+ Pokaż spis treści

Pochodna funkcji


 
Iloraz różnicowy funkcji.

      Jeśli funkcja  jest funkcją określoną w pewnym otoczeniu punktu , a  jest liczbą taką, że , to iloraz:

nazywamy ilorazem różnicowym funkcji w punkcie ,dla przyrostu  zmiennej niezależnej.
 
      Liczbę nazywamy przyrostem argumentu, a liczbę  nazywamy przyrostem wartości funkcji .
 
Interpretacja geometryczna ilorazu różnicowego.

      Dla ustalonego  i ustalonego  punkty  oraz  należą do wykresu funkcji . Prosta przechodząca przez te punkty jest nazywana sieczną wykresu funkcji .

 
Iloraz różnicowy  jest równy tangensowi kąta , jaki sieczna  tworzy z osią OX:
.


Przykładowe interpretacje fizyczne ilorazu różnicowego.
  1. Średnia prędkość ciała, które w czasie  przebyło drogę , jest ilorazem różnicowym:

    gdzie  jest funkcją opisującą zależność drogi od czasu.
  2. Średnie natężenie prądu powstałego w wyniku przepływu ładunku  w czasie  jest ilorazem różnicowym:

    gdzie  jest funkcją opisującą zależność przepływającego ładunku od czasu.
 
Pochodna funkcji w punkcie.

      Granicę właściwą (jeśli istnieje) ilorazu różnicowego    dla  dążącego do zera  nazywamy pochodną funkcji  w punkcie  i oznaczamy symbolem .

      Jeśli funkcja  określona w pewnym otoczeniu punktu  ma pochodną w tym punkcie, to mówimy, że funkcja jest różniczkowalna w punkcie .
 
Przykład:
Korzystając z definicji pochodnej funkcji w punkcie, oblicz pochodną funkcji  w punkcie .
 
Rozwiązanie:
Zgodnie z definicją:

czyli dla danej funkcji:

Odp. Pochodna funkcji  w punkcie  jest równa .
 
Interpretacja geometryczna pochodnej funkcji w punkcie.

      Gdy przyrost argumentu , to punkt zbliża się do punktu  (punkty są położone coraz bliżej siebie) i sieczne poprowadzone przez te punkty "dążą" do stycznej poprowadzonej w punkcie .

      Pochodną funkcji w punkcie można więc interpretować jako tangens kąta, jaki tworzy z osią OX styczna do wykresu funkcjiw punkcie o odciętej.


Styczna do wykresu funkcji

      Potocznie uważa się, że styczną do krzywej jest prosta mająca z tą krzywą dokładnie jeden punkt wspólny. Nie jest to określenie zawsze poprawne, ponieważ np. każda prosta równoległa do osi OX ma z hiperbolą o równaniu  dokładnie jeden punkt wspólny, ale styczną do hiperboli nie jest.
 
Styczną do wykresu funkcji różniczkowalnej w punkcie  można określić w następujący sposób:
 
      Jeżeli funkcja  jest określona w pewnym otoczeniu punktu i jest różniczkowalna w punkcie , to styczną do wykresu funkcji  w punkcie  nazywamy prostą o równaniu:


Przykład zastosowania w fizyce pochodnej funkcji w punkcie.
 
Prędkość ciała w chwili  jest pochodną funkcji w punkcie , gdzie  jest funkcją opisującą zależność położenia ciała od czasu :


Pochodne jednostronne funkcji w punkcie

      Jeżeli iloraz różnicowy > ma w punkcie  granicę jednostronną , to granicę tę nazywamy pochodną jednostronną funkcji  w punkcie  i oznaczamy symbolicznie:
 - pochodna prawostronna,
 - pochodna lewostronna,

 
Pochodna funkcji w punkcie  istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy obie pochodne jednostronne istnieją i są równe :  =  .
 
Przykład:
Wykaż, że nie istnieje pochodna funkcji  w punkcie .
 
Rozwiązanie:
W celu wykazania, że nie istnieje pochodna danej funkcji w punkcie , należy obliczyć jej pochodne jednostronne w tym punkcie:
,

ponieważ dla : .
 
Analogicznie:
,

ponieważ dla .
 
Otrzymaliśmy: , więc funkcja  nie ma pochodnej w punkcie .
 
Pochodna jako funkcja.

      Jeżeli funkcja  ma pochodną w każdym punkcie zbioru  (np. w każdym punkcie przedziału), to można określić nową funkcję przyporządkowującą każdemu punktowi zbioru  wartość pochodnej funkcji w tym punkcie. Funkcję tę nazywamy pochodną funkcji  i oznaczamy symbolem :
.

Uwaga: Pochodna funkcji w punkcie   -  jest liczbą,  natomiast pochodna funkcji  jest funkcją.
 
Funkcję nazywamy różniczkowalną w zbiorze, jeżeli jest różniczkowalna w każdym punkcie tego zbioru.
 
Przykład:
Oblicz z definicji pochodną funkcji .
 
Rozwiązanie:
Zgodnie z definicją:

Dla danej funkcji:

Przy przekształcaniu wyrażenia  skorzystaliśmy ze wzoru na różnicę sinusów. Wiadomo ponadto, że
,

więc:
.

Odp. Pochodna funkcji jest równa :     .
 
Druga pochodna funkcji.

      Jeżeli funkcja pochodna jest różniczkowalna w zbiorze , to pochodną tej pochodnej  w zbiorze  nazywamy pochodną drugiego rzędu (drugą pochodną) funkcji  i oznaczamy symbolem .
.

 
Analogicznie określa się pochodne wyższych rzędów:
  • pochodna trzeciego rzędu to pochodna pochodnej drugiego rzędu,
  • pochodna czwartego rzędu to pochodna pochodnej trzeciego rzędu,itd.

Własności pochodnych

  1. Ciągłość funkcji różniczkowalnej

    Jeśli funkcja  jest różniczkowalna w punkcie , to jest w tym punkcie ciągła.
    Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe tzn. funkcja ciągła w punkcie  nie musi być w tym punkcie różniczkowalna (np. funkcja  jest ciągła w punkcie , lecz nie ma pochodnej w tym punkcie).
  2. Wzory na pochodną sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu funkcji:

    Jeśli funkcje  i  są różniczkowalne w przedziale , to funkcje , gdzie,  oraz , jeśli , są różniczkowalne w przedziale  i zachodzą związki:







Pochodna funkcji złożonej.


Jeżeli jest złożeniem funkcji  z funkcją  i funkcja jest różniczkowalna w punkcie , natomiast funkcja > jest różniczkowalna w punkcie , to funkcja  jest różniczkowalna w punkcie  i zachodzi wzór:
.



Pochodne funkcji elementarnych
 
Funkcja
Pochodna
Założenia
 
 
 
 
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
 
 
 
 
Przykład:
Oblicz pochodne funkcji:
  1. ,   
  2. ,   
  3. ,
  4. ,
  5. ,
  6. ,
  7. .
Rozwiązanie:
  1. , ponieważ funkcja  jest funkcją stałą.
  2. .
  3.  
  4. Skorzystamy ze wzoru na pochodną iloczynu.
    .
  5. Należy skorzystać ze wzoru na pochodną ilorazu.
     
  6. Należy skorzystać ze wzoru na pochodną funkcji złożonej:
    .
  7. Skorzystamy ze wzorów na pochodną ilorazu i pochodną funkcji złożonej oraz ze wzorów pochodnych funkcji elementarnych:






    Zastosowanie pochodnej do badania funkcji
     
    Przedziały monotoniczności funkcji
     
    Za pomocą pochodnej można wyznaczyć przedziały, w których dana funkcja różniczkowalna jest monotoniczna.
     
    Kryterium różniczkowe badania monotoniczności funkcji.
     
    Twierdzenie 1.

          Jeżeli funkcja  jest określona i różniczkowalna w przedziale , a jej pochodna  przyjmuje, w co najwyżej skończonej liczbie punktów tego przedziału, wartość zero, a we wszystkich pozostałych punktach przedziału jest dodatnia , to funkcja  jest w przedziale  rosnąca.
     jest   rosnąca   w .
     
    Twierdzenie 2.

          Jeżeli funkcja  jest określona i różniczkowalna w przedziale , a jej pochodna  przyjmuje, w co najwyżej skończonej liczbie punktów tego przedziału, wartość zero, a we wszystkich pozostałych punktach przedziału jest ujemna , to funkcja  jest w przedziale  malejąca.
     jest malejąca w .
     
    Twierdzenie 3.

          Jeżeli funkcja  jest określona i różniczkowalna w przedziale , a jej pochodna  przyjmuje w każdym punkcie tego przedziału wartość zero, to funkcja  jest w przedziale  stała.
     jest stała w .
     
    Przykład:
          Dla jakich wartości parametru  funkcja  jest rosnąca dla każdego .
     
    Rozwiązanie:
          Dana funkcja jest funkcją wielomianową, więc jest różniczkowalna w całej dziedzinie. Zgodnie z kryterium różniczkowym monotoniczności funkcji funkcja jest rosnąca w całej dziedzinie, jeśli jej pochodna jest zawsze dodatnia za wyjątkiem co najwyżej skończonej liczby punktów, w których jest równa zero:

    Powyższy warunek jest spełniony, gdy :
    .

     
    Odp. Dane funkcja jest rosnąca dla każdego , jeśli 
     
    Ekstrema funkcji.
     
    Maksimum lokalne.

          Funkcja ma w punkcie  maksimum lokalne równe  wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje takie sąsiedztwo  punktu , że dla każdego  jest spełniony warunek:
    .

     
    Minimum lokalne.

          Funkcja  ma w punkcie  minimum lokalne równe  wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje takie sąsiedztwo  punktu , że dla każdego  jest spełniony warunek:
    .

     
    Ekstremum funkcji to maksimum lub minimum tej funkcji.
          Ekstrema funkcji nie muszą być jednocześnie najmniejszą i największą wartością tej funkcji przyjmowaną w pewnym zbiorze. Funkcja może np. nie mieć ani największej, ani najmniejszej wartości, a mieć kilka maksimów i minimów.
     
    Kryterium różniczkowe istnienia ekstremum funkcji
     
    Warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji

          Jeżeli funkcja  ma w punkcie  ekstremum i jest w tym punkcie różniczkowalna, to .
     
          Warunek ten nie jest jednak wystarczający dla istnienia ekstremum funkcji różniczkowalnej w punkcie .
     
    I warunek wystarczający istnienia ekstremum funkcji

          Jeżeli funkcja  jest ciągła w punkcie  i ma pochodną w pewnym sąsiedztwie , przy czym:

    [lub   ]

    to funkcja ma w punkcie  maksimum (lub minimum) lokalne.
     
    II warunek wystarczający istnienia ekstremum funkcji

          Jeżeli funkcja  jest dwukrotnie różniczkowalna w pewnym otoczeniu  punktu  i jej druga pochodna jest ciągła w tym otoczeniu oraz
    > i 
     (lub ),

    to funkcja  ma w punkcie  minimum (lub maksimum) lokalne.

          Należy podkreślić, że powyższe warunki dotyczą wyłącznie funkcji różniczkowalnych. Nie oznacza to jednak, że funkcja nieróżniczkowalna nie może mieć ekstremum. Przykładowo funkcja  ma w punkcie  minimum, choć nie jest w tym punkcie różniczkowalna. 
     
    Wynika stąd wniosek, że ekstremum funkcji należy szukać 
    1. w tych punktach jej dziedziny, w których pochodna funkcji jest równa zero,
    2. w tych punktach jej dziedziny, w których pochodna funkcji nie jest określona (nie istnieje).

    Przykład:
          Dla jakich wartości parametrów  i  funkcja:  osiąga ekstremum równe  dla . Zbadaj, czy jest to maksimum, czy minimum. Znajdź, o ile istnieją, pozostałe ekstrema tej funkcji.
     
    Rozwiązanie:
    Dana funkcja jest wymierna i jej dziedziną jest zbiór . Funkcja ta jest więc różniczkowalna w punkcie. . Zgodnie z warunkiem koniecznym istnienia ekstremum funkcji różniczkowalnej, pochodna danej funkcji musi być równa zero dla .

    Otrzymujemy więc:

    W celu obliczenia parametru  skorzystamy z informacji, że dla  funkcja przyjmuje wartość  tzn.:
    .

    Wynika stąd, że dla  dana funkcja może mieć ekstremum dla . Aby funkcja miała to ekstremum, jej pochodna musi zmieniać znak w punkcie . Dla obliczonych parametrów uzyskaliśmy funkcję:
    ,

    której pochodna wynosi:
    .

    Dla  pochodna ta zmienia znak z dodatniego na ujemny, funkcja ma więc maksimum.
     
          Drugim miejscem zerowym pochodnej jest . W punkcie tym pochodna zmienia znak z ujemnego na dodatni, funkcja ma więc minimum.
     
    Odp. Dla  dana funkcja ma maksimum równe  dla  oraz minimum dla .
     
    Punkt przegięcia
     
          Punkt  jest punktem przegięcia wykresu funkcji , jeżeli w lewostronnym sąsiedztwie punktu  funkcja jest wypukła i w prawostronnym sąsiedztwie punktu  funkcja jest wklęsła, lub odwrotnie.
     
    Kryterium różniczkowe istnienia punktu przegięcia wykresu funkcji
     
          Jeżeli funkcja  ma w przedziale  pochodną  oraz drugą pochodną  ciągła, to punkt , gdzie , jest punktem przegięcia wykresu funkcji  wtedy i tylko wtedy, gdy , a znaki drugiej pochodnej  w lewostronnym i prawostronnym sąsiedztwie punktu  są różne.
     
    Badanie przebiegu zmienności funkcji

          W celu naszkicowania wykresów wielu funkcji należy określić wszystkie możliwe do wyznaczenia własności, które daną funkcję charakteryzują. Wyznaczanie tych własności nazywamy badaniem przebiegu zmienności funkcji.
     
    Badanie przebiegu zmienności funkcji przebiega według schematu:

    I. Analiza funkcji

    1. określenie dziedziny funkcji,
    2. obliczenie granic na krańcach dziedziny funkcji,
    3. wyznaczenie asymptot,
    4. obliczenie miejsc zerowych i rzędnej punktu przecięcia wykresu funkcji z osią OY,
    5. zbadanie parzystości i nieparzystości funkcji.

    II. Analiza pierwszej pochodnej funkcji

    1. określenie dziedziny pochodnej,
    2. obliczenie pochodnej funkcji,
    3. obliczenie miejsc zerowych pochodnej,
    4. wyznaczenie przedziałów, w których pochodna jest dodatnia  i przedziałów, w których pochodna jest  ujemna,
    5. określenie monotoniczności funkcji,
    6. wyznaczenie ekstremów lokalnych funkcji.

    III. Analiza drugiej pochodnej funkcji

    1. określenie dziedziny drugiej pochodnej,
    2. obliczenie drugiej pochodnej funkcji,
    3. obliczenie miejsc zerowych drugiej pochodnej,
    4. określenie przedziałów wklęsłości i wypukłości wykresu funkcji,
    5. wyznaczenie punktów przegięcia,
    6. wyznaczenie ekstremów lokalnych funkcji, o ile nie zostały wyznaczone w podpunkcie 7 punktu II.

    IV. Sporządzenie tabeli przebiegu zmienności funkcji
     
    V. Naszkicowanie wykresu funkcji