+ Pokaż spis treści

Równania i nierówności n-tego stopnia


Równania -tego stopnia

Równanie:



gdzie  jest wielomianem stopnia , nazywamy równaniem algebraicznym -tego stopnia ( w skrócie równaniem -tego stopnia):

W szczególności równaniami -tego stopnia są omówione już równania liniowe i kwadratowe.

Istnieją skomplikowane wzory pozwalające obliczyć pierwiastki równań trzeciego i czwartego stopnia (tzw. wzory Cardano).

Udowodniono, że dla równań wyższych stopni () nie istnieją gotowe wzory na wyznaczenie pierwiastków tych równań.

Sposoby rozwiązywania równań algebraicznych -tego stopnia dla

1. Równania dające się sprowadzić do równania kwadratowego:

, gdzie
 
Równanie to sprowadza się do równania kwadratowego przez podstawienie:
 


Założenie  wynika z faktu,  że

Po podstawieniu otrzymuje się równanie kwadratowe:



2. Równania zwrotne czwartego stopnia:


Równania takie rozwiązuje się poprzez wprowadzenie zmiennej pomocniczej:

3. Inne równania -tego stopnia.

Rozwiązując równanie algebraiczne dąży się do rozłożenia na czynniki wielomianu znajdującego się po jego lewej stronie:



Liczby  są rozwiązaniami tego równania.

Należy przy tym pamiętać, że:

Wielomian -tego stopnia ma co najwyżej n pierwiastków.

Wielomian stopnia nieparzystego ma co najmniej jeden pierwiastek.

Wielomian stopnia parzystego może nie mieć pierwiastków.

Wielomian może mieć pierwiastki wielokrotne:

Pierwiastki wielokrotne wielomianu.

Liczba jest -krotnym pierwiastkiem wielomianu -tego stopnia  wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian  jest podzielny przez   i nie jest podzielny przez 

Metody rozkładu wielomianu na czynniki:

a)wyciąganie wspólnego czynnika przed nawias,

b)grupowanie wyrazów,

c)wykorzystanie wzorów skróconego mnożenia,

d)wykorzystanie twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wielomianu i twierdzenia Bezouta.

Działania te mają doprowadzić do obniżenia  stopnia równania i rozwiązywania równania niższego stopnia.  Jeśli znajdzie się jeden pierwiastek  równania  , to dzieląc wielomian  przez dwumian  otrzyma się iloraz
 Ponieważ , więc w celu wyznaczenia kolejnych pierwiastków danego równania należy rozwiązać równanie , które jest o stopień niższe od równania danego. 
Postępuje się tak aż do uzyskania równania stopnia drugiego, dla którego istnieją gotowe wzory na pierwiastki

W punkcie d) korzysta się z następujących twierdzeń:

Twierdzenie Bezouta

Liczba  jest pierwiastkiem wielomianu wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian  jest  podzielny przez dwumian

Twierdzenie o pierwiastkach wielomianu o współczynnikach całkowitych

Jeżeli wszystkie współczynniki wielomianu są całkowite i  wielomian ten posiada pierwiastki wymierne postaci , to liczba  jest dzielnikiem wyrazu wolnego, a liczba  jest  dzielnikiem współczynnika przy najwyższej potędze . Gdy dodatkowo współczynnik przy najwyższej potędze jest równy jedności , to wymierne pierwiastki wielomianu o współczynnikach całkowitych są podzielnikami wyrazu wolnego 

Przykład:
Rozwiąż równania:

a)  
b)  

Rozwiązanie:
a) W równaniu tym można wyciągnąć przed nawias wspólny czynnik - 



a następnie pogrupować wyrazy:  i wyciągnąć w każdej grupie wspólny czynnik:



Na koniec można skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia:



Z powyższego rozkładu na czynniki wynika, że pierwiastkami równania są liczby:




b) Równanie to można rozwiązać korzystając z twierdzenia o wymiernych pierwiastkach wielomianu. Dany wielomian ma współczynniki całkowite i współczynnik przy najwyższej potędze jest równy 1, a więc pierwiastków całkowitych wielomianu należy szukać wśród podzielników jego wyrazu wolnego: 



Należy teraz kolejno podstawiać te liczby w miejsce zmiennej, aby sprawdzić, która z nich jest pierwiastkiem wielomianu  znajdującego się po lewej stronie równania:



Z tego wynika, że liczba  jest pierwiastkiem wielomianu. Należy teraz wielomian  podzielić przez dwumian :



Wynika stąd, że 

Należy teraz szukać pierwiastków wielomianu. Znów można skorzystać z twierdzenia o pierwiastkach całkowitych wielomianu. Wyrazy wolne wielomianów  i  są takie same, więc mają takie same podzielniki: 



Nie należy obliczać , ponieważ skoro , to również .Trzeba obliczyć , ponieważ liczba  może być pierwiastkiem wielokrotnym wielomianu.



Liczba  jest pierwiastkiem wielomianu (a więc również wielomianu ). Należy teraz podzielić wielomian  przez dwumian :



Wynika stąd, że 

Należy teraz wyznaczyć pierwiastki wielomianu , który jest trójmianem kwadratowym:



Wielomian można więc przedstawić w postaci iloczynowej: .

Odp. Pierwiastkami wielomianu  są:
 
 (pierwiastki jednokrotne) i (pierwiastek dwukrotny).

Nierówności algebraiczne -tego stopnia

Nierównością algebraiczną nazywamy każdą nierówność postaci:



gdzie  jest wielomianem.

Nierówności algebraiczne rozwiązuje się w dwóch etapach:

1. Rozłożenie na czynniki wielomianu znajdującego się po lewej stronie nierówności, co zostało omówione w punkcie: Równania algebraiczne -tego stopnia.
2. Właściwe rozwiązanie nierówności. 

Metody rozwiązywania nierówności wielomianowej, po rozłożeniu wielomianu na czynniki.

a) Metoda algebraiczna:

Wykorzystuje się w niej własności iloczynu. Znak iloczynu zależy od znaków jego czynników. Iloczyn nieparzystej liczby czynników ujemnych jest ujemny, iloczyn parzystej liczby czynników ujemnych jest dodatni.
Przykładowo, gdy w rozkładzie wielomianu w nierówności występują dwa czynniki, należy rozwiązać alternatywę warunków. Np. dla nierówności:



otrzymujemy:

  lub  

Suma rozwiązań obu układów nierówności jest rozwiązaniem danej nierówności wielomianowej.

Metoda ta jest uciążliwa, zwłaszcza dla większej liczby czynników występujących w rozkładzie wielomianu.

Przykład:
Rozwiąż nierówność:   

Rozwiązanie:



b) Metoda siatki znaków:

W metodzie tej porządkuje się miejsca zerowe wielomianu od najmniejszego do największego. Następnie, jeśli , to tworzy się przedziały: 

Teraz określa się znaki czynników w poszczególnych przedziałach, a następnie ustala znak wielomianu  w tych przedziałach. 

Wyniki zapisuje się w tabelce zwanej siatką znaków

W pierwszej kolumnie tabeli wpisuje się kolejne czynniki iloczynu, a w pierwszym wierszu kolejne przedziały. 

W kratkach tabeli wpisuje się znaki czynników dla zmiennej należącej do poszczególnych przedziałów.

W ostatnim wierszu wpisuje się znaki wielomianu w poszczególnych przedziałach (zlicza się liczbę minusów w danej kolumnie - gdy jest to liczba parzysta, wielomianowi przypisuje się znak dodatni, gdy jest to liczba nieparzysta, znak ujemny).

Np., gdy po rozłożeniu na czynniki wielomianu występującego w nierówności otrzymamy:



to układamy następującą siatkę znaków (przyjmujemy, że ):

 
  + + + +
+ + + + +
      + +
        +
  + +   +
 
Rozwiązanie odczytujemy z ostatniego wiersza:




Przykład:
Rozwiąż nierówność:  

Rozwiązanie:
Pierwiastki w kolejności:  Buduje się teraz siatkę znaków:

 
+ + + + +
    + + +
      + +
        +
    +   +
 
Odp. Odpowiedź odczytuje się z dolnego wiersza tabeli :




c) Metoda graficzna:

Polega ona na naszkicowaniu prowizorycznego wykresu wielomianu , przy czym nie jest ważny faktyczny kształt wykresu, a jedynie znaki wielomianu w poszczególnych przedziałach. 

Rysuje się oś liczbową i zaznacza na niej wszystkie pierwiastki wielomianu 
Szkicowanie wykresu rozpoczyna się na prawo od największego pierwiastka. Najpierw należy ustalić znak wielomianu dla zmiennych o wartościach większych od największego pierwiastka (np. przez podstawienie liczby większej od największego pierwiastka w miejsce zmiennej w wielomianie lub licząc ilość minusów przed zmiennymi). Jeśli wielomian jest tam dodatni, szkicowanie zaczyna się ponad osią, gdy jest ujemny - pod osią. Następnie korzysta się z zasady:

- w otoczeniu każdego pierwiastka o nieparzystej krotności wielomian zmienia znak,

- w otoczeniu każdego pierwiastka o krotności parzystej wielomian nie zmienia znaku.

Na zakończenie z wykonanego wykresu odczytuje się rozwiązanie nierówności.
Np. dana jest nierówność: 



Szkicujemy przybliżony wykres (tzw. wężyk) pamiętając, że pierwiastki  są nieparzystokrotne (wielomian zmienia znak), a pierwiastek  jest parzystokrotny (wielomian nie zmienia znaku):


Z wykresu odczytujemy rozwiązanie:



Przykład:
Rozwiąż nierówność:  

Rozwiązanie:
Pierwiastki:  są pierwiastkami nieparzystokrotnymi (wielomian zmienia znak),
Pierwiastki:   są pierwiastkami parzystokrotnymi (wielomian nie zmienia znaku).

Szkicujemy wykres wielomianu: 



Z wykresu odczytujemy rozwiązanie danej nierówności: