+ Pokaż spis treści

Optyka geometryczna

Optyka zajmuje się badaniem tych fal elektromagnetycznych, które są postrzegane przez oko ludzkie. Fale takie nazywane są falami świetlnymi lub - po prostu - światłem. Ich długości zawierają się w przedziale od 400 nm do 700 nm (1 nm = 10-9 m).  Odgrywają one tak ważną rolę w życiu człowieka, że zasługują na specjalne traktowanie, mimo, iż ich ogólne własności są podobne do własności innych fal elektromagnetycznych.

Barwa fali

      Wrażenia wzrokowe zależą od częstotliwości fali, a pośrednio - od jej długości. Jednej długości odpowiada jedna barwa. Teoretycznie istnieje nieskończenie wiele barw, lecz oko nie jest w stanie je odróżnić. Dlatego też wyodrębniono sześć barw zasadniczych, przy czym jednej takiej barwie odpowiada pewien przedział długości. Są to barwy (ułożone według wzrastającej długości fali):

Fioletowa
Niebieska
Zielona
Żółta
Pomarańczowa
Czerwona
400 - 470 nm
470 - 490 nm
490 - 560 nm
560 - 580 nm
580 - 610 nm
610 - 700 nm


Granice między barwami nie są ściśle określone tak, że istnieje wiele odcieni i barw pośrednich.
      Światło białe jest mieszaniną wszystkich wymienionych barw (pod warunkiem, że ich natężenia są zbliżone). Wszystkie typowe (cieplne) źródła światła emitują światło białe. Im wyższa temperatura źródła, tym bielsze światło. O stopniu białości decydują głównie barwy: fioletowa i niebieska, których emisja wymaga wyższych temperatur.
      Wrażenie światła białego można też uzyskać w inny sposób. Dla każdej barwy istnieje bowiem druga barwa (zwana dopełniającą), która po zmieszaniu z pierwszą daje "barwę" białą. Przykładami par barw dopełniających są: niebieska - pomarańczowa, zielona - żółta i inne.
      Oko posiada jeszcze jedną właściwość: prawie każdą barwę można uzyskać jako kombinację dwóch innych barw. Na przykład dodając do siebie barwy: czerwoną i żółtą uzyskujemy barwę pomarańczową; dodając barwę żółtą i niebieską - otrzymujemy barwę zielona itd.


Odbicie światła

      Na każdej granicy dwóch ośrodków następuje częściowe lub całkowite odbicie światła. Odbicie całkowite następuje wtedy, gdy fala pada na ośrodek nieprzezroczysty z doskonale wypolerowaną powierzchnią. Najczęściej są to powierzchnie metaliczne lub powłoki metaliczne naniesione na materiały szklane. Jeśli ośrodek jest przezroczysty, to część fali przechodzi do jego wnętrza.
           
Proces odbicia zachodzi zgodnie z dwoma regułami:

1) promień padający i promień odbity leżą w jednej płaszczyźnie, prostopadłej do płaszczyzny granicznej;  w płaszczyźnie tej leży również promień załamany w przypadku gdy oba ośrodki są przezroczyste;

2) kąt padania równy jest kątowi odbicia. Oba kąty mierzone są względem prostopadłej, wystawionej w punkcie odbicia.

Załamanie fali świetlnej

Załamanie fali świetlnej

      Przechodząc do innego ośrodka fala zmienia swą prędkość, wskutek czego następuje zmiana kierunku jej rozchodzenia się. Kąt załamania b wiąże się z kątem padania a następującym prawem:

      

gdzie v1 oznacza prędkość fali w pierwszym ośrodku, v2 - jej prędkość w drugim ośrodku. Ponieważ prędkości są odwrotnie proporcjonalne do współczynnika załamania n (v = c/n), to prawo załamania zapisuje się zwykle w postaci:

      

      Z prawa załamania wynika, że światło przechodzące z ośrodka optycznie rzadszego do gęstszego (czyli gdy n1 n2 ) - jak na powyższym rysunku - to kąt b jest mniejszy od kąta a, co oznacza, iż promień świetlny ulega załamaniu ku prostopadłej wystawionej w punkcie załamania. I na odwrót: fala biegnąca z ośrodka optycznie gęstszego do rzadszego odchyla się od tej prostopadłej.

Całkowite odbicie wewnętrzne

      Niezwykle ważnym przypadkiem odbicia, które jednak wynika z prawa załamania, jest tzw. zjawisko całkowitego odbicia wewnętrznego. Występuje ono wtedy, gdy światło biegnie z ośrodka optycznie gęstszego (tzn. o większym współczynniku załamania) do rzadszego. Zwiększając kąt padania dochodzimy w pewnym momencie do stanu, gdy kąt załamania staje się kątem prostym: b = 90o. Wówczas promień załamany ślizga się po powierzchni granicznej. Dalsze zwiększanie kąta padania powoduje pełne odbicie od powierzchni granicznej, zgodnie z prawami odbicia. Kąt a0 , przy którym zaczyna się pojawiać odbicie, nazywa się kątem granicznym. Jego wartość określona jest oczywistą równością:

      sin a0 =

Najczęściej mamy do czynienia z sytuacją, gdy ośrodkiem zewnętrznym jest powietrze, dla którego n1 jest w przybliżeniu równe 1. Wówczas kąt graniczny wynosi:

      sin a0 =

gdzie przez n oznaczyliśmy współczynnik załamania ośrodka względem próżni.
           
P r z y k ł a d.   Współczynnik załamania wody wynosi ok. 1,33. Odpowiada mu kąt graniczny o wartości bliskiej 49o. Promienie wybiegające ze źródła Z zachowują się tak, jak

pokazano na rysunku. Promień oznaczony numerem 3 pada na powierzchnię graniczną pod kątem granicznym  49o i po wyjściu z wody ślizga się po jej powierzchni. Po nieznacznym przekroczeniu tej wartości kąta padania następuje odbicie (linia przerywana).
      Interesujące jest też zagadnienie odwrotne, gdy promienie biegną w odwrotnych kierunkach, a w punkcie Z znajduje się obserwator. Wówczas cała przestrzeń nad wodą zostaje zredukowana do stożka o kącie rozwarcia 2a0.

Światłowody

      Nowoczesnym wykorzystaniem zjawiska całkowitego odbicia wewnętrznego są światłowody (ogólniej: falowody). Są one sporządzone z przezroczystego materiału o kształcie cylindrycznym, którego współczynnik załamania jest większy niż otaczającego go płaszcza. Fala jest w pewien sposób uwięziona wewnątrz włókna. Porusza się w nim w ten sposób, że kolejno odbija się od ścian włókna, zakreślając tor w postaci zygzaku.

      Fale takie nie są jednorodne, lecz zmodulowane w odpowiedni sposób, dzięki czemu mogą być nośnikami ogromnej ilości informacji.

Zmiana polaryzacji przy odbiciu i załamaniu

      Zarówno odbiciu, jak i załamaniu fali świetlnej, towarzyszą zmiany jej polaryzacji. Normalne światło dzienne nie wykazuje określonej polaryzacji, co oznacza, że kierunki drgań wektora natężenia pola elektrycznego E (i związanego z nim wektora indukcji magnetycznej B) są przypadkowe, nie wykazując żadnego uporządkowania. W wyniku odbicia pojawia się częściowe uporządkowanie kierunków drgań. W fali odbitej dominuje kierunek prostopadły do płaszczyzny padania, w fali załamanej - kierunek równoległy do tej płaszczyzny.

      Dokładniejsze obliczenia pokazują, że polaryzacja fal: odbitej i załamanej może być pełna, o ile kąt między nimi wynosi 90o. W takim przypadku kąt załamania b = 90o - a  i wtedy sin b = cos a. Prawo załamania przybiera wówczas postać:

      tg a = n.

Prawo to, zwane prawem Brewstera, określa kąt padania, przy którym osiąga się całkowitą polaryzację fali odbitej i załamanej.
      Opisany tu proces polaryzowania fal dokonuje się samorzutnie w atmosferze ziemskiej, dzięki czemu docierające na ziemię światło słoneczne jest częściowo spolaryzowane. Jest to wykorzystywane przez niektóre zwierzęta do orientacji przestrzennej.

Powstawanie obrazów w zwierciadłach płaskich

      Zjawisko odbicia fal świetlnych leży u podstaw działania zwierciadeł. Każdy punkt, z którego wychodzą promienie świetlne, ma swój obraz, powstający na przecięciu promieni odbitych od zwierciadła. W przypadku zwierciadła płaskiego obraz P' punktu P (zwanego powstaje za zwierciadłem, w takiej samej odległości, jak punkt P. Punkt P nosi nazwę przedmiotu, zaś punkt P' - obrazu. Powstawanie obrazu ilustruje rysunek.

      Jeśli przedmiotem jest obiekt rozciągły, to wszystkie jego punkty posiadają własne obrazy, składające się na obraz całości, który jest wierną kopią przedmiotu. Jest tylko jedna różnica: zwierciadło zamienia lewą stronę na prawą i na odwrót.
 
 

Zwierciadła sferyczne

      Rozróżnia się dwa typy zwierciadeł sferycznych: wklęsłe (a) i wypukłe (b). Każde takie zwierciadło ma pewienpromień krzywizny R. Zwykle zakłada się, iż jest on na tyle duży, że zakrzywienie zwierciadła jest słabe. Warunek ten można spełnić automatycznie, jeśli założy się, że padające promienie biegną blisko osi zwierciadła, padając na nie pod małymi kątami. 

      Wiązka promieni równoległych do osi zwierciadła wklęsłego odbija się tak, że promienie odbite zbiegają się w jednym punkcie zwanym ogniskiem F zwierciadła. Punkt ten leży po tej stronie zwierciadła, co i środek jego krzywizny O - przed zwierciadłem. Odległość ogniska od wierzchołka zwierciadła nazywa się ogniskową. Należy zaznaczyć, że ognisko jest dobrze określone jedynie dla promieni przyosiowych; wiązka szeroka nie skupia się w jednym punkcie.

W przypadku zwierciadła wypukłego zarówno środek krzywizny, jak i ognisko, leżą za zwierciadłem.
      Wartość ogniskowej zwierciadła sferycznego równa jest połowie promienia:

      f = 

Konstrukcja obrazu w zwierciadle sferycznym

      Położenie obrazu (y) wiąże się z położeniem przedmiotu (x) równością, zwaną równaniem zwierciadła:

       + = ą 

Znak "plus" odnosi się do zwierciadła wklęsłego, znak " minus" - do zwierciadła wypukłego.
Położenie x jest zwykle liczba dodatnią, co oznacza, że przedmiot jest rzeczywisty i znajduje się przed zwierciadłem. W niektórych przypadkach (np. wtedy, gdy między przedmiotem a zwierciadłem znajduje się soczewka) przedmiot może być pozorny (wypada za zwierciadłem) i wówczas jego położenie x przyjmujemy za ujemne. Ta sama konwencja odnosi się do obrazu. Jego położenie y jest dodatnie wtedy, gdy obraz powstaje przed zwierciadłem. W przeciwnym razie (y 0), obraz jest pozorny.

Obraz każdego punktu przedmiotu powstaje w miejscu przecięcia się promieni wychodzących z tego punktu, po odbiciu od zwierciadła. Do znalezienia obrazu jednego punktu wystarczy naszkicować bieg dwóch promieni. Jednym z nich może być promień biegnący równolegle do osi zwierciadła (po odbiciu przechodzi przez ognisko),  drugim - promień przechodzący przez środek krzywizny (po odbiciu biegnie przeciwnie do promienia padającego). Można też jeden promień poprowadzić przez wierzchołek zwierciadła - po odbiciu biegnie symetrycznie względem osi.
      Stosunek wysokości obrazu i przedmiotu nazywa się powiększeniem liniowym (p). Z czysto geometrycznych rozważań wynika, że 

      p = 

(wartości bezwzględne zapewniają dodatniość p w przypadku obrazów pozornych).

P r z y k ł a d.   Rozważmy zwierciadło wklęsłe o promieniu krzywizny R = 40 cm. Niech przedmiot (o wysokości 5 cm) znajduje się w odległości x = 15 cm. Jego obraz powstaje w odległości y spełniającej równanie:  = . Wynika stąd, że y = -60 cm. Ujemna wartość oznacza, że obraz powstaje za zwierciadłem (jest więc obrazem pozornym), a jego powiększenie wynosi p = 4. W tym przypadku obraz jest prosty (ma ten sam zwrot, co i przedmiot). 


Soczewki

      Soczewką nazywa się fragment ośrodka przezroczystego, ograniczonego dwoma powierzchniami sferycznymi. Dla jej scharakteryzowania używa się trzech parametrów: dwóch promieni krzywizn powierzchni ograniczających (R1 i R2) oraz współczynnika załamania n ośrodka względem próżni. Linia łącząca środki krzywizn nazywa się osią optyczną soczewki.
      Pod względem kształtu soczewki można podzielić na 6 grup: (a) dwuwypukłe, (b) płasko-wypukłe, (c) wklęsło-wypukłe, (d) wypukło-wklęsłe, (e) płasko-wklęsłe i (f) dwuwklęsłe.

Przy rozwiązywaniu zadań z udziałem soczewek przyjmuje się uproszczony symbol na soczewkę, a mianowicie dwustronną strzałkę lub strzałkę z odwróconymi grotami.               

Ognisko i ogniskowa soczewki

      Promienie biegnące równolegle do osi soczewki i w niezbyt dużej od niej odległości po przejściu przez soczewkę tworzą wiązkę zbieżną do jednego punktu lub rozbieżną z jednego punktu. Punkt ten nazywamy ogniskiem soczewkiF.

W pierwszym przypadku mówimy o soczewce skupiającej (zbierającej), w drugim - o soczewce rozpraszającej. Każda soczewka może być skupiająca bądź rozpraszająca, zależnie od ośrodka, w którym jest umieszczona. W powietrzu skupiające są soczewki wypukłe (grubsze w środku niż na brzegach - (a), (b) i (c) ), zaś rozpraszającymi są soczewki wklęsłe ((d), (e) i (f)). 
      Każda soczewka posiada dwa ogniska, po jednym z każdej strony. Jeśli z obu stron soczewki jest taki sam ośrodek, to ogniska znajdują się symetrycznie.
      Odległość ogniska od środka soczewki nazywa się jej ogniskową f. Jej odwrotność określona jest wyrażeniem:
 
       =   ,

gdzie n0 oznacza współczynnik załamania ośrodka otaczającego soczewkę. W powietrzu jego wartość przyjmuje się za równą 1. 
      Tak zdefiniowana wartość może być zarówno dodatnie, jak i ujemna. Dla soczewek skupiających jej wartość jest dodatnia. Ujemna wartość oznacza, że soczewka jest rozpraszająca. Przy określaniu f przyjmuje się zasadę, że promień krzywizny powierzchni wklęsłej jest ujemny.

P r z y k ł a d.   Rozważmy soczewkę wypukło - wklęsłą (d), której promienie wynoszą: R1 = - 10 cm, R2 = - 20 cm,   n = 1,4.  Jej ogniskowa w powietrzu wynosi  f = [0,4 ( - 1/10 + 1/20)]-1  cm = - 50 cm. Jest to więc soczewka rozpraszająca. Jeśli tę samą soczewkę zanurzymy w cieczy o współczynniku załamania n0 = 1,6 , to f = [- 1/8 ( - 1/10 + 1/20)]-1 = 160 cm. W tym przypadku soczewka jest skupiająca. 

      Odwrotność ogniskowej nazywa się zdolnością skupiającą soczewki D. Jej jednostką jest dioptria (D), równa odwrotności metra. 

      Ogniskowa zależy od barwy światła, gdyż różnym barwom odpowiadają na ogół różne wartości współczynnika załamania. Najbardziej załamują się promienie fioletowe, najmniej - czerwone. 

Ogniskowa dla światła fioletowego jest więc najmniejsza, dla światła czerwonego - największa. Inne barwy mają pośrednie wartości ogniskowych.

Równanie soczewki

      Położenie przedmiotu (x) i obrazu (y) związane są równością:

       + 

Konwencja dotycząca znaków jest tu następująca:
x 0            przedmiot znajduje się przed soczewką, po tej jej stronie, skąd dochodzą  promienie świetlne;
x 0            przedmiot znajduje się za soczewką (sytuacja taka ma miejsce wtedy, gdy przedmiotem jest obraz dawany przez inną soczewkę lub zwierciadło);
y 0            obraz powstaje za soczewką (jest wtedy obrazem rzeczywistym);
y 0            obraz powstaje przed soczewką (jest wtedy obrazem pozornym).

P r z y k ł a d .   Jeśli przed soczewka o ogniskowej f= 20 cm umieścimy przedmiot w odległości x = 15 cm od niej, to obraz powstanie w punkcie y = (20 . 15)/(15 - 20) cm = - 60 cm .  Punkt ten znajduje się z lewej strony soczewki; obraz jest obrazem pozornym.


Lupa

      Schemat przedstawiony na powyższym rysunku obrazuje działanie soczewki skupiającej jako lupy. Ustawiamy ja w takiej odległości od przedmiotu, by obraz utworzył się w odległości dobrego widzenia (d), czyli ok. 25 cm. W takim przypadku powiększenie lupy wynosi

      p =  =   = 1 + 

Ogólny wzór na powiększenie jest prawdziwy dla każdej soczewki.

Luneta

      Luneta składa się dwóch soczewek skupiających ustawionych tak, by ich ogniska się pokrywały. Soczewka od strony przedmiotu nazywa się obiektywem, zaś od strony oka - okularem. Bieg promieni w lunecie przedstawiony jest na rysunku. Ponieważ luneta służy do oglądania przedmiotów odległych, toteż obraz dawany przez obiektyw jest rzeczywisty. Powstaje on przed okularem, tuż za jego ogniskiem, stając się przedmiotem dla okularu. Okular powoduje powstanie kolejnego, ostatecznego już obrazu. Jest to obraz pozorny i odwrócony.

Powiększenie kątowe lunety dane jest wzorem:

      P = 

Powiększenie można zwiększyć przez zwiększenie ogniskowej obiektywu lub zmniejszenie ogniskowej okularu. Dodatkową funkcja lunety jest to, iż do jej obiektywu wchodzi znacznie większy strumień światła niż do źrenicy oka. Dzięki temu możliwe jest oglądanie obiektów świecących słabo, w sposób nie dostrzegalny dla oka. 

Mikroskop

      Mikroskop służy do obserwacji obiektów bardzo małych, niewidocznych z tego powodu dla oka. Składa się zasadniczo z dwóch soczewek: obiektywu i okularu, o bardzo małych ogniskowych. Odległość l tych soczewek jest większa od sumy ogniskowych: l f1 + f2
      Obserwowany przedmiot umieszcza się tuż przed obiektywem, w odległości nieco większej niż f1. Dzięki temu powstaje obraz rzeczywisty i odwrócony. Jest on następnie przedmiotem dla okularu, który wytwarza następny obraz, który widzimy okiem przyłożonym blisko okularu. Jego obraz powstaje w odległości dobrego widzenia d

Powiększenie (wypadkowe) mikroskopu jest iloczynem powiększeń dawanych przez obiektyw i okular. Wynoszą one odpowiednio: p1 =  oraz p2 = . Tak więc

      p = 

Powiększenie mikroskopu może osiągać duże wartości, nierzadko kilka tysięcy. Różne wady soczewek powodują, że przy wyższych powiększeniach pojawiają się nieostrości i obraz staje się zamazany.