+ Pokaż spis treści

Równania i nierówności liniowe


Równania liniowe z jedną niewiadomą

Równaniem liniowym z jedną niewiadomą  nazywamy równanie postaci:

, gdzie

Liczby i  nazywamy współczynnikami równania:
 - współczynnik przy niewiadomej ,
 - wyraz wolny.

Ilość rozwiązań równania liniowego zależy od wartości współczynników  i . Zależność tę przedstawia tabela:


Założenia

Postać równania

Rozwiązanie

Zbiór rozwiązań

Nazwa równania
Oznaczone
każda liczba rzeczywista R Tożsamościowe (nieoznaczone)

brak
 

Sprzeczne


Z powyższej tabeli wynika, że równanie liniowe może mieć jedno rozwiązanie lub nieskończenie wiele rozwiązań lub nie mieć rozwiązań.

Przykład:
Przedyskutuj ilość rozwiązań równania:   w zależności od wartości parametru

Rozwiązanie:
Najpierw należy przekształcić dane równanie do postaci



Teraz można przejść do dyskusji:

1. Równanie liniowe ma jedno rozwiązanie, gdy współczynnik przy niewiadomej jest różny od zera.



Dla    równanie ma jedno rozwiązanie

2. Jeśli  lub  (współczynnik przy niewiadomej jest równy zero), to równanie może być tożsamościowe lub sprzeczne.

a) Dla  otrzymujemy równanie , a więc równanie tożsamościowe, które ma nieskończenie wiele rozwiązań.
b) Dla  otrzymujemy równanie , a więc równanie sprzeczne, które nie ma rozwiązań.

Odp. Dane równanie ma jedno rozwiązanie  dla
          nieskończenie wiele rozwiązań dla ,
          nie ma rozwiązań .

Równania liniowe z dwiema niewiadomymi

Równaniem liniowym z dwiema niewiadomymi nazywamy równanie postaci:



gdzie współczynniki

Rozwiązaniem równania pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi  i  jest para  wtedy i tylko wtedy, gdy po podstawieniu do tego równania w miejsce  oraz  w miejsce  otrzymuje się zdanie prawdziwe.

Równanie pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Obrazem graficznym (wykresem) zbioru rozwiązań równanie pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi jest prosta.



Układy równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi

Układ równań:


gdzie , nazywamy układem dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi i

Rozwiązaniem układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi nazywamy każdą parę liczb , która spełnia jednocześnie oba równania układu.

Jeśli niewiadomych (i równań) jest więcej, to rozwiązaniem nazywamy odpowiednio trójkę, czwórkę itd. liczb spełniających wszystkie równania.

Rozwiązanie układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi polega na wyznaczeniu wszystkich jego rozwiązań albo stwierdzeniu, że zbiór rozwiązań jest pusty.

Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi może:

1. mieć jedno rozwiązanie postaci pary liczb
2. mieć nieskończenie wiele rozwiązań (nieskończenie wiele par liczb),
3. nie mieć rozwiązań

Ilość rozwiązań układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi zależy od wartości współczynników obu równań liniowych układu.

Metody rozwiązywania układu równań pierwszego stopnia

Istnieje kilka metod rozwiązania układu równań pierwszego stopnia.

1. Metoda podstawiania

W metodzie tej z jednego z równań wyznaczamy jedną niewiadomą w zależności od drugiej i otrzymaną zależność wstawiamy do drugiego równania. Otrzymujemy w ten sposób równanie z jedną niewiadomą i rozwiązujemy je. Na koniec z otrzymanej zależności między niewiadomymi wyznaczamy drugą niewiadomą.

Przykład:
Rozwiąż układ równań metodą podstawienia: 

Rozwiązanie:
Z drugiego równania wyznaczamy zmienną  w zależności od i otrzymane wyrażenie podstawiamy do równanie pierwszego:



Odp. Rozwiązaniem danego układu jest para liczb: 

2. Metoda przeciwnych współczynników

Mnożymy równania układu przez tak dobrane liczby, aby przy jednej z niewiadomych uzyskać przeciwne współczynniki. Następnie dodajemy równania stronami i otrzymujemy równanie z jedną niewiadomą. Rozwiązujemy to równanie, a na koniec wyznaczamy drugą niewiadomą.

Przykład:
Rozwiąż układ równań metodą przeciwnych współczynników :   

Rozwiązanie:
Aby współczynniki przy zmiennej  były liczbami przeciwnymi pomnożymy stronami pierwsze równanie przez liczbę , a drugie równanie przez liczbę :


Teraz równania dodajemy stronami i otrzymujemy:



Z pierwszego równania wyznaczamy  dla obliczonego :



Odp. Rozwiązaniem danego układu jest para liczb:   

3. Metoda wyznaczników.

Metoda ta polega na zastosowaniu wyznaczników.

Dla układu dwóch równań z dwiema niewiadomymi buduje się następujące wyznaczniki:

 zwany wyznacznikiem głównym układu,

 zwany wyznacznikiem zmiennej x,

 zwany wyznacznikiem zmiennej y.

Jeśli wyznacznik główny , to rozwiązaniem układu równań jest para liczb  taka, że:



Jeśli wyznacznik główny układu równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi jest różny od zera (), to układ ten nazywamy układem Cramera, a powyższe wzory na wyznaczanie pary  wzorami Cramera.

Sposób obliczania wyznaczników

Każdy wyznacznik obliczamy w następujący sposób:



Przykład:
Rozwiąż metodą wyznaczników układ równań: 
Rozwiązanie:

Najpierw trzeba przekształcić oba równania układu do prostszej postaci:

  

Teraz już można skorzystać z metody wyznaczników:

         ,



Obliczamy  i :

Odp. Rozwiązaniem układu jest para liczb: 

4. Metoda graficzna (przybliżona).

Wiadomo, że obrazem graficznym równania z dwiema niewiadomymi jest prosta. Rysuje się więc w jednym układzie współrzędnych wykresy każdego z równań i odczytuje współrzędne punktów wspólnych dla obu prostych.



Para liczb będąca współrzędnymi punktu przecięcia prostych jest rozwiązaniem układu równań. 
Ilość rozwiązań danego układu zależy od wzajemnego położenia prostych będących obrazami każdego z równań układu.

Liczba rozwiązań układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi.


Warunki

Liczba rozwiązań

Rozwiązanie

Ilustracja graficzna

Nazwa układu

Jedno
Proste przecinające się

Oznaczony
(układ równań niezależnych)



Nieskończenie 
Wiele

Para liczb

taka, że:
Proste pokrywające się

Nieoznaczony
(układ równań zależnych)

i

Brak rozwiązań

Brak
Proste równoległe

Sprzeczny
 

Przykład:
Przedyskutuj ilość rozwiązań układu równań w zależności od parametru m:   
Rozwiązanie:
Skorzystamy z metody wyznaczników.



Dyskusja:

1. Dla  układ ma jedno rozwiązanie.

Rozwiązaniem układu jest para liczb:

2. Dla , czyli  lub mogą zachodzić dwa przypadki - układ ma nieskończenie wiele rozwiązań lub układ nie ma rozwiązań.

a) Dla   otrzymujemy   i   co oznacza, że układ ma nieskończenie wiele rozwiązań. Oba równania w tym przypadku są identyczne i mają postać. Rozwiązaniem są więc wszelkie pary liczb 

b) Dla  otrzymujemy  (jednocześnie ), co oznacza, że układ nie ma rozwiązań.

Odp. Dany układ równań:  
1.ma jedno rozwiązanie dla ): 

2.ma nieskończenie wiele rozwiązań dla 

3.nie ma rozwiązań dla


Układy równań pierwszego stopnia z trzema niewiadomymi

Układ równań:


gdzie  i , nazywamy układem trzech równań liniowych z trzema niewiadomymi 

Rozwiązaniem  układu trzech równań liniowych z trzema niewiadomymi nazywamy każdą trójkę liczb , która spełnia jednocześnie wszystkie trzy równania układu.

Rozwiązanie układu trzech równań liniowych z trzema niewiadomymi polega na wyznaczeniu wszystkich jego rozwiązań albo stwierdzeniu, że zbiór rozwiązań jest pusty.

Do rozwiązania układu trzech równań liniowych z trzema niewiadomymi można stosować metodę podstawienia, przeciwnych współczynników oraz wyznaczników.

 
Metoda wyznaczników

Dla układu trzech równań z trzema niewiadomymi buduje się następujące wyznaczniki:

     zwany wyznacznikiem głównym układu,

     zwany wyznacznikiem zmiennej 

      zwany wyznacznikiem zmiennej 

     zwany wyznacznikiem zmiennej 

Jeśli wyznacznik główny , to rozwiązaniem układu równań jest trójka liczb  taka, że:



Metoda obliczania wyznacznika trzeciego stopnia.

Do obliczania wyznacznika trzeciego stopnia stosuje się tzw. metodę Sarrusa. Polega ona na tym, że za wyznacznikiem dopisujemy jego pierwszą i drugą kolumnę, a następnie tworzymy iloczyny zgodnie ze schematem:

 


Nierówności liniowe


Nierówności liniowe z jedną niewiadomą.

Nierównością liniową z jedną niewiadomą nazywamy każdą z nierówności postaci:

   gdzie 

Zbiór rozwiązań tej nierówności zależy od współczynników  i :

1. Dla  rozwiązaniem jest przedział lewostronnie nieograniczony lub przedział prawostronnie  nieograniczony (nierówność oznaczona).

2. Dla  nierówność jest prawdziwa dla wszystkich (nierówność tożsamościowa)  lub jest sprzeczna.

Przykład:
Rozwiąż nierówności:
a) ,  
b) ,  
c) 

Rozwiązanie:
a) 
b) 
c) 

Nierówności liniowe z dwiema niewiadomymi

Nierówności postaci: 

,  ,  ,  , gdzie nazywamy nierównościami liniowymi (pierwszego stopnia) z dwiema niewiadomymi.

Para  spełnia nierówność liniową z dwiema niewiadomymi wtedy i tylko wtedy, gdy po podstawieniu do tej nierówności  w miejsce  i  w miejsce otrzymamy zdanie prawdziwe.

Rozwiązaniem nierówności z dwiema niewiadomymi nazywamy każdą parę liczb spełniających nierówność.

Obrazem graficznym(wykresem) zbioru rozwiązań nierówności liniowej z dwiema niewiadomymi jest półpłaszczyzna o krawędzi określonej równaniem  (wraz z tą krawędzią, jeśli nierówność jest nieostra, lub bez krawędzi, jeśli nierówność jest ostra).

Przykładowe obrazy graficzne zbiorów rozwiązań nierówności liniowych z dwiema niewiadomymi przedstawiają rysunki: