
 
W chwili początkowej prędkość równa jest zeru. Taka sama wartość odpowiada obu skrajnym położeniom (x = ą A). Natomiast podczas przechodzenia przez położenie równowagi prędkość osiąga wartość maksymalna równą vmax = Aw.

Przykład.   Ciało wykonuje drgania o okresie T = 2 s oraz amplitudzie A = 10 cm. Prędkość maksymalna w tym ruchu wynosi vmax = (0,1 m) (2p/2s) ť 0,3 m/s.
 
Przyspieszenie w ruchu harmonicznym to składowa pozioma przyspieszenia dośrodkowego, czyli
 

 
Widać stąd, że między przyspieszeniem i wychyleniem istnieje prosty związek:
 
a =- w2 x
 
czyli między tymi wielkościami istnieje prosta proporcjonalność.
 
Siła sprężysta
 
Ruch harmoniczny odbywa się pod wpływem siły, którą nazywa się sprężystą. Z ostatniego związku wynika (po pomnożeniu jego obu stron przez masę ciała drgającego m), że
 
F = - mw2 x  = - kx.
 
Siła sprężysta jest to taka siła, która jest proporcjonalna do wychylenia z położenia równowagi i skierowana przeciwnie (znak "minus") do wychylenia. Jej wykresem jest linia prosta.


W powyższym związku wprowadziliśmy parametr k zwany stałą sprężystą lub współczynnikiem sprężystości. Jest on równy:
 
k = mw2 = m
 
Z równości tej można obliczyć okres drgań:
 
T = 2p
 
Tak więc znajomość stałej sprężystej pozwala obliczyć okres drgań. Zauważmy, że amplituda drgań (początkowe wychylenie) nie ma wpływu na ich okres.
 
Przykład 1. Rozciągnięcie sprężyny o 10 cm wymaga siły 5 N. Oznacza to, że stała sprężysta tej sprężyny wynosi  k =(5 N)/ (0,1 m) = 50 N/m. Jeśli sprężynę taką obciążymy ciężarkiem o masie m = 0,2 kg, to może on wykonywać drgania o okresie

T = 2p  

Przykład 2. Na powierzchni jeziora pływa drewniany klocek sześcienny o boku b = 10 cm i masie m = 0,6 kg. W stanie równowagi jego ciężar pokrywa się z ciężarem wypartej wody. Po zwiększeniu zanurzenia o x pojawia się dodatkowy wypór równy ciężarowi wody w części zakreskowanej.



Siła ta wynosi:
 
F =Dm g = (b2 x) rg = (b2rg )x
 
gdzie r oznacza gęstość wody równą 1000 kg/m3. Wynika stąd, że siła F  jest proporcjonalna do wychylenia x, jest to więc siła harmoniczna. Stała sprężysta tej siły równa jest współczynnikowi stojącemu przy x, czyli:
 
k = b2rg.
 
Okres drgań tego klocka po uwolnieniu wyniesie:
 
T = 2p  ť 0,5 s.
 
Proporcjonalność między siłą a rozciągnięciem nie ma charakteru absolutnego. Istnieje pewne ograniczenie na wartość rozciągnięcia, nazywane granicą sprężystości. Powyżej tej wartości pojawiają się odkształcenia trwałe - po usunięciu siły zewnętrznej ciało nie wraca do pierwotnego kształtu. Wartość graniczna zależy od rodzaju ciała. Jest stosunkowa duża dla sprężyn, gum, wyrobów metalicznych, ale bardzo mała dla ciał kruchych lub plastycznych.
 
Energia sprężysta
 
Rozciągnięcie sprężyny lub wychylenie innego ciała z położenia równowagi trwałej o odcinek x wymaga wykonania przez siły zewnętrzne pewnej pracy W. Jest ona równa polu trójkąta OAB ograniczonego wykresem siły F w funkcji położenia.



Pole to jest równe
 
W = kx2

 
Wzór ten określa energie potencjalną każdego ciała, odchylonego o odcinek x  z położenia równowagi.
 
Przykład.   Rozciągnięcie sprężyny o 1 cm wymaga pracy 2 J. Jaka pracę należy wykonać, by sprężynę rozciągnąć o następny 1 cm? Otóż rozciągnięcie sprężyny o 2 cm wymaga pracy W2 = 0,5 k × 4 cm2. Z kolei praca rozciągnięcia sprężyny o 1 cm wynosi  W1 = 0,5 k × 1 cm2 = 2 J. Zatem szukana praca W  równa jest W = W2 - W1 = 3W1 = 6 J.
 
Ogólnie można powiedzieć, że rozciągnięcie sprężyny od wartości a do wartości b (obie wartości mierzone są względem sprężyny nie rozciągniętej) wymaga pracy:
 
  Wa->b =
 
Energia w ruchu harmonicznym
 
Zarówno energia kinetyczna, jak i potencjalna, drgającego ciała zmienia się w czasie. Zmiany te wyrażone są wzorami:
 
Ek = =
 
Ep
 
Ponieważ k = mw2, toteż energia całkowita jest stała:
 
Ec = Ek + Ep = kA2 ( ) = kA2 .
 
Wykresy tych trzech energii przedstawione są na poniższym rysunku.



Drgania wymuszone - rezonans
           
Jeśli oprócz siły sprężystej działa na ciało inna siła, której wartość zmienia się periodycznie z częstością W, to drgania ciała odbywać się będą z okresem równym okresowi zmian tej siły. Amplituda tych drgań zależy od różnicy między częstością drgań własnych (równą w = ) oraz częstością siły wymuszającej. Gdy obie te częstości są równe, mamy do czynienia z rezonansem - amplituda drgań osiąga wartość maksymalną. Może osiągać one nawet bardzo duże wartości i jest ograniczona siłami oporu istniejącymi w ośrodku, w którym drgania te zachodzą. Wykres zależności amplitudy drgań wymuszonych od częstości drgań siły wymuszającej przedstawiony jest na rysunku.



Zjawisko rezonansu występuje nie tylko w mechanice, ale jest powszechnie wykorzystywane np. w radiofonii, optyce i innych działach techniki.