+ Pokaż spis treści

Równania i nierówności trygonometryczne

 
Równania trygonometryczne

Równaniem trygonometrycznym nazywamy równanie, w którym niewiadoma występuje wyłącznie jako argument funkcji trygonometrycznych.
 
Funkcje trygonometryczne są okresowe. Wynika stąd, że jeśli liczba  jest rozwiązaniem równania trygonometrycznego, to rozwiązaniem tego równania jest również każda liczba różniąca się od  o wielokrotność okresu tzn. dla funkcji sinus i cosinus oraz  dla funkcji tangens i cotangens, gdzie jest dowolną liczbą całkowitą.
 
Elementarne równania trygonometryczne
 
Elementarnymi równaniami trygonometrycznymi nazywamy równania mające postać:
,     ,     ,     ,

 
gdzie  jest ustaloną liczbą rzeczywistą.
 
Ponieważ dla każdego  wartości funkcji sinus i cosinus zawierają się w przedziale , więc równania    i   mają rozwiązania tylko wtedy, gdy .
 
Rozwiązania elementarnych równań trygonometrycznych zawiera tabela:
 
Równanie
Dziedzina równania
Rozwiązanie równania
Przedział podstawowy















 
Przykład:
Rozwiąż równania: a) ,  b) ,  c) ,  d) .
 
Rozwiązanie:
a) Szukamy kąta należącego do przedziału , którego sinus wynosi .
Jest to kąt  . Rozwiązaniem danego równania są więc liczby:
   lub   , gdzie   .

 
b) Kątem z przedziału , którego cosinus wynosi  jest kąt  równania są liczby:
   lub   , gdzie   .

c) Kątem z przedziału ,którego tangens wynosi -1 jest kąt  . Tak więc rozwiązaniem danego równania są liczby:
, gdzie   .

d) Kątem z przedziału ,którego cotangens wynosi 1 jest kąt  . Tak więc rozwiązaniem danego równania są liczby:
, gdzie  .



Rozwiązanie dowolnego równania trygonometrycznego
 
Metoda rozwiązywanie dowolnego równania trygonometrycznego jest zależna od typu tego równania. Zostaną omówione trzy z nich.
 
1. Równania dające się sprowadzić do postaci: , gdzie  jest jedną z funkcji trygonometrycznych , a  i  są funkcjami zmiennej .
 
Rozwiązanie takiego równania polega na skorzystaniu z zależności zamieszczonych w tabeli:
Równanie
Rozwiązanie
Założenia

lub
brak

lub
brak

i

i
,  

Gdy po dwóch stronach równania trygonometrycznego wystąpi funkcja i odpowiadająca jej kofunkcja tzn.:

lub

to jedną z tych funkcji zamieniamy na kofunkcję np.:

lub
.

i powstałe równanie rozwiązujemy zgodnie z zależnościami zamieszczonymi w tabeli:
 
Przykład:
Rozwiąż równania:  a) ,    b) .
 
Rozwiązanie:
Równania powyższe rozwiązujemy zgodnie z zależnościami przedstawionymi w tabeli.
 
a)      lub    
    lub    
    lub   
Odp.     lub    .
b) Najpierw należy zapisać założenia: 
   Ű        Ű    

Teraz jedną z funkcji (np. cotangens) zamieniamy na kofunkcję:
 Ű      

 
Korzystamy z zależności z tabeli i otrzymujemy:

Uwzględniając założenia otrzymujemy:
.
Odp.  
 
2. Równania trygonometryczne dające się sprowadzić do alternatywy elementarnych równań trygonometrycznych. 
      Rozwiązywanie dowolnego równania trygonometrycznego polega w tej metodzie na takim przekształcaniu tego równania (przy pomocy wzorów trygonometrycznych i algebraicznych), aby po prawej stronie równania otrzymać 0, a lewą przedstawić w postaci iloczynu prostych czynników (tzn. doprowadzić równanie do alternatywy elementarnych równań trygonometrycznych), np.:

      Dalsze rozwiązanie równania polega na wykorzystaniu własności zera jako czynnika - iloczyn kilku czynników jest równy zero, gdy co najmniej jeden z nich jest równy zero:
.


Przykład: 
Rozwiąż równania:  a).
Rozwiązanie:
a) Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia i ze wzoru na sinus podwojonego argumentu:

Korzystamy z jedynki trygonometrycznej i przeprowadzamy redukcję wyrazów podobnych:

Mnożymy równanie stronami przez liczbę 2 i korzystamy ze wzoru na sinus podwojonego argumentu:

Wyciągamy przed nawias wspólny czynnik :

Korzystamy z jedynki trygonometrycznej:
    Ű          Ű      Ű  
   

Otrzymaliśmy alternatywą elementarnych równań trygonometrycznych, których rozwiązaniami są:
<.

Rozwiązanie to można podać w prostszej postaci, ponieważ kąty  w okresie  
są położone w odległości  jeden od drugiego. Tak więc:
, gdzie .

 
3. Równania dające się rozwiązać metodą zmiennej pomocniczej (metodą podstawienia)
 
Rozwiązanie równania trygonometrycznego postaci:
  lub      lub      lub   

polega na zastosowaniu podstawienia:
   lub      i   ,
   lub     i   
i rozwiązaniu równania:  
.

Po rozwiązaniu tego równania wracamy do zmiennej .
 
Założenia dotyczące zmiennej  wynikają ze zbiorów wartości funkcji trygonometrycznych


 
Przykład:
Rozwiąż równanie:    .
 
Rozwiązanie:
Korzystamy najpierw ze wzoru na sinus podwojonego argumentu:

Korzystamy z jedynki trygonometrycznej i  zamieniamy na :

Wykonujemy mnożenie i przeprowadzamy redukcję wyrazów podobnych:

Otrzymaliśmy równanie dwukwadratowe, które rozwiążemy przy pomocy zmiennej pomocniczej:

Należy teraz rozwiązać równanie kwadratowe:  .
.

Stąd otrzymujemy: 

Rozwiązaniem powyższej alternatywy elementarnych równań trygonometrycznych są liczby:
.

Reasumując:
, gdzie .


Nierówności trygonometryczne


Nierównością trygonometryczną nazywamy nierówność, w której niewiadoma występuje wyłącznie jako argument funkcji trygonometrycznych.
 
Proste nierówności trygonometryczne

Proste nierówności trygonometryczne rozwiązuje się w oparciu o wykresy odpowiednich funkcji trygonometrycznych. Przy konstruowaniu odpowiedzi należy pamiętać o okresowości funkcji trygonometrycznych.

1.
  1. Dla  nierówność jest sprzeczna - .
  2. Dla  jest to nierówność bezwarunkowa (spełniona zawsze) - .
  3. Dla  rozwiązanie nierówności odczytuje się z wykresu funkcji .

Jeśli , gdzie , to rozwiązaniem nierówności jest zbiór:
, gdzie .

Nierówność  rozwiązuje się analogicznie.
 
2.
  1. Dla  nierówność jest sprzeczna - .
  2. Dla  jest to nierówność bezwarunkowa (spełniona zawsze) - .
  3. Dla  rozwiązanie nierówności odczytuje się z wykresu funkcji .
Jeśli , gdzie , to rozwiązaniem nierówności jest zbiór:
, gdzie .

Nierówność  rozwiązuje się analogicznie
 
3. 
  1. Dla  nierówność jest sprzeczna - .
  2. Dla  jest to nierówność bezwarunkowa (spełniona zawsze) - .
  3. Dla  rozwiązanie nierówności odczytuje się z wykresu funkcji .

Jeśli , gdzie , to rozwiązaniem nierówności jest zbiór:
, gdzie .

Nierówność  rozwiązuje się analogicznie.
 
4.
  1. Dla  nierówność jest sprzeczna - .
  2. Dla  jest to nierówność bezwarunkowa (spełniona zawsze) - .
  3. Dla  rozwiązanie nierówności odczytuje się z wykresu funkcji .

Jeśli , gdzie , to rozwiązaniem nierówności jest zbiór:
, gdzie .

Nierówność  rozwiązuje się analogicznie
 
5. 
Rozwiązanie tej nierówności odczytuje się z wykresu funkcji .

Jeśli , gdzie , to rozwiązaniem nierówności jest zbiór:
, gdzie .

Rozwiązanie nierówności , jest zbiór:
, gdzie .

 
6. 
Rozwiązanie tej nierówności odczytuje się z wykresu funkcji .

 
Jeśli , gdzie , to rozwiązaniem nierówności jest zbiór:
, gdzie .

Rozwiązanie nierówności , jest zbiór:
, gdzie .

 
7. 
Rozwiązanie tej nierówności odczytuje się z wykresu funkcji .

Jeśli , gdzie , to rozwiązaniem nierówności jest zbiór:
, gdzie .

Rozwiązanie nierówności , jest zbiór:
, gdzie .

 
8. 
Rozwiązanie tej nierówności odczytuje się z wykresu funkcji .

Jeśli , gdzie , to rozwiązaniem nierówności jest zbiór:
, gdzie .

Rozwiązanie nierówności , jest zbiór:
, gdzie .

 
Przykład:
Rozwiąż nierówności:
a)      b)  ,    c)  ,    d)  .
 
Rozwiązanie:
a) Ponieważ   dla  , więc rozwiązaniem danej nierówności jest:
, gdzie ,

gdyż .

b) Ponieważ  dla , więc rozwiązaniem danej nierówności jest:
, gdzie ,

gdyż .

c) Ponieważ  dla , więc rozwiązaniem danej nierówności jest:
, gdzie .

d) Ponieważ  dla , więc rozwiązaniem danej nierówności jest:
, gdzie .

 
Dowolne nierówności trygonometryczne

      Rozwiązywanie dowolnej nierówności trygonometrycznej polega (podobnie jak przy równaniach trygonometrycznych) na takim przekształcaniu tej nierówności (przy pomocy wzorów trygonometrycznych i algebraicznych), aby doprowadzić ją do koniunkcji prostych nierówności trygonometrycznych. Często korzysta się też z metody podstawiania.
 
Przykład:
Rozwiąż nierówności:
a) ,    b) ,
c) .
 
Rozwiązanie:
a) Najpierw przeniesiemy jedynkę na obie strony nierówności podwójnej:

Teraz  zamienimy na kofunkcję -  i zastosujemy wzór na różnicę sinusów:
.

Ponieważ , więc otrzymujemy:
.

Dzielimy nierówność stronami przez  i otrzymujemy:
.

Ponieważ:  i , więc dana nierówność jest spełniona zawsze, czyli .
b) .
      Najpierw przekształcimy daną nierówność korzystając ze wzorów trygonometrycznych i algebraicznych:


      Ponieważ dla każdej wartości zmiennej , więc aby nierówność była spełniona drugi czynnik  musi być dodatni:
.
      Rozwiązanie tej alternatywy prostych nierówności można odczytać z wykresu funkcji :
, gdzie .

c) .
      Najpierw przekształcimy daną nierówność korzystając ze wzorów trygonometrycznych i algebraicznych:
.

Ale   oraz  , więc otrzymujemy:
.
      Ponieważ zbiorem wartości sinusa jest przedział , więc nierówność jest sprzeczna.