+ Pokaż spis treści

Równania i nierówności kwadratowe


Równania kwadratowe

 

Równaniem kwadratowym nazywamy równanie postaci:

 



gdzie są danymi liczbami i

Jeśli  , to równanie kwadratowe nazywamy zupełnym.

Jeśli , to równanie kwadratowe nazywamy niezupełnym.

Istnienie i liczba pierwiastków równania kwadratowego zależy od wyróżnika trójmianu kwadratowego znajdującego się po lewej stronie równania:



Pierwiastki równania kwadratowego zupełnego


Warunki

Pierwiastki

pierwiastek podwójny

brak
pierwiastków


Pierwiastki równania kwadratowego niezupełnego

Równania kwadratowe niezupełne rozwiązuje się bezpośrednio, bez obliczania wyróżnika i korzystania ze wzoru na pierwiastki.

1. Jeśli , to równanie przybiera postać:  i ma jeden pierwiastek: 

2. Jeśli , to równanie przybiera postać:
               
a) Jeśli  i  mają przeciwne znaki (), to  i równanie ma dwa pierwiastki:



b) Jeśli  i  mają takie same znaki (), to   i równanie nie ma pierwiastków.

3.Jeśli , to równanie przybiera postać:

      
i ma zawsze dwa pierwiastki:
           

Reasumując: dla równania kwadratowego niezupełnego:


Postać równania



Pierwiastki




brak
pierwiastków



Wzory Viete'a

Jeżeli  i wyróżnik równania , to obliczając sumę i iloczyn pierwiastków równania kwadratowego otrzymujemy następujące wzory nazywane wzorami Viete'a:

  

Wzory te pozwalają np. obliczać wartości pewnych wyrażeń zawierających pierwiastki równania kwadratowego, czy też badać znaki pierwiastków,  bez wyznaczania tych pierwiastków.

Równania kwadratowe z parametrem

Często rozwiązuje się równania kwadratowe z parametrem. Należy wtedy pamiętać o zależności istnienia pierwiastków równania kwadratowego i ich ilości od wartości wyróżnika trójmianu.  W równaniach  z parametrem bardzo przydatne są wzory Viete'a.

Przykład:
Dane jest równanie:  
Dla jakich wartości parametru  równanie ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste, których iloczyn jest liczbą nieujemną?

Rozwiązanie:
Aby równanie miało dwa różne pierwiastki rzeczywiste muszą być spełnione dwa warunki: 

1o (wtedy jest to równanie kwadratowe, a nie liniowe, które nie może mieć dwóch różnych pierwiastków)

2o (wtedy równanie kwadratowe ma dwa różne pierwiastki).

Z treści zadania wynika, że musi być spełniony jeszcze trzeci warunek:

3o, ponieważ iloczyn pierwiastków ma być liczbą nieujemną. Korzystając ze wzorów Viete'a otrzymujemy:  

Wszystkie te warunki muszą być spełnione jednocześnie, więc możemy je zapisać w postaci:



Rozwiązanie warunku 1o.




Rozwiązanie warunku 2o.




, więc  

Rozwiązanie warunku 3o.



Reasumując:



Częścią wspólną powyższych zbiorów jest zbiór: 
Odp. Warunki zadania są spełnione dla

Równania dwukwadratowe

Równaniem dwukwadratowym nazywamy równanie czwartego stopnia mające postać:
  gdzie 

Równanie to można sprowadzić do równania kwadratowego podstawiając: 



Założenie  wynika z faktu,  że 

Po podstawieniu otrzymuje się równanie kwadratowe:



Ilość rozwiązań równania   zależy od ilości i wartości pierwiastków równania. Zależność ta przedstawiona jest w tabeli.

Ilość i wartość pierwiastków równania  Ilość i wartość pierwiastków równania 

Brak

Brak
jeden pierwiastek podwójny ujemny 

Brak
dwa pierwiastki ujemne 

Brak
jeden pierwiastek podwójny równy  zero
jeden pierwiastek równy  zero

jeden pierwiastek podwójny dodatni 
 

dwa pierwiastki

jeden pierwiastek dodatni  i drugi pierwiastek ujemny 

dwa  pierwiastki


jeden pierwiastek dodatni  i drugi pierwiastek równy zero 


trzy pierwiastki

   


Dwa pierwiastki dodatnie: 


Cztery pierwiastki

 

  

Przykład:

Rozwiąż równanie:  

Rozwiązanie:

Stosujemy podstawienie:  Otrzymujemy równanie: , które należy rozwiązać.

 

 

Pierwszy pierwiastek tego równania  nie spełnia założeń i nie uzyskujemy z niego rozwiązań równania dwukwadratowego. Drugi pierwiastek    prowadzi do równania:

 

 

Odp. Pierwiastkami równania dwukwadratowego są liczby  i 

  

Nierówności kwadratowe

 

Nierównością kwadratową z jedną niewiadomą  nazywamy każdą nierówność postaci:

 

,        ,    gdzie  
 

Aby rozwiązać nierówność kwadratową z jedną niewiadomą należy obliczyć pierwiastki trójmianu znajdującego się po lewej stronie tej nierówności, a następnie naszkicować wykres tego trójmianu. Z wykresu odczytuje się przedziały, w których funkcja przyjmuje zadane w nierówności wartości (ujemne, dodatnie, nieujemne, niedodatnie). Przykładowo dla nierówności:

szkicujemy parabolę o ramionach skierowanych do góry i miejscach zerowych :

 

 

a następnie odczytujemy rozwiązanie z wykresu:  

 

Przykład 1:

Rozwiąż nierówność:  

 

Rozwiązanie:

 

Należy wyznaczyć pierwiastki trójmianu: 

Teraz trzeba naszkicować parabolę i odczytać zbiór rozwiązań:

 

Odp. 

 

Zbiór rozwiązań nierówności kwadratowej

 

Zbiór rozwiązań nierówności kwadratowej zależy od współczynników  i może być:

 

1. Zbiorem liczb rzeczywistych 

2. Zbiorem liczb rzeczywistych za wyjątkiem jednej liczby 

3. Sumą przedziałów jednostronnie nieograniczonych -  lub 

4. Przedziałem skończonym otwartym  lub zamkniętym 

 5. Zbiorem jednoelementowym - 

 6. Zbiorem pustym  gdzie  jest pierwiastkiem podwójnym trójmianu, gdy , a  są pierwiastkami trójmianu, gdy 

 

Przykład 2:

Dla jakich wartości parametru nierówność :   

jest spełniona dla każdego  ?

 

Rozwiązanie:

Należy rozpatrzyć dwa warunki:

 

 i otrzymujemy nierówność liniową,

 i otrzymujemy nierówność kwadratową.

 

1o, co nie spełnia warunków zadania (nierówność ma być spełniona dla każdego ).

 

2o.  Aby nierówność była spełniona dla każdego , trójmian znajdujący się po lewej stronie nierówności nie może mieć pierwiastków, czyli , a  współczynnik przy  musi być ujemny (parabola musi leżeć poniżej osi OX, aby wszystkie wartości trójmianu były ujemne). Otrzymuje się więc dwa warunki:

 

Warunek dla wyróżnika:

 

 

Z wykresu odczytujemy : dla 

 

Częścią wspólną obu zbiorów:     jest zbiór  

 

Odp. Dana nierówność jest spełniona dla każdej liczby rzeczywistej , jeśli 

 

Równania drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi
 

Równanie postaci:

 

, gdzie 

 

nazywamy równaniem drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi  i 

 

Rozwiązaniem równania drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi jest każda para liczb  spełniająca to równanie.

 

Równanie powyższe może mieć, w zależności od wartości jego współczynników, jedno rozwiązanie, nieskończenie wiele rozwiązań lub nie mieć rozwiązań.

 

Obrazem graficznym zbioru rozwiązań równania drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi może być:

  

Typ równania

Obraz graficzny zbioru rozwiązań

Punkt o współrzędnych 
Proste pokrywające się

Suma dwóch prostych

 
Okrąg

Elipsa



lub 

Hiperbola

 



lub


Parabola

 

Nierówności drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi

 

Nierówności postaci:

 

,     

 

,      

 

gdzie nazywamy nierównościami drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi

  

Rozwiązaniem nierówności drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi jest para liczb, dla których dana nierówność staje się zdaniem prawdziwym.

 

Obrazem graficznym zbioru rozwiązań  nierówności drugiego stopnia z dwiema niewiadomymi jest zbiór punktów płaszczyzny, których współrzędne spełniają daną nierówność.