+ Pokaż spis treści

Liczby wymierne

Liczbę W nazywamy wymierną, jeśli można ją przedstawić w postaci ułamka , gdzie  i .

Zbiór liczb wymiernych oznacza się symbolem W (w literaturze naukowej liczby wymierne oznacza się symbolem Q). Zatem:

Każdą liczbę wymierną można przedstawić w postaci ułamka na nieskończenie wiele sposobów, ponieważ:

Ponieważ każda liczba całkowita: , zatem  . Wynika stąd, że zbiór liczb całkowitych jest podzbiorem zbioru liczb wymiernych:  .


Rozwinięcie dziesiętne liczby wymiernej

Każdą liczbę wymierną można przedstawić w postaci ułamka dziesiętnego. Przedstawienie takie nazywamy rozwinięciem dziesiętnym liczby.


Rozwinięcie dziesiętne liczby wymiernej jest:

  1. Ułamkiem skończonym,
  2. Ułamkiem nieskończonym okresowym

W rozwinięciu dziesiętnym okresowym od pewnego miejsca powtarza się pewna cyfra lub grupa cyfr np. 0,333... ; 0,857142857142... ; 0,4166... .Tę cyfrę lub grupę cyfr nazywamy okresem ułamka. W zapisie symbolicznym ułamka okresowego jego okres zapisujemy tylko raz ujmując go w nawias zwykły np.:


0,333... = 0,(3)
0,857142857142... = 0,(857142)
0,4166... = 0,41(6)


Jeżeli w rozkładzie na czynniki pierwsze mianownika ułamka nieskracalnego występują tylko liczby 2 lub 5, to ułamek ten ma rozwinięcie dziesiętne skończone.

Jeżeli w rozkładzie na czynniki pierwsze mianownika ułamka nieskracalnego występuje co najmniej jedna liczba różna od i 2 różna od 5, to ułamek ten ma rozwinięcie dziesiętne nieskończone okresowe.


Ułamki zwykłe można zamienić na ułamki dziesiętne wykorzystując dwa sposoby:

  1. Rozszerza się ułamek tak, aby w mianowniku otrzymać potęgę liczby 10, np.

    Sposób ten dotyczy wyłącznie ułamków o rozwinięciu dziesiętnym skończonym.

  2. Dzieli się licznik ułamka przez jego mianownik, np.


    Sposób ten obejmuje oba typy rozwinięcia dziesiętnego ułamków.


Wykonalność działań w zbiorze liczb wymiernych


W zbiorze liczb wymiernych wykonalne jest dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie, za wyjątkiem dzielenia przez zero.