Równania i nierówności logarytmiczne


Równania logarytmiczne

Równanie, w którym niewiadoma występuje wyłącznie w wyrażeniu logarytmowanym lub w podstawie logarytmu nazywamy równaniem logarytmicznym.
Wyrażenie logarytmowane musi być dodatnie, a podstawa logarytmu musi być liczbą dodatnią różną od jedynki,  więc warunki te ograniczają dziedzinę równania i muszą być uwzględnione przy formułowaniu odpowiedzi.
Przy rozwiązywaniu równań i nierówności logarytmicznych często korzysta się z własności logarytmów.

Własności logarytmu

Poniższe własności obowiązują przy założeniach: 

  1. Logarytm iloczynu:
  2. Logarytm ilorazu:
  3. Logarytm potęgi:  
  4. Logarytm pierwiastka:  
  5. Zmiana podstawy logarytmu:  
    Zmiana podstawy logarytmu na liczbę logarytmowaną:  
  6. Przedstawienie dowolnej liczby w postaci logarytmicznej:  

Metody rozwiązywania równań logarytmicznych

1. Metoda sprowadzania do logarytmów o tej samej podstawie.

Podobnie jak w przypadku równań wykładniczych, najczęstszą metodą rozwiązywania równań  logarytmicznych jest  doprowadzenie obu stron danego równania do postaci logarytmów o tej samej podstawie.
Następnie korzystając z różnowartościowości  funkcji logarytmicznej można, przy odpowiednich założeniach, równość logarytmów zastąpić równością  liczb logarytmowanych zgodnie z zasadą:



Przykład:

Rozwiąż równanie:
a)
b)

Rozwiązanie:

a) Każde rozwiązanie równania i nierówności logarytmicznej należy rozpocząć od sformułowania założeń (liczba logarytmowana dodatnia i podstawa dodatnia różna od 1):



Aby dane równanie miało sens

Należy teraz przekształcić dane równanie korzystając z własności logarytmów:



Należy jeszcze zamienić liczbę 1 na odpowiedni logarytm przy podstawie :   . Otrzymuje się:

       .

Równanie zostało doprowadzone do postaci, w której po obu jego stronach znajdują się logarytmy przy tej samej podstawie. Zatem równość logarytmów można zastąpić równością  liczb logarytmowanych:





Należy teraz wrócić do założeń i sprawdzić, która z otrzymanych liczb jest rozwiązaniem: 

Tak więc jedynym rozwiązaniem danego równania jest liczba

b) Jak  w poprzednim przykładzie rozwiązywanie równania należy zacząć od założeń:  .  Następnie należy przekształcić dane równanie korzystając ze wzoru na zmianę podstawy logarytmu:



Teraz  wyznaczonym wyrażeniem zastępuje się lewą stronę danego równania:



Otrzymane rozwiązanie spełnia założenia: , więc jest rozwiązaniem danego równania.

2. Metoda podstawienia.

Rozwiązanie równania logarytmicznego postaci: 
polega na zastosowaniu podstawienia: 
i rozwiązaniu równania: 
Po rozwiązaniu tego równania wracamy do zmiennej 
Zmienna pomocnicza  może przyjmować wszystkie wartości rzeczywiste, ponieważ zbiorem wartości funkcji logarytmicznej jest zbiór liczb rzeczywistych

Przykład:
Rozwiąż równanie 

Rozwiązanie:
Założenie . Stosujemy podstawienie:   i rozwiązujemy równanie: 

Wracamy do podstawienia:



Obie otrzymane liczby spełniają założenia (), więc są rozwiązaniami danego równania.

Nierówności logarytmiczne

Nierówność, w której niewiadoma występuje w wyrażeniu logarytmowanym lub w podstawie logarytmu nazywamy nierównością logarytmiczną.

Metody rozwiązywania nierówności logarytmicznych są analogiczne do metod rozwiązywania podobnych równań logarytmicznych. Jedyną różnicę stanowi sposób przechodzenia z nierówności logarytmów do nierówności liczb logarytmowanych. 

Ponieważ dla  funkcja logarytmiczna jest malejąca, więc:



czyli opuszczając logarytmy dla  zmieniamy znak nierówności na przeciwny.

Ponieważ dla  funkcja logarytmiczna jest rosnąca, więc:



czyli opuszczając logarytmy dla   znak nierówności pozostawiamy bez zmian.

Przykład:
Rozwiąż nierówność:   

Rozwiązanie:
Rozwiązywanie każdej nierówności logarytmicznej należy rozpocząć od założeń wynikających z definicji logarytmu (dodatnia liczba logarytmowana, dodatnia i różna od jedynki podstawa logarytmu). Dla danej nierówności otrzymujemy:



Rozwiązując daną nierówność skorzystamy z twierdzenia o zmianie podstawy logarytmu i z własności logarytmu dotyczącej dodawania logarytmów:



Doprowadziliśmy daną nierówność do postaci, w której po obu jej stronach znajdują się logarytmy o tej samej podstawie. Można teraz nierówność logarytmów zastąpić nierównością wyrażeń logarytmowanych, pamiętając o zmianie znaku nierówności na przeciwny, ponieważ podstawa logarytmu: 



Należy rozwiązać teraz nierówność kwadratową:


Rozwiązaniem nierówności kwadratowej jest przedział: 
Uwzględniając założenia ( ) otrzymujemy: 

Metoda podstawienia

Rozwiązanie nierówności logarytmicznej postaci:

 lub  lub  lub 

polega na zastosowaniu podstawienia (podobnie jak w analogicznych równaniach logarytmicznych): 

i rozwiązaniu odpowiedniej nierówności:

 lub lub  lub 

Po rozwiązaniu tej nierówności wracamy do zmiennej 

Zmienna pomocnicza  może przyjmować wszystkie wartości rzeczywiste, ponieważ zbiorem wartości funkcji logarytmicznej jest zbiór liczb rzeczywistych 

Przykład:
Rozwiąż nierówność:  
Rozwiązanie:

Dziedziną tego równania jest zbiór liczb rzeczywistych dodatnich: 

Rozwiązywanie tej nierówności należy rozpocząć od przekształcenia wyrażenia :



Po zastąpieniu otrzymanym wyrażeniem:

    

Można teraz zastosować podstawienie: ,  
Otrzymujemy: czyli nierówność kwadratową.



Rozwiązaniem powyższej nierówności kwadratowej jest zbiór: 

Wracając do podstawienia otrzymujemy:

            

Uwzględniając założenie, że  oraz, że  otrzymujemy:    
Dodaj do swoich materiałów
Morze możliwości
na edukator.pl
Narzędzia, zasoby, komunikacja, współpraca. Zarejestruj się. Twórz, gromadź zasoby i dziel się nimi.
Morze możliwości na edukator.pl