+ Pokaż spis treści

Równania i nierówności wymierne


Równania wymierne

Równaniem wymiernym nazywamy równanie postaci:



gdzie  i  są wielomianami i  nie jest wielomianem zerowym.

Dziedzina równania wymiernego.

Dziedziną równania wymiernego są wszystkie liczby rzeczywiste za wyjątkiem pierwiastków wielomianu  znajdującego się w mianowniku wyrażenia :



Rozwiązanie równania wymiernego sprowadza się do rozwiązania równania algebraicznego
z uwzględnieniem, że otrzymane rozwiązania należą do dziedziny równania wymiernego.

Zatem:


Schemat rozwiązywania równań wymiernych.

Rozwiązanie równania wymiernego przeprowadza się według schematu:

1. Rozłożenie na czynniki wielomianów występujących w mianownikach i ustalenie dziedziny równania.

2. Wyznaczenie wspólnego mianownika dla wszystkich wyrażeń wymiernych występujących w równaniu.

3. Pomnożenie obydwu stron równania przez wspólny mianownik.

4. Rozwiązanie otrzymanego równania algebraicznego.

5. Sprawdzenie, które z otrzymanych rozwiązań równania algebraicznego należą do dziedziny równania wymiernego.

6. Sformułowanie odpowiedzi.

Przykład:
Rozwiąż równanie: 

Rozwiązanie:
Rozwiązanie równania przebiega według przedstawionego schematu.

1. Rozkładamy mianowniki na czynniki i wyznaczamy dziedzinę równania:



Otrzymujemy równanie:


Dziedziną danego równania jest zbiór:


2. Wyznaczamy wspólny mianownik:


3. Mnożymy równanie stronami przez wspólny mianownik  i otrzymujemy równanie algebraiczne:



4. Rozwiązujemy otrzymane równanie algebraiczne:

      

Otrzymaliśmy równanie kwadratowe.

Rozwiązaniem równania kwadratowego są liczby:  i

5. Sprawdzamy, który z otrzymanych pierwiastków należy do dziedziny równania wymiernego:

. Jedynym pierwiastkiem równania wymiernego jest więc liczba
Odp. Rozwiązaniem danego równania jest liczba

Nierówności wymierne


Nierównością wymierną nazywamy każdą nierówność postaci:

,    ,   ,   .

gdzie  i  są wielomianami i  nie jest wielomianem zerowym.

Dziedzina nierówności wymiernej.

Dziedziną nierówności wymiernej są wszystkie liczby rzeczywiste za wyjątkiem pierwiastków wielomianu  znajdującego się w mianowniku wyrażenia 

Przy rozwiązywaniu nierówności wymiernych korzysta się z faktu, że iloraz i iloczyn tych samych wyrażeń mają taki sam znak tzn. z równoważności:
.
Rozwiązanie nierówności wymiernej sprowadza się więc do rozwiązania odpowiedniej nierówności algebraicznej z uwzględnieniem dziedziny nierówności wymiernej.

Schemat rozwiązywania nierówności wymiernych.

Rozwiązanie równania wymiernego przeprowadza się według schematu:

1. Rozłożenie na czynniki wielomianów występujących w mianownikach i ustalenie dziedziny nierówności

2. Przeniesienie wszystkich wyrażeń wymiernych na jedną stronę nierówności, po drugiej stronie zostaje zero.

3. Wyznaczenie wspólnego mianownika dla wszystkich wyrażeń wymiernych występujących w nierówności.

4. Sprowadzenie wszystkich wyrażeń wymiernych występujących w nierówności do wspólnego mianownika i zapisanie w postaci jednego ułamka.

5. Rozłożenie na czynniki wielomianu występującego w liczniku otrzymanego wyrażenia (mianownik jest już przedstawiony w postaci iloczynowej).

6. Zastąpienie ilorazu przez iloczyn z uwzględnieniem założeń:

        
        
        
        

Ten sam rezultat uzyskuje się przez pomnożenie nierówności stronami przez kwadrat mianownika.

7. Rozwiązanie nierówności wielomianowej z uwzględnieniem założeń.

8. Sformułowanie odpowiedzi.

Przykład:
Rozwiąż nierówność:     

Rozwiązanie:
Rozwiązanie nierówności przebiega według przedstawionego schematu.

1. Rozkładamy mianowniki na czynniki i wyznaczamy dziedzinę nierówności:




Aby rozłożyć na czynniki pozostałe dwa wielomiany z mianowników, musimy rozwiązać odpowiednie równania kwadratowe:



Wynika stąd, że:



Analogicznie: 

czyli: 


Otrzymujemy nierówność:


Dziedziną danej nierówności jest zbiór:



2. Przenosimy wyrazy na jedną stronę nierówności:



3. Wyznaczamy wspólny mianownik:



4. Sprowadzamy wyrażenia do wspólnego mianownika i zapisujemy na jednej kresce ułamkowej:



5. Przekształcamy wyrażenie w liczniku otrzymanego ułamka i rozkładamy je na czynniki:



czyli:



Należy teraz wyznaczyć pierwiastki równania 

Tak więc otrzymujemy:



6. Zastępujemy iloraz iloczynem uwzględniając założenia:

  i  

7. Rozwiązujemy otrzymaną nierówność wielomianową z uwzględnieniem dziedziny nierówności wymiernej.
Korzystamy z metody graficznej rozwiązywania nierówności wielomianowej:


Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań danej nierówności: