+ Pokaż spis treści

Pierwiastki

Pierwiastkiem arytmetycznym stopnia , gdzie , z liczby nieujemnej  () nazywamy taką liczbę nieujemną  (), dla której:  i oznaczamy symbolicznie .

.

Przyjmujemy następujące określenia:

 - liczba podpierwiastkowa,

 - stopień pierwiastka,

 - pierwiastek -tego stopnia z   (wynik pierwiastkowania).

Najczęściej używane są pierwiastki drugiego stopnia (tzw. pierwiastki kwadratowe) oraz pierwiastki trzeciego stopnia (tzw. pierwiastki sześcienne).

Pierwiastkiem arytmetycznym drugiego stopnia (kwadratowym) z liczby nieujemnej  () nazywamy taką liczbę nieujemną  (), która podniesiona do drugiej potęgi (kwadratu) jest równa liczbie podpierwiastkowej.

,  gdy    dla  .


Np. ,  .

Pierwiastkiem arytmetycznym trzeciego stopnia (sześciennym) z liczby nieujemnej  () nazywamy taką liczbę nieujemną  (), która podniesiona do trzeciej potęgi (sześcianu) jest równa liczbie podpierwiastkowej.


, gdy  dla .


Np. .


Prawa działań na pierwiastkach


Dla dowolnych liczb rzeczywistych  nieujemnych  i liczb  zachodzą następujące wzory:

  1.  dla 


Korzystając z prawa szóstego można wykonać przekształcenie zwane wyłączaniem czynnika przed znak pierwiastka. Np. dla pierwiastka kwadratowego polega ono na przedstawieniu liczby podpierwiastkowej w postaci iloczynu liczby będącej kwadratem liczby naturalnej i liczby nie będącej kwadratem liczby naturalnej:


Następnie pierwiastek zapisuje się jako iloczyn liczby  i pierwiastka z liczby :

.


Podobnie dla pierwiastków sześciennych:

.


Przykład:

Doprowadź wyrażenia do najprostszej postaci:

a)            ,

b)            .


Rozwiązanie:

a)            

b)            .


Usuwanie niewymierności z mianownika ułamka


Jeżeli licznik i mianownik ułamka pomnożymy przez to samo wyrażenie różne od zera, to wartość ułamka nie zmieni się.

Usuwanie niewymierności z mianownika ułamka polega na pomnożeniu licznika i mianownika ułamka przez takie wyrażenie niewymierne (liczbę niewymierną), aby w mianowniku uzyskać wyrażenie wymierne (liczbę wymierną). Często korzysta się przy tym ze wzorów skróconego mnożenia. Np. dla pierwiastka kwadratowego wykorzystuje się wzór:



Przykładowo:


 dla 

 dla   i 

 dla   i 


Przykład:


Usuń niewymierności z mianowników ułamków:

a)            ,

b)            ,

c)            .


Rozwiązanie:

a)            ,

b)            ,

c)            .