Matematyka

Rachunek prawdopodobieństwa



      Rachunek prawdopodobieństwa zajmuje się badaniem zjawisk losowych (np. rzut monetą, rzut kostką do gry, loterie itp.) i praw rządzących tymi zjawiskami.

Doświadczenie losowe

      Doświadczeniem losowym nazywamy takie doświadczenie, którego wyniku nie można przewidzieć, a przy powtarzaniu go w identycznych warunkach możemy otrzymać różne wyniki.

      Każdą realizację doświadczenia losowego nazywamy wynikiem doświadczenia losowego (np. wypadło 5 oczek w rzucie kostką).

      Jeśli pewne doświadczenie losowe zostało powtórzone  razy i dany wynik  wystąpił k razy, to liczbę  nazywamy częstością zdarzenia  w tym ciągu doświadczeń.

      Należy jednak pamiętać, że w pojedynczym doświadczeniu wynik  może wystąpić lub może nie wystąpić. Powtarzając dane doświadczenie wiele razy, można zaobserwować pewną prawidłowość - częstość wyniku  stabilizuje się wraz ze wzrostem liczby doświadczeń. Jest to tzw. prawidłowość statystyczna.

      Należy jednak pamiętać, że losowy charakter doświadczenia wyraża się m.in. w tym, że:
  1. jeśli pewien wynik w danej serii powtórzeń doświadczenia pojawił się z częstością , to nie oznacza, że w każdej następnej serii wystąpi również z częstością ,
  2. jeśli w kilku seriach powtórzeń doświadczenia otrzymano różne częstości danego wyniku, to ten fakt nie oznacza, że w następnych seriach otrzyma się jeszcze inne częstości tego wyniku.

Zdarzenia elementarne

      Podobnie jak np. geometria, rachunek prawdopodobieństwa wychodzi od pewnych pojęć, które nie są definiowane (tzw. pojęć pierwotnych).

Pojęciem pierwotnym w rachunku prawdopodobieństwa jest zdarzenie elementarne.

      Za zdarzenia elementarne przyjmuje się najprostsze wyniki doświadczenia. Określa się je rozważając konkretne zjawisko. Sporządza się wówczas listę wszystkich wyników, które mogą się pojawić, w taki jednak sposób, aby wystąpienie każdego wyniku zamieszczonego na liście wykluczało wystąpienie w tym samym doświadczeniu  wszystkich wyników pozostałych.

Zdarzenia elementarne oznacza się literami  itd.

Zbiór zdarzeń elementarnych

      Zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych nazywamy przestrzenią zdarzeń elementarnych i oznaczamy symbolem .

Zdarzenie losowe

      Każdy podzbiór zbioru zdarzeń elementarnych  nazywamy zdarzeniem losowym (w zbiorze ). Zdarzenia oznaczamy literami A, B, C, ...

      Każde zdarzenie elementarne  nazywamy zdarzeniem elementarnym sprzyjającym zdarzeniu A.

      Każde zdarzenie  jest więc równe zbiorowi tych zdarzeń elementarnych, które mu sprzyjają.

Zdarzenie pewne i niemożliwe

      Każde zdarzenie elementarne sprzyja zdarzeniu , a więc to zdarzenie zachodzi zawsze. Dlatego zbiór  nazywamy zdarzeniem pewnym.

      Żadne zdarzenie elementarne nie sprzyja zdarzeniu  (zbiór pusty), a więc to zdarzenie nie zachodzi nigdy. Dlatego zbiór pusty  nazywamy zdarzeniem niemożliwym.

Działania na zdarzeniach

      Ponieważ w myśl definicji zdarzenia są zbiorami,  więc na zdarzeniach można wykonywać analogiczne działania jak na zbiorach.

Suma zdarzeń

      Sumą zdarzeń  i  nazywamy zdarzenie , któremu sprzyjają zdarzenia elementarne , sprzyjające zdarzeniu  lub zdarzeniu :

Sumy pewnych zdarzeń:


Iloczyn zdarzeń

      Iloczynem zdarzeń  i  nazywamy zdarzenie , któremu sprzyjają zdarzenia elementarne , sprzyjające zdarzeniu  i zdarzeniu :

Iloczyny pewnych zdarzeń:


Różnica zdarzeń

      Różnicą zdarzeń  i  nazywamy zdarzenie , do którego należą zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu  i nie sprzyjające zdarzeniu :


Zdarzenia przeciwne

      Zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia  nazywamy zdarzenie  (różnica zdarzenia pewnego  i danego zdarzenia ).

Zdarzenia  i nazywamy zdarzeniami przeciwnymi, wtedy i tylko wtedy, gdy:


Własności zdarzeń przeciwnych:



Zdarzenia rozłączne

      Dwa zdarzenia  i nazywamy zdarzeniami rozłącznymi (wykluczającymi się), jeżeli zdarzenie  jest zdarzeniem niemożliwym tzn., gdy:

Zawieranie się zdarzeń

      Zdarzenie  jest zawarte w zdarzeniu , jeżeli każde zdarzenie elementarne sprzyjające zdarzeniu , sprzyja jednocześnie zdarzeniu :


Zdarzenia równe

      Zdarzenia  i są równe wtedy i tylko wtedy, gdy sprzyjają im te same zdarzenia elementarne.


Pojęcie prawdopodobieństwa


      Prawdopodobieństwo zdarzenia jest abstrakcyjnym odpowiednikiem pojęcia częstości wystąpienia zdarzenia w serii doświadczeń.

Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa

      Niech  będzie zbiorem zdarzeń elementarnych. Jeżeli każdemu zdarzeniu  przyporządkowana jest dokładnie jedna liczba  taka, że:
  1.  (prawdopodobieństwo jest liczbą nieujemną),
  2.  (prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego jest równe 1),
  3. Jeżeli , to  (prawdopodobieństwo sumy zdarzeń rozłącznych jest równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń),
to mówimy, że na zdarzeniach w zbiorze  zostało określone prawdopodobieństwo, a liczbę  nazywamy prawdopodobieństwem zdarzenia .

      Powyższą definicję nazywamy aksjomatyczną definicją prawdopodobieństwa, a warunki 1 - 3 są aksjomatami prawdopodobieństwa i stanowią warunki formalne, które musi spełniać prawdopodobieństwo, nie pokazują jednak jak obliczać prawdopodobieństwo danego zdarzenia. W praktyce liczba  powinna być tak dobrana, aby odpowiadała częstości występowania zdarzenia  w długich seriach doświadczeń.

Przestrzeń probabilistyczna

      Parę , gdzie  jest zbiorem zdarzeń elementarnych, a  jest  prawdopodobieństwem określonym na zdarzeniach w zbiorze , nazywamy przestrzenią probabilistyczną.

Własności prawdopodobieństwa

  1.  (prawdopodobieństwo jest liczbą nieujemną),
  2.  (prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego jest równe 1),
  3. Jeżeli , to  (prawdopodobieństwo sumy zdarzeń rozłącznych jest równe sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń),
  4.  (prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego jest równe 0),
  5. Jeżeli , to ,
  6.  (prawdopodobieństwo zdarzenia nie może być większe od 1),
  7.  (prawdopodobieństwo zdarzenia A' przeciwnego do zdarzenia A),
  8.  (prawdopodobieństwo sumy dowolnych zdarzeń),
  9.   (prawdopodobieństwo sumy zdarzeń jest nie większe od sumy ich prawdopodobieństw).

Wniosek:  Prawdopodobieństwo każdego zdarzenia losowego jest liczbą należącą do przedziału á0,1ń.

Klasyczna definicja prawdopodobieństwa (Laplace'a)

      Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa nie pokazuje jak wyznaczać prawdopodobieństwo zdarzeń. Jeżeli zdarzenia elementarne danego doświadczenia losowego są jednakowo prawdopodobne, to można korzystać z klasycznej definicji prawdopodobieństwa, która wskazuje metodę obliczania prawdopodobieństw zdarzeń.

      Jeżeli  jest skończonym zbiorem zdarzeń elementarnych jednakowo prawdopodobnych i , to liczbę:

gdzie  oznaczają odpowiednio moc zbioru  (ilość elementów zbioru ) oraz moc zbioru  (ilość elementów zbioru ), nazywamy prawdopodobieństwem zdarzenia .

Uwaga: definicja ta obowiązuje tylko dla doświadczeń o jednakowo prawdopodobnych zdarzeniach elementarnych!

      Przy obliczaniu liczby wszystkich zdarzeń elementarnych danego doświadczenia i liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających danemu zdarzeniu wykorzystuje się najczęściej wzory kombinatoryczne.

Przykład 1:

      W partii  10 żarówek 4 są wadliwe. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród zakupionych 3 żarówek:
  1. wszystkie są wadliwe,
  2. dokładnie jedna jest wadliwa,
  3. przynajmniej jedna jest wadliwa.

Rozwiązanie:

      Doświadczenie polega na losowym wyjęciu 3 żarówek spośród 10 żarówek. Istotne jest, jakie żarówki zostały wyjęte, natomiast kolejność ich wyjmowania nie gra roli. Zdarzeniami elementarnymi (jednakowo prawdopodobnymi) są więc wszystkie trzyelementowe podzbiory zbioru dziesięcioelementowego, czyli trzyelementowe kombinacje tego zbioru. Ich liczba jest równa:


Oznaczmy zdarzenia:

       - wybór trzech wadliwych żarówek,
       - wybór jednej wadliwej i dwóch sprawnych żarówek,
       - wybór przynajmniej jednej wadliwej żarówki.
  1. Zdarzeniami elementarnymi sprzyjającymi zdarzeniu  są wszystkie trzyelementowe podzbiory zbioru czteroelementowego (wybór trzech żarówek wadliwych spośród czterech wadliwych). Ich liczba jest równa:
    , (bo ).

    Tak więc prawdopodobieństwo zdarzenia A wynosi:
  2. Zdarzeniami elementarnymi sprzyjającymi zdarzeniu  są  wszystkie trzyelementowe podzbiory zawierające jedną żarówkę wadliwą wybraną spośród czterech wadliwych i dwie żarówki sprawne wybrane spośród sześciu sprawnych. Ich liczba jest równa:

    Przy obliczaniu ilości zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu  skorzystaliśmy z reguły mnożenia.
    Tak więc prawdopodobieństwo zdarzenia wynosi:
  3. Prawdopodobieństwo zdarzenia  łatwiej jest obliczyć przy pomocy zdarzenia przeciwnego:
     - nie wybrano ani jednej żarówki wadliwej, czyli wybrano trzy sprawne.
    Zdarzeniami elementarnymi sprzyjającymi zdarzeniu  są  wszystkie trzyelementowe podzbiory zbioru sześcioelementowego (trzy żarówki sprawne wybrane z sześciu sprawnych). Ich liczba jest równa:

    Tak więc prawdopodobieństwo zdarzenia  wynosi:

    Prawdopodobieństwo zdarzenia  jest równe:

Odp.: .

Przykład 2:

      W kolejce stoi 5 kobiet i 7 mężczyzn. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia, że kobiety stoją przed mężczyznami.

Rozwiązanie:

      Doświadczenie polega na ustawieniu w sposób losowy 12 osób w kolejce. Zdarzeniami elementarnymi są więc wszystkie permutacje zbioru 12-elementowego. Ich liczba jest równa:


Oznaczmy zdarzenie:

       - kobiety stoją przed mężczyznami.
      Zdarzenie  polega na ustawienie najpierw 5 kobiet w dowolnej kolejności na 5! sposobów, a następnie 7 mężczyzn też w dowolnej kolejności na 7! sposobów. Korzystając z reguły mnożenia można obliczyć ilość zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu :

      Tak więc prawdopodobieństwo zdarzenia, że kobiety będą stały przed mężczyznami wynosi:


Odp. .

Przykład 3:

      Ze zbioru cyfr {1,2,3,4,...,9} losujemy kolejno ze zwracaniem 4 cyfry i układamy z nich liczbę w kolejności od rzędu tysięcy do rzędu jedności. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia, że powstała liczba o nie powtarzających się cyfrach?

Rozwiązanie:

      Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie ciągi 4-elementowe o elementach ze zbioru 9-elementowego,  w których  wyrazy mogą się powtarzać, czyli wszystkie 4 wyrazowe wariacje z powtórzeniami zbioru 9-elementowego.  Ich liczba jest równa:
.


Oznaczmy zdarzenie:

       - powstała liczba o nie powtarzających się cyfrach.
      Zdarzeniami elementarnymi sprzyjającymi zdarzeniu  są wszystkie ciągi 4-elementowe o elementach ze zbioru 9-elementowego,  w których  wyrazy nie mogą się powtarzać, czyli wszystkie 4 wyrazowe wariacje bez powtórzeń zbioru 9-elementowego.  Ich liczba jest równa:

      Tak więc prawdopodobieństwo zdarzenia, że powstanie liczba o nie powtarzających się cyfrach wynosi:


Odp. .

Prawdopodobieństwo warunkowe

      Prawdopodobieństwem warunkowym  zajścia zdarzenia  pod warunkiem, że zaszło zdarzenie , nazywamy liczbę:
,

gdzie .

Przykład:

      Z talii kart losujemy jedną. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania króla, jeśli wiadomo, że została wylosowana figura (as, król, dama, walet) ?

Rozwiązanie:

      Należy obliczyć prawdopodobieństwo warunkowe wylosowania króla pod warunkiem, że wylosowano figurę.

Oznaczmy zdarzenia:

       - wylosowanie króla,
       - wylosowanie figury.
      Aby skorzystać ze wzoru na prawdopodobieństwo warunkowe, należy obliczyć  i .
      Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie jednoelementowe podzbiory zbioru 52 elementowego. Ich liczba wynosi:

      Zdarzeniami elementarnymi sprzyjającymi zdarzeniu  są wszystkie podzbiory jednoelementowe 16-elementowego zbioru figur. Ich liczba wynosi: , czyli

      Zdarzeniami elementarnymi sprzyjającymi zdarzeniu  są wszystkie podzbiory jednoelementowe 4-elementowego zbioru króli. Ich liczba wynosi: , czyli

Prawdopodobieństwo warunkowe wynosi więc:


Odp. .
Dodaj do swoich materiałów
Morze możliwości
na edukator.pl
Narzędzia, zasoby, komunikacja, współpraca. Zarejestruj się. Twórz, gromadź zasoby i dziel się nimi.
Morze możliwości na edukator.pl