Prawo powszechnej grawitacji


Pojęciem tym określa się ogół zjawisk związanych z siłami przyciągania między masami. Opisuje je prawo powszechnej grawitacji, w myśl którego dwie masy ("punktowe") przyciągają się siłą wprost proporcjonalną do tych mas i odwrotnie proporcjonalną do kwadratu odległości między nimi:
 


Współczynnik G nosi nazwę stałej grawitacji, która równa jest G = 6,67×10-11 N. m2/kg2
Siła ta działa na każde ciało oddzielnie, występując w parze, zgodnie z III zasadą dynamiki.
Wzór na siłę grawitacyjną odnosi się do mas punktowych oraz kulistych.
 
Przyspieszenie grawitacyjne
 
Po podzieleniu siły przez masę otrzymuje się przyspieszenie, z jakim jedna masa (m) porusza się w polu drugiej (M):
 

Jeśli masa M ma kształt kuli o promieniu R, to wzór powyższy obowiązuje jedynie na zewnątrz kuli. W jej wnętrzu (czyli dla r < R), za masę M należy wstawić masę kuli o promieniu r. Ta część całej kuli, która znajduje się na zewnątrz mniejszej kuli, nie daje przyczynku do przyspieszenia grawitacyjnego - te fragmenty, które leżą naprzeciw siebie działają w przeciwne strony i znoszą się parami.


Tak więc przyspieszenie w punkcie P, odległym od środka kuli o r, pochodzi tylko od mas stanowiących kulę o tym promieniu. Masa tej kuli wynosi , gdzie r jest gęstością kuli, równą: r = . Po uwzględnieniu tych związków dostaje się wzór na przyspieszenie grawitacyjne wewnątrz jednorodnej kuli:
 
            (r R).
 
Wykresem przyspieszenia grawitacyjnego kuli jest więc krzywa złożona z dwóch fragmentów: odcinka prostej (wewnątrz kuli) oraz krzywej typu hiperboli (na zewnątrz kuli).


Przyspieszenie ziemskie
 
g0 = 9,81 m/s2, odpowiadającą szerokości geograficznej 450. Podawanie dokładniejszej wartości mija się z celem, gdyż jej wahania między różnymi punktami są duże.
Na wysokości 10 km (na jakiej latają odrzutowce pasażerskie) przyspieszenie ziemskie jest mniejsze od g0 o 0,3%. Spadek o połowę następuje na wysokości 2560 km nad powierzchnią Ziemi. 
W obszarze Księżyca przyspieszenie ziemskie jest prawie niezauważalne - stanowi ono zaledwie jedną trzytysięczna wartości g0. Natomiast własne przyspieszenie księżycowe jest tylko 6 razy mniejsze od g0. Oznacza to, że na powierzchni Księżyca każdy przedmiot jest ok. 6 razy lżejszy, niż na Ziemi.
 
Energia potencjalna grawitacyjna
 
Energię potencjalną grawitacyjną mas punktowych i kulistych odnosi się zwykle do nieskończoności, gdzie przyjmuje się ją za równą zeru. Praca przeniesienia masy m z nieskończoności do dowolnego punktu odległego o r od środka masy M równa jest polu pod krzywą wyrażającą zależność siły grawitacyjnej od położenia. Zakładamy przy tym, że r jest większe od promienia kuli.

      

Pole to można obliczyć elementarnie, dzieląc drogę na małe elementy o długości Dx i zakładając, że siła na każdym takim odcinku ma wartość stałą, równą średniej geometrycznej wartości siły na końcach odcinka. Wynik końcowy jest następujący:
 
      W =
 
Ponieważ praca siły grawitacyjnej w kierunku od danego punktu do nieskończoności jest ujemna (kierunek siły jest przeciwny do kierunku przesuwania się ku nieskończoności), dlatego energia potencjalna w rozważanym punkcie jest ujemna:
 
      Ep = -

Należy zaznaczyć, że energia ta zależy jedynie od odległości od środka kuli, a nie zależy od kątów charakteryzujących położenie punktu na sferze o danym promieniu  (nie zależy ani od "szerokości geograficznej" ani "długości geograficznej").
Na powierzchni kuli o promieniu R energia potencjalna masy m wynosi
 
      Ep = -
 
Praca potrzebna do wyniesienia masy m na wysokość h nad powierzchnię kuli równa jest różnicy energii potencjalnych w punkcie końcowym i początkowym:
 
W(h) = E(R + h) - E(R).
 
Jeśli promień kuli jest dużo większy od wysokości h (R >> h), to praca ta może być zapisana jako:
 
W = -GmM = GmMť
 
Na powierzchni kuli siłę grawitacyjną można zapisać na dwa sposoby: jako mg0 oraz jako GmM /R2. Z przyrównania tych wzorów dostajemy użyteczną formułę, pozwalającą na zastąpienie iloczynu GM przez g0R2 :
 
GM = g0R2 .
 
W takim razie wzór na pracę wyniesienia masy m na wysokość h, która jest jednocześnie energia potencjalna ciała względem powierzchni kuli:
 
W =Ep  = mg0h.
 
Przy rozpatrywaniu ruchu w pobliżu powierzchni kuli indeks "0"  przy przyspieszeniu g zaniedbuje się, pisząc po prostu: mgh.
 
Podane tu wzory odnoszą się zarówno do kul małych, jak i bardzo dużych, jakimi są ciała niebieskie, w tym - przede wszystkim - Ziemi.
 
Prędkości kosmiczne
 
Najmniejsza prędkość, jaką powinno posiadać ciało, by mogło okrążać Ziemię nie spadając na nią, nazywa się pierwszą prędkością kosmiczną v1. Ciało o takiej prędkości może krążyć po orbicie kołowej tuż nad powierzchnią Ziemi.

      

W ruchu takim siła odśrodkowa winna być równa sile przyciągania grawitacyjnego Ziemi:
 
mg =                (g - przyspieszenie grawitacyjne Ziemi przy jej powierzchni),
 
skąd wynika, że
 
= 7,9 km/s.
 
Druga prędkość kosmiczna v2 jest minimalną prędkością, jaką należy nadać ciału, by opuściło obszar przyciągania ziemskiego. Jego początkowa energia kinetyczna musi starczyć na wykonanie pracy przesunięcia ciała z odległości R od środka Ziemi do nieskończoności. Przyrównując te dwie wielkości otrzymujemy równanie:




 
Po jego rozwiązaniu otrzymujemy:
 
=  ť 11,2 km/s.

Druga prędkość kosmiczna jest więc razy większa od pierwszej prędkości kosmicznej.
            
Ruch satelitów
 
Przez satelitę rozumieć będziemy dowolne ciało, które wykonuje ruch okrężny wokół innego, większego ciała. Może to być planeta krążąca wokół Słońca, Księżyc krążący wokół Ziemi lub też każdy sztuczny satelita na orbicie okołoziemskiej. Ruch wszystkich tych ciał podlega podobnym prawom.
 
Orbity kołowe

Jeśli prędkość satelity jest taka, że siła odśrodkowa dokładnie znosi się z siłą przyciągania grawitacyjnego, to ruch odbywa się po orbicie kołowej. Dla takiej orbity spełniony jest związek:
 

We wzorze tym m oznacza masę satelity, M - masę Ziemi (lub innego ciała niebieskiego), r - promień orbity kołowej. Mnożąc ten związek obustronnie przez r/2 dostaje się związek między energiami: kinetyczna i potencjalną:
 
 =

Energia kinetyczna satelity równa jest połowie bezwzględnej wartości energii potencjalnej.
Energia całkowita satelity może więc być wyrażona dwojako: albo przez energie kinetyczną albo potencjalną:
 
E = Ekin + Ep = Ekin - 2 Ekin =
 
lub
 
E = Ekin + Ep = - Ep + Ep =
 
Wybór wzoru zależy od rodzaju zagadnienia.
 
Przykład 1.   Sztuczny satelita okrąża Ziemię co 100 minut. Aby określić wysokość, na jakiej krąży on nad powierzchnią Ziemi, korzystamy ze wzoru na równość sił: odśrodkowej i grawitacyjnej. Po uproszczeniu przybiera on postać:
 
v2 = GM

Ale
 
v = wr =

zatem
 
r =

lub
 
r =             (g - przyspieszenie ziemskie przy powierzchni Ziemi).
 
Po wykonaniu obliczeń otrzymuje się przybliżoną wartość: r ť 7200 km. Po odjęciu promienia Ziemi (6400 km), dostajemy wysokość h nad powierzchnią Ziemi: h = 800 km.
 
Przykład 2. Satelita geostacjonarny. Musi on krążyć po orbicie około-równikowej z okresem równym okresowi obrotu Ziemi wokół własnej osi, czyli T = 24 godziny. Promień orbity takiego satelity wyprowadzamy z podobnego równania, jak w poprzednim przykładzie. Uzyskuje się wtedy r ť 40 000 km.
       
Orbity eliptyczne

Ciało, wokół którego krąży satelita, znajduje się nie w jej środku, lecz w jednym z jej ognisk. Punkt leżący najbliżej ciała (P) nazywa się apogeum, leżący najdalej (A) - apogeum.



W ruchu po orbicie eliptycznej wartość prędkości nie jest stała, lecz zmienia się w pewnych granicach. Najmniejsza jest w apogeum, największa - w perigeum. Wielkością, która wiąże wartość prędkości z odległością od centrum siły, jest moment pędu, równy:
 
L = mvr sin a,

gdzie a jest kątem między wektorem prędkości i wektorem położenia satelity względem ciała centralnego.



Moment pędu satelity jest stały: L = const. Stałość wektora momentu pędu oznacza dwie własności. Po pierwsze, ruch odbywa się w jednej, ustalonej, płaszczyźnie. Po drugie, prędkość polowa satelity jest stała. Wynika stąd, że w skrajnych punktach elipsy  (gdzie a = 90o) prędkości są odwrotnie proporcjonalne do odległości od źródła siły grawitacyjnej:
 

Związek ten można z dobrym przybliżeniem stosować i do innych punktów elipsy.
Dla orbit satelitarnych spełnione jest jeszcze jedno prawo (Keplera): kwadrat okresu obiegu orbity jest odwrotnie proporcjonalny do sześcianu średniej odległości satelity od centrum siły grawitacyjnej. Można to zapisać w postaci:
 

Dla każdej orbity satelitarnej spełnione jest prawo stałości całkowitej energii:
 

gdzie m oznacza masę satelity, M - masę ciała okrążanego przez satelitę, v - chwilową prędkość liniową satelity, r - chwilową odległość satelity od masy M.
Dodaj do swoich materiałów
Morze możliwości
na edukator.pl
Narzędzia, zasoby, komunikacja, współpraca. Zarejestruj się. Twórz, gromadź zasoby i dziel się nimi.
Morze możliwości na edukator.pl