+ Pokaż spis treści

Równania i nierówności wykładnicze


Równania wykładnicze

Równaniem wykładniczym nazywamy równanie, w którym niewiadoma występuje w wykładniku potęgi.

Sposób rozwiązania równania wykładniczego zależy od jego typu. Najczęściej jednak w rozwiązaniu stosuje się metodę sprowadzania do wspólnej podstawy lub metodę podstawienia.

Podstawowe metody rozwiązywania równań wykładniczych.

1. Najprostszym równaniem wykładniczym jest równanie postaci:



gdzie jest dowolną funkcją różną od stałej.

Rozwiązując takie równanie korzysta się z równości:



Przykład:
Rozwiąż równanie: 

Rozwiązanie:


2. Metoda sprowadzania do wspólnej podstawy.

Metoda ta polega na doprowadzeniu równanie do postaci,  w której po obu stronach znaku równości znajdą się potęgi o tej samej podstawie. Następnie wykorzystując różnowartościowość funkcji wykładniczej równość potęg zamienia się na równość wykładników tych potęg:



i rozwiązuje równanie:



Przykład:
Rozwiąż równanie: 
Rozwiązanie:
Przekształcamy powyższe równanie korzystając z praw działań na potęgach:



Po dwóch stronach równania znajdują się potęgi o tych samych podstawach, więc równość potęg można zastąpić równością ich wykładników:



3. Niektórych równań nie da się doprowadzić do wystąpienia po obu stronach potęg o takich samych podstawach, ale można doprowadzić do wystąpienia po obu stronach potęg o różnych podstawach: 

Następnie korzystając z zależności:
doprowadza się dane równanie do postaci: 
W dalszej części postępuje się jak w punkcie 2.

4. Metoda podstawienia.

W równaniu typu: 
gdzie jest dowolną funkcją różną od stałej stosuje się podstawienie  , przy założeniu , ponieważ funkcja wykładnicza przyjmuje tylko wartości dodatnie.

Przykład:
Rozwiąż równanie: 

Rozwiązanie:
Stosujemy podstawienie: ,  
Otrzymujemy: 
czyli równanie kwadratowe.


Pierwiastek  nie spełnia założeń, więc nie bierzemy go pod uwagę. Dla  otrzymujemy: 
Odp.

5. Metoda graficzna.

Równanie typu: 
gdzie  jest dowolną funkcją różną od stałej, rozwiązuje się metodą graficzną.

Nierówności wykładnicze

Nierówności, w których niewiadoma występuje wyłącznie w wykładniku potęgi nazywamy nierównościami wykładniczymi

Metody rozwiązywania nierówności wykładniczych są analogiczne do metod rozwiązywania podobnych równań wykładniczych. Jedyną różnicę stanowi sposób przechodzenia z nierówności potęg do nierówności  ich wykładników (korzysta się przy tym z monotoniczności funkcji wykładniczej).

Ponieważ dla funkcja wykładnicza jest malejąca, więc:

,

czyli opuszczając podstawy dla  zmieniamy znak nierówności na przeciwny.

Ponieważ dla  funkcja wykładnicza jest rosnąca, więc: , czyli opuszczając podstawy dla pozostawiamy znak nierówności bez zmian.

Przykład:

Rozwiąż nierówności:

a) 
b) 

Rozwiązanie:

a) Najpierw należy przekształcić powyższą nierówność korzystając z praw działań na potęgach:



Doprowadziliśmy nierówność do postaci:

(znak nierówności nie został zmieniony, ponieważ podstawa potęgi  ).

Odp. Zbiorem rozwiązań nierówności jest zbiór

b) Przekształcamy  nierówność korzystając z praw działań na potęgach:


W przedostatnim kroku przechodząc z nierówności potęg na nierówność wykładników, zmieniliśmy znak nierówności na przeciwny, ponieważ podstawa potęgi

Odp. Zbiorem rozwiązań nierówności jest zbiór