+ Pokaż spis treści

Rachunek prawdopodobieństwa

Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa
[-]

Rachunek prawdopodobieństwa
zajmuje się badaniem zjawisk losowych (np. rzut monetą, rzut kostką do gry, loterie itp.) i praw rządzących tymi zjawiskami.

Doświadczenie losowe

Doświadczeniem losowym nazywamy takie doświadczenie, którego wyniku nie można przewidzieć, a przy powtarzaniu go w identycznych warunkach możemy otrzymać różne wyniki.

Każdą realizację doświadczenia losowego nazywamy wynikiem doświadczenia losowego (np. wypadło 5 oczek w rzucie kostką).

Jeśli pewne doświadczenie losowe zostało powtórzone  razy i dany wynik  wystąpił k razy, to liczbę  nazywamy częstością zdarzenia  w tym ciągu doświadczeń.

Należy jednak pamiętać, że w pojedynczym doświadczeniu wynik  może wystąpić lub może nie wystąpić. Powtarzając dane doświadczenie wiele razy, można zaobserwować pewną prawidłowość - częstość wyniku  stabilizuje się wraz ze wzrostem liczby doświadczeń. Jest to tzw. prawidłowość statystyczna.

Należy jednak pamiętać, że losowy charakter doświadczenia wyraża się m.in. w tym, że:
  1. jeśli pewien wynik w danej serii powtórzeń doświadczenia pojawił się z częstością , to nie oznacza, że w każdej następnej serii wystąpi również z częstością ,
  2. jeśli w kilku seriach powtórzeń doświadczenia otrzymano różne częstości danego wyniku, to ten fakt nie oznacza, że w następnych seriach otrzyma się jeszcze inne częstości tego wyniku.

Zdarzenia elementarne

Podobnie jak np. geometria, rachunek prawdopodobieństwa wychodzi od pewnych pojęć, które nie są definiowane (tzw. pojęć pierwotnych).

Pojęciem pierwotnym w rachunku prawdopodobieństwa jest zdarzenie elementarne.

Za zdarzenia elementarne przyjmuje się najprostsze wyniki doświadczenia. Określa się je rozważając konkretne zjawisko. Sporządza się wówczas listę wszystkich wyników, które mogą się pojawić, w taki jednak sposób, aby wystąpienie każdego wyniku zamieszczonego na liście wykluczało wystąpienie w tym samym doświadczeniu  wszystkich wyników pozostałych.

Zdarzenia elementarne oznacza się literami  itd.

Zbiór zdarzeń elementarnych

Zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych nazywamy przestrzenią zdarzeń elementarnych i oznaczamy symbolem .

Zdarzenie losowe

Każdy podzbiór zbioru zdarzeń elementarnych  nazywamy zdarzeniem losowym (w zbiorze ). Zdarzenia oznaczamy literami A, B, C, ...

Każde zdarzenie elementarne  nazywamy zdarzeniem elementarnym sprzyjającym zdarzeniu A.

Każde zdarzenie  jest więc równe zbiorowi tych zdarzeń elementarnych, które mu sprzyjają.

Zdarzenie pewne i niemożliwe

Każde zdarzenie elementarne sprzyja zdarzeniu , a więc to zdarzenie zachodzi zawsze. Dlatego zbiór  nazywamy zdarzeniem pewnym.

Żadne zdarzenie elementarne nie sprzyja zdarzeniu  (zbiór pusty), a więc to zdarzenie nie zachodzi nigdy. Dlatego zbiór pusty  nazywamy zdarzeniem niemożliwym.

Działania na zdarzeniach

Ponieważ w myśl definicji zdarzenia są zbiorami,  więc na zdarzeniach można wykonywać analogiczne działania jak na zbiorach.

Suma zdarzeń

Sumą zdarzeń  i  nazywamy zdarzenie , któremu sprzyjają zdarzenia elementarne , sprzyjające zdarzeniu  lub zdarzeniu :

Sumy pewnych zdarzeń:


Iloczyn zdarzeń

Iloczynem zdarzeń  i  nazywamy zdarzenie , któremu sprzyjają zdarzenia elementarne , sprzyjające zdarzeniu  i zdarzeniu :

Iloczyny pewnych zdarzeń:


Różnica zdarzeń

Różnicą zdarzeń  i  nazywamy zdarzenie , do którego należą zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu  i nie sprzyjające zdarzeniu :


Zdarzenia przeciwne

Zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia  nazywamy zdarzenie  (różnica zdarzenia pewnego  i danego zdarzenia ).

Zdarzenia  i nazywamy zdarzeniami przeciwnymi, wtedy i tylko wtedy, gdy:


Własności zdarzeń przeciwnych



Zdarzenia rozłączne

Dwa zdarzenia  i nazywamy zdarzeniami rozłącznymi (wykluczającymi się), jeżeli zdarzenie  jest zdarzeniem niemożliwym tzn., gdy:

Zawieranie się zdarzeń

Zdarzenie  jest zawarte w zdarzeniu , jeżeli każde zdarzenie elementarne sprzyjające zdarzeniu , sprzyja jednocześnie zdarzeniu :


Zdarzenia równe

Zdarzenia  i są równe wtedy i tylko wtedy, gdy sprzyjają im te same zdarzenia elementarne.


Pojęcie prawdopodobieństwa


Prawdopodobieństwo zdarzenia jest abstrakcyjnym odpowiednikiem pojęcia częstości wystąpienia zdarzenia w serii doświadczeń.

Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa

      Niech  będzie zbiorem zdarzeń elementarnych. Jeżeli każdemu zdarzeniu  przyporządkowana jest dokładnie jedna liczba  taka, że:
  1.  (prawdopodobieństwo jest liczbą nieujemną),
  2.  (prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego jest równe 1),
  3. Jeżeli , to  (prawdopodobieństwo sumy zdarzeń rozłącznych jest równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń),
to mówimy, że na zdarzeniach w zbiorze  zostało określone prawdopodobieństwo, a liczbę  nazywamy prawdopodobieństwem zdarzenia .

Powyższą definicję nazywamy aksjomatyczną definicją prawdopodobieństwa, a warunki 1 - 3 są aksjomatami prawdopodobieństwa i stanowią warunki formalne, które musi spełniać prawdopodobieństwo, nie pokazują jednak jak obliczać prawdopodobieństwo danego zdarzenia. W praktyce liczba  powinna być tak dobrana, aby odpowiadała częstości występowania zdarzenia  w długich seriach doświadczeń.

Przestrzeń probabilistyczna

Parę , gdzie  jest zbiorem zdarzeń elementarnych, a  jest  prawdopodobieństwem określonym na zdarzeniach w zbiorze , nazywamy przestrzenią probabilistyczną.

Własności prawdopodobieństwa

  1.  (prawdopodobieństwo jest liczbą nieujemną),
  2.  (prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego jest równe 1),
  3. Jeżeli , to  (prawdopodobieństwo sumy zdarzeń rozłącznych jest równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń),
  4.  (prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego jest równe 0),
  5. Jeżeli , to ,
  6.  (prawdopodobieństwo zdarzenia nie może być większe od 1),
  7.  (prawdopodobieństwo zdarzenia A' przeciwnego do zdarzenia A),
  8.  (prawdopodobieństwo sumy dowolnych zdarzeń),
  9.   (prawdopodobieństwo sumy zdarzeń jest nie większe od sumy ich prawdopodobieństw).

Wniosek:  Prawdopodobieństwo każdego zdarzenia losowego jest liczbą należącą do przedziału á0,1ń.

Klasyczna definicja prawdopodobieństwa (Laplace'a)

Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa nie pokazuje jak wyznaczać prawdopodobieństwo zdarzeń. Jeżeli zdarzenia elementarne danego doświadczenia losowego są jednakowo prawdopodobne, to można korzystać z klasycznej definicji prawdopodobieństwa, która wskazuje metodę obliczania prawdopodobieństw zdarzeń.

Jeżeli  jest skończonym zbiorem zdarzeń elementarnych jednakowo prawdopodobnych i , to liczbę:

gdzie  oznaczają odpowiednio moc zbioru  (ilość elementów zbioru ) oraz moc zbioru  (ilość elementów zbioru ), nazywamy prawdopodobieństwem zdarzenia .

Uwaga: definicja ta obowiązuje tylko dla doświadczeń o jednakowo prawdopodobnych zdarzeniach elementarnych!

Przy obliczaniu liczby wszystkich zdarzeń elementarnych danego doświadczenia i liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających danemu zdarzeniu wykorzystuje się najczęściej wzory kombinatoryczne.

Przykład 1:

W partii  10 żarówek 4 są wadliwe. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród zakupionych 3 żarówek:
  1. wszystkie są wadliwe,
  2. dokładnie jedna jest wadliwa,
  3. przynajmniej jedna jest wadliwa.

Rozwiązanie:

Doświadczenie polega na losowym wyjęciu 3 żarówek spośród 10 żarówek. Istotne jest, jakie żarówki zostały wyjęte, natomiast kolejność ich wyjmowania nie gra roli. Zdarzeniami elementarnymi (jednakowo prawdopodobnymi) są więc wszystkie trzyelementowe podzbiory zbioru dziesięcioelementowego, czyli trzyelementowe kombinacje tego zbioru. Ich liczba jest równa:


Oznaczmy zdarzenia:

       - wybór trzech wadliwych żarówek,
       - wybór jednej wadliwej i dwóch sprawnych żarówek,
       - wybór przynajmniej jednej wadliwej żarówki.
  1. Zdarzeniami elementarnymi sprzyjającymi zdarzeniu  są wszystkie trzyelementowe podzbiory zbioru czteroelementowego (wybór trzech żarówek wadliwych spośród czterech wadliwych). Ich liczba jest równa:
    , (bo ).

    Tak więc prawdopodobieństwo zdarzenia A wynosi:
  2. Zdarzeniami elementarnymi sprzyjającymi zdarzeniu  są  wszystkie trzyelementowe podzbiory zawierające jedną żarówkę wadliwą wybraną spośród czterech wadliwych i dwie żarówki sprawne wybrane spośród sześciu sprawnych. Ich liczba jest równa:

    Przy obliczaniu ilości zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu  skorzystaliśmy z reguły mnożenia.
    Tak więc prawdopodobieństwo zdarzenia wynosi:
  3. Prawdopodobieństwo zdarzenia  łatwiej jest obliczyć przy pomocy zdarzenia przeciwnego:
     - nie wybrano ani jednej żarówki wadliwej, czyli wybrano trzy sprawne.
    Zdarzeniami elementarnymi sprzyjającymi zdarzeniu  są  wszystkie trzyelementowe podzbiory zbioru sześcioelementowego (trzy żarówki sprawne wybrane z sześciu sprawnych). Ich liczba jest równa:

    Tak więc prawdopodobieństwo zdarzenia  wynosi:

    Prawdopodobieństwo zdarzenia  jest równe:

Odp.: .

Przykład 2:

W kolejce stoi 5 kobiet i 7 mężczyzn. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia, że kobiety stoją przed mężczyznami.

Rozwiązanie:

Doświadczenie polega na ustawieniu w sposób losowy 12 osób w kolejce. Zdarzeniami elementarnymi są więc wszystkie permutacje zbioru 12-elementowego. Ich liczba jest równa:


Oznaczmy zdarzenie:

       - kobiety stoją przed mężczyznami.

Zdarzenie  polega na ustawienie najpierw 5 kobiet w dowolnej kolejności na 5! sposobów, a następnie 7 mężczyzn też w dowolnej kolejności na 7! sposobów. Korzystając z reguły mnożenia można obliczyć ilość zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu :

Tak więc prawdopodobieństwo zdarzenia, że kobiety będą stały przed mężczyznami wynosi:


Odp. .

Przykład 3:

Ze zbioru cyfr {1,2,3,4,...,9} losujemy kolejno ze zwracaniem 4 cyfry i układamy z nich liczbę w kolejności od rzędu tysięcy do rzędu jedności. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia, że powstała liczba o nie powtarzających się cyfrach?

Rozwiązanie:

Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie ciągi 4-elementowe o elementach ze zbioru 9-elementowego,  w których  wyrazy mogą się powtarzać, czyli wszystkie 4 wyrazowe wariacje z powtórzeniami zbioru 9-elementowego.  Ich liczba jest równa:
.


Oznaczmy zdarzenie:

       - powstała liczba o nie powtarzających się cyfrach.

Zdarzeniami elementarnymi sprzyjającymi zdarzeniu  są wszystkie ciągi 4-elementowe o elementach ze zbioru 9-elementowego,  w których  wyrazy nie mogą się powtarzać, czyli wszystkie 4 wyrazowe wariacje bez powtórzeń zbioru 9-elementowego.  Ich liczba jest równa:

Tak więc prawdopodobieństwo zdarzenia, że powstanie liczba o nie powtarzających się cyfrach wynosi:


Odp. .

Prawdopodobieństwo warunkowe

Prawdopodobieństwem warunkowym  zajścia zdarzenia  pod warunkiem, że zaszło zdarzenie , nazywamy liczbę:
,

gdzie .

Przykład:

Z talii kart losujemy jedną. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania króla, jeśli wiadomo, że została wylosowana figura (as, król, dama, walet) ?

Rozwiązanie:

Należy obliczyć prawdopodobieństwo warunkowe wylosowania króla pod warunkiem, że wylosowano figurę.

Oznaczmy zdarzenia:

       - wylosowanie króla,
       - wylosowanie figury.

Aby skorzystać ze wzoru na prawdopodobieństwo warunkowe, należy obliczyć  i .
Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie jednoelementowe podzbiory zbioru 52 elementowego. Ich liczba wynosi:

Zdarzeniami elementarnymi sprzyjającymi zdarzeniu  są wszystkie podzbiory jednoelementowe 16-elementowego zbioru figur. Ich liczba wynosi: , czyli

Zdarzeniami elementarnymi sprzyjającymi zdarzeniu  są wszystkie podzbiory jednoelementowe 4-elementowego zbioru króli. Ich liczba wynosi: , czyli

Prawdopodobieństwo warunkowe wynosi więc:


Odp. .

Prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń


Dla dowolnej pary zdarzeń  takich, że  i  i  zachodzi równość:


Przykład:

Dane są dwie urny. W pierwszej jest 5 kul białych i 7 czarnych, w drugiej 3 białe i 8 czarnych. Z losowo wybranej urny losujemy jedną kulę. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej z pierwszego pojemnika.

Rozwiązanie:

Oznaczmy zdarzenia:

       - wylosowanie kuli białej,
       - losowanie kuli z pierwszej urny.

Interesuje nas prawdopodobieństwo zdarzenia . Skorzystamy ze wzoru: .
Urna zostaje wybrana losowo, a więc .  Prawdopodobieństwo warunkowe wylosowania kuli białej, pod warunkiem, że losujemy z pierwszej urny wynosi: . Tak więc prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń  wynosi:


Odp. .

Doświadczenie wieloetapowe

Załóżmy, że doświadczenie  składa się z kilku etapów.  Dla przykładu rozpatrzmy doświadczenie dwuetapowe. 
W pierwszym etapie wykonywane jest doświadczenie  o zbiorze zdarzeń elementarnych  i  prawdopodobieństwie  określonym na zdarzeniach z .  
Następnie wykonywane jest doświadczenie , którego rodzaj może zależeć od uzyskanego w doświadczeniu  wyniku .  Modelem probabilistycznym zdarzenia  jest para .  
Zbiorem zdarzeń elementarnych  dla doświadczenia dwuetapowego jest zbiór wszystkich par , gdzie . Na zdarzeniach w zbiorze  określone jest prawdopodobieństwo  określone wzorem:

Przebieg losowego doświadczenia wieloetapowego można zilustrować grafem nazywanym drzewem stochastycznym.

Budowa drzewa stochastycznego



Wierzchołkom drzewa przyporządkowane są wyniki poszczególnych etapów doświadczenia, a krawędziom prawdopodobieństwa uzyskania tych wyników. 

Z górnego wierzchołka odchodzą krawędzie odpowiadające zdarzeniom elementarnym pierwszego etapu doświadczenia. Z ich końców wychodzą następne gałęzie odpowiadające wynikom drugiego etapu itd.

Suma prawdopodobieństw przyporządkowanych krawędziom wychodzącym z jednego wierzchołka jest równa 1.

Gałęzią drzewa stochastycznego nazywamy ciąg krawędzi prowadzących od początku drzewa do jednego z ostatnich jego wierzchołków. Jedna gałąź drzewa odpowiada jednemu zdarzeniu elementarnemu doświadczenia wieloetapowego. 

Prawdopodobieństwo zdarzenia elementarnego reprezentowanego przez jedną gałąź drzewa jest równe iloczynowi prawdopodobieństw przyporządkowanych krawędziom, z których jest złożona dana gałąź (reguła iloczynów).

Prawdopodobieństwo zdarzenia reprezentowanego przez kilka gałęzi jest równe sumie prawdopodobieństw przyporządkowanych tym gałęziom (reguła sum).

Prawdopodobieństwo całkowite

Jeśli para  jest przestrzenią probabilistyczną, natomiast zdarzenia  są dowolnymi zdarzeniami tej przestrzeni spełniającymi następujące warunki:
  1.  dla 
  2.  dla ,
to dla dowolnego zdarzenia  zachodzi wzór:

Powyższe twierdzenie nazywamy twierdzeniem o prawdopodobieństwie całkowitym.

Przykład:

W urnie A znajduje się 6 białych i 4 czarne kule, a w urnie B 3 białe i 3 czarne kule. Przekładamy dwie kule z urny A do urny B, a następnie z urny B losujemy jedną kulę. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosowana kula jest biała.

Rozwiązanie:

Z urny A do urny B można przełożyć 2 kule białe lub 2 kule czarne lub 1 kulę białą i 1 czarną. Od zestawu kul, które zostaną przełożone zależy prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej z urny B.


Oznaczmy zdarzenia:

 - wylosowanie kuli białej z urny B,
 - przełożenie z urny A do urny B dwóch kul białych,
 - przełożenie z urny A do urny B dwóch kul czarnych,
 - przełożenie z urny A do urny B 1 kuli białej i 1 kuli czarnej,

 - wylosowanie kuli białej z urny B, jeśli przełożono do niej 2 kule białe,
 - wylosowanie kuli białej z urny B, jeśli przełożono do niej 2 kule czarne,
 - wylosowanie kuli białej z urny B, jeśli przełożono do niej 1 kulę białą i 1 kulę czarną.

Ponieważ zdarzenia  dla  spełniają założenia twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym:
  1. ,
  2. ,
  3. ,
więc dla obliczenia prawdopodobieństwa zdarzenia A można skorzystać z tego twierdzenia:


Należy teraz obliczyć prawdopodobieństwa występujące w powyższym wzorze:
W pierwszym etapie doświadczenie polega na wylosowaniu 2 kul spośród  10. Zdarzenia elementarne są kombinacjami 2-elementowymi zbioru 10-elementowego i ich ilość wynosi:


Zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu  są 2-elementowymi kombinacjami zbioru  6-elementowego (wylosowanie 2 kul białych spośród 6 białych) i ich ilość wynosi:

Zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu  są 2-elementowymi kombinacjami zbioru 4-elementowego (wylosowanie 2 kul czarnych spośród 4 czarnych) i ich ilość wynosi:

Prawdopodobieństwa zdarzeń  wynoszą więc:
,       ,       .

Jeśli do urny B przełożymy 2 kule białe, to będzie ona zawierać 5kul białych i 3 czarne. Prawdopodobieństwo  wynosi więc: .
Jeśli do urny B przełożymy 2 kule czarne, to będzie ona zawierać 3 kule białe i 5 czarnych. Prawdopodobieństwo  wynosi więc: .
Jeśli do urny B przełożymy 1 kulę białą i 1 czarną, to będzie ona zawierać 4 kule białe i 4 czarne. Prawdopodobieństwo  wynosi więc: .
Można teraz obliczyć prawdopodobieństwo wylosowanie kuli białej z urny B:


Odp. .

Wzór Bayesa


Często stykamy się z zagadnieniami, w których  znamy skutek zdarzenia, a chcemy oszacować prawdopodobieństwa różnych możliwych jego przyczyn.
Do wyznaczania takich właśnie prawdopodobieństw służy wzór Bayesa.

Jeśli spełnione są założenia  twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym, to zachodzi wzór Bayesa:


gdzie  oraz  .
Wzór Bayesa nazywany bywa wzorem na prawdopodobieństwo przyczyny.

Niezależność zdarzeń

Zdarzenia  nazywamy niezależnymi wtedy i tylko wtedy, gdy: 
Zdarzenia  są niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi jeden z dwu przypadków: 
Jeżeli zdarzenia  są niezależne, to niezależne są również zdarzenia: 
Dla każdego zdarzenia  zdarzenia  oraz  są niezależne.

Niezależność trzech i większej ilości zdarzeń

Dla większej liczby zdarzeń niezależność określamy następująco:
Zdarzenia  są niezależne, jeśli prawdopodobieństwo iloczynu dowolnych k zdarzeń spośród nich  jest równe iloczynowi prawdopodobieństw tych zdarzeń.

Przykład:

Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych losujemy jedną liczbę. Zdarzenie  polega na wylosowaniu liczby o różnych cyfrach. Zdarzenie  polega na wylosowaniu liczby, której suma cyfr wynosi 6. Zbadaj niezależność zdarzeń  i .

Rozwiązanie:

Doświadczenie polega na wylosowaniu jednej liczby spośród 90 liczb, ponieważ tyle jest liczb naturalnych dwucyfrowych, więc: 

Aby obliczyć moc zbioru  (ile liczb naturalnych dwucyfrowych ma różne cyfry) należy od  ilości wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych odjąć ilość liczb naturalnych dwucyfrowych o takich samych cyfrach. Jest ich 9: 
11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99. Tak więc:

Liczby naturalne dwucyfrowe, których suma cyfr wynosi 6, to: 15, 24, 33, 42, 51, 60. Jest ich 6, więc:

 Zdarzenie  zajdzie, gdy wylosujemy liczbę naturalną dwucyfrową o różnych cyfrach i o sumie cyfr równej 6. Zdarzeniu temu sprzyjają następujące liczby: 15, 24, 42, 51, 60. Jest ich 5, więc:

Prawdopodobieństwa  wynoszą:
,       ,       .

Ponieważ , więc zdarzenia  i  nie są niezależne.

Doświadczenia niezależne

Wykonujemy kolejno dwa doświadczenia losowe, które przebiegają niezależnie od siebie. 
W pierwszym doświadczeniu zbiorem zdarzeń elementarnych jest zbiór , a  jest prawdopodobieństwem określonym na zdarzeniach ze zbioru .

W drugim doświadczeniu zbiorem zdarzeń elementarnych jest zbiór , a  jest prawdopodobieństwem określonym na zdarzeniach ze zbioru .

 Powyższe doświadczenie można uznać za szczególny przypadek doświadczenia dwuetapowego. Zbiorem zdarzeń elementarnych dla tego doświadczenia jest zbiór wszystkich par :
.

Na zdarzeniach ze zbioru  określone jest prawdopodobieństwo :
.

Wówczas dowolne zdarzenia  (w pierwszym doświadczeniu zaszło zdarzenie ) i  (w drugim doświadczeniu zaszło zdarzenie ) są niezależne, więc:
.


Przykład:

Jedna urna zawiera 3 kule białe i 5 czarnych, druga 4 kule białe i 6 czarnych. Z każdej urny losujemy po jednej kuli. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania  dwóch kul białych.

Rozwiązanie:

Losowanie kuli z każdej urny są zdarzeniami niezależnymi. Wylosowanie dwóch kul białych jest iloczynem zdarzeń: wylosowano kulę białą z pierwszej urny i wylosowano kulę białą z drugiej urny.

Oznaczmy zdarzenia:

A - wylosowano dwie białe kule,

B - wylosowano białą kulę z urny pierwszej,

C- wylosowano białą kulę z urny drugiej.

Ponieważ zdarzenia  i  są niezależne, więc:

Odp. Prawdopodobieństwo wylosowania dwóch białych kul wynosi: .

Schemat Bernoulliego

Wykonujemy doświadczenie, w którym można otrzymać tylko dwa wyniki: 

- zdarzenie A, które nazywamy sukcesem,
- zdarzenie do niego przeciwne A', które nazywamy porażką.

Doświadczenie takie nazywamy próbą Bernoulliego.

Prawdopodobieństwo sukcesu w jednej próbie Bernoulliego oznaczamy symbolem , a prawdopodobieństwo porażki symbolem . Zachodzi między nimi związek:


Schematem n prób Bernoulliego nazywamy doświadczenie polegające na -krotnym powtórzeniu ustalonej próby Bernoulliego  w identycznych warunkach i niezależnie od siebie tzn. przy założeniu, że wynik każdej próby nie zależy od wyników prób poprzednich i nie wpływa na wyniki prób następnych.

W schemacie Bernoulliego o  próbach prawdopodobieństwo  uzyskania dokładnie  sukcesów określone jest wzorem:
,

gdzie  oznaczają odpowiednio prawdopodobieństwo sukcesu i porażki w jednej próbie.

Najbardziej prawdopodobna liczba sukcesów w schemacie Bernoulliego

Jeśli w schemacie Bernoulliego o n próbach liczba :
  1. nie jest liczbą całkowitą , to najbardziej prawdopodobną liczbą sukcesów jest największa liczba całkowita nie większa od 
    ,
  2. jest liczbą całkowitą , to najbardziej prawdopodobne liczby sukcesów są równe:
    .

Przykład:

W pewnej szkole są trzy klasy czwarte liczące po 30 uczniów. W każdej z tych klas jest dokładnie  dziewcząt. Z każdej klasy wybrano jednego ucznia. Dla jakiego k prawdopodobieństwo wybrania takiej trójki uczniów, wśród których są dokładnie dwaj chłopcy jest równe .

Rozwiązanie:

W trzech klasach czwartych jest 30 uczniów, w tym  dziewcząt i  chłopców. Losowania uczniów z każdej klasy są zdarzeniami niezależnymi oraz  prawdopodobieństwa wylosowania dziewczynki i wylosowania chłopca są takie same w każdej z klas. Do obliczenia szukanego prawdopodobieństwa można więc zastosować schemat Bernoulliego.

W zadaniu występuje schemat trzech prób Bernoulliego. Sukcesem jest wylosowanie chłopca, porażką - wylosowanie dziewczynki. Prawdopodobieństwa sukcesu -  i porażki -  wynoszą odpowiednio:

.

Z warunków zadania wynika, że w  próbach liczba sukcesów ma wynieść . Korzystamy ze wzoru na  prawdopodobieństwo wystąpienia  sukcesów w schemacie n prób Bernoulliego:
.

Z treści zadania wynika, że prawdopodobieństwo to wynosi , więc:
.

Po przekształceniach otrzymujemy równanie trzeciego stopnia:
,

przy założeniu, że .

Całkowity pierwiastek tego równania musi należeć do podzielników wyrazu wolnego, czyli 4000.
Może nim być liczba 10:
,

co oznacza, że liczba 10 jest pierwiastkiem tego równania. Należy teraz wielomian 
 podzielić przez dwumian :


Otrzymaliśmy więc: .

Rozwiązujemy równanie kwadratowe: 
Ponieważ  nie spełnia założeń, więc jedynym rozwiązaniem jest liczba .

Odp. W każdej klasie jest po  dziewcząt.