+ Pokaż spis treści

Równania i nierówności, układy równań

Równania i nierówności


Równaniem nazywamy równość dwóch wyrażeń, z których co najmniej jedno zawiera niewiadomą.
Równanie może zawierać kilka niewiadomych.

Nierównością nazywamy dwa wyrażenia, z których co najmniej jedno zawiera niewiadomą, połączone znakiem:
  lub  znakiem    (nierówność ostra), lub znakiem   lub znakiem    (nierówność nieostra).
Nierówność może zawierać kilka niewiadomych.


Dziedzina równania (nierówności)

Dziedziną równania (nierówności) z jedną niewiadomą  nazywamy zbiór tych wszystkich liczb rzeczywistych, dla których wyrażenia występujące w równaniu (w nierówności) mają sens liczbowy.


Pierwiastek równania (nierówności)

Liczba rzeczywista spełnia równanie (nierówność) z jedną niewiadomą , jeśli po podstawieniu tej liczby w miejsce niewiadomej w równaniu (w nierówności) otrzymamy równość (nierówność) prawdziwą.

Rozwiązaniem (pierwiastkiem) równania (nierówności) z jedną niewiadomą nazywamy każdą liczbę rzeczywistą, która spełnia to równanie (tę nierówność) i należy do dziedziny równania (nierówności).


Zbiór rozwiązań równania (nierówności)

Zbiorem rozwiązań równania (nierówności) z jedną niewiadomą nazywamy zbiór wszystkich liczb spełniających to równanie (tę nierówność).

Rozwiązanie równania  (nierówności) polega na wyznaczeniu zbioru wszystkich rozwiązań równania (nierówności). Może to być zbiór pusty.

Rozwiązaniem równania (nierówności) z  niewiadomymi nazywamy każde  liczb spełniających to równanie (nierówność).

Zbiór rozwiązań równania (nierówności) może być skończony, nieskończony lub pusty.


Rozwiązywanie równań i nierówności

Do rozwiązywania równań (nierówności) wykorzystuje się tzw. twierdzenia o równaniach (nierównościach) równoważnych.

Dwa równania (dwie nierówności) nazywamy równoważnymi w zbiorze wtedy i tylko wtedy, gdy oba (obie) są określone w zbiorze  i mają ten sam zbiór rozwiązań, który zawiera się w zbiorze
Twierdzenie 1.
Jeśli wykonamy działania wskazane po lewej lub prawej stronie równania (nierówności), to otrzymamy równanie (nierówność) równoważne danemu.

Twierdzenie 2.
Jeżeli do obu stron równania (nierówności) dodamy lub od obu stron równania (nierówności) odejmiemy tę samą liczbę lub to samo wyrażenia, które nie zmienia dziedziny równania (nierówności), to otrzymamy równanie (nierówność) równoważne danemu.

Twierdzenie 3a. (tylko dla równań)
Jeżeli obie strony równania pomnożymy (lub podzielimy) przez tę samą liczbę lub przez to samo wyrażenie, które nie zmienia dziedziny równania i którego wartość jest różna od zera, to otrzymamy równanie równoważne danemu.

Twierdzenie 3b. (tylko dla nierówności)
Jeżeli obie strony nierówności pomnożymy (lub podzielimy) przez tę samą liczbę dodatnią lub przez to samo wyrażenie, które nie zmienia dziedziny nierówności i które przyjmuje tylko wartości dodatnie dla argumentów z dziedziny nierówności, to otrzymamy nierówność równoważną danej.

Twierdzenie 3c. (tylko dla nierówności)
Jeżeli obie strony nierówności pomnożymy (lub podzielimy) przez tę samą liczbę ujemną lub przez to samo wyrażenie, które nie zmienia dziedziny nierówności i które przyjmuje tylko wartości ujemne dla argumentów z dziedziny nierówności oraz zmienimy zwrot nierówności, to otrzymamy nierówność równoważną danej.