+ Pokaż spis treści

Liczby naturalne


Liczby 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...  nazywamy liczbami naturalnymi.

Za pomocą liczb naturalnych określa się liczbę elementów zbioru.

Liczby naturalne oznaczamy symbolem .  Zbiór liczb naturalnych można przedstawić w postaci:



Zbiór liczb naturalnych jest zbiorem nieskończonym.  W zbiorze tym istnieje liczba najmniejsza n = 0, nie ma liczby największej.

Podzbiorem liczb naturalnych jest zbiór liczb naturalnych dodatnich oznaczany symbolem N+:




Cechy podzielności liczb naturalnych

Liczba  jest podzielna przez liczbę , jeśli iloraz  jest liczbą naturalną.

Istnieją pewne cechy, które pozwalają stwierdzić, czy dowolna liczba naturalna jest podzielna przez 2, 3, 4, 5 itd.
Cechy podzielności przedstawia tabela:

Dzielnik Warunek podzielności
2 Ostatnią cyfrą liczby jest 0, 2, 4, 6 lub 8
3 Suma cyfr liczby dzieli się przez 3
4 Liczba wyrażona dwiema ostatnimi cyframi danej liczby dzieli się przez 4
5 Ostatnią cyfrą liczby jest 0 lub 5
6 Liczba jest podzielna przez 2 i przez 3
8 Liczba wyrażona trzema ostatnimi cyframi danej liczby dzieli się przez 8
9 Suma cyfr liczby dzieli się przez 9
10 Ostatnią cyfrą liczby jest 0



Liczby parzyste i liczby nieparzyste

Liczbę naturalną n nazywamy parzystą wtedy i tylko wtedy, gdy jest podzielna przez 2; w przeciwnym wypadku mówimy, że n jest liczbą nieparzystą (tzn. liczbą, która nie jest podzielna przez 2).


Liczby pierwsze i złożone

Wśród liczb naturalnych ważną rolę odgrywają liczby pierwsze.

Liczbą pierwszą nazywamy każdą liczbę naturalną większą od 1 (n > 1) , której jedynymi dzielnikami są liczby 1 oraz n.

Istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych. Są nimi np. 2, 3, 5, 7, 11, 13, ...Tylko jedna liczba pierwsza - 2 - jest parzysta, pozostałe są nieparzyste.

Liczbą złożoną nazywamy każdą liczbę naturalną większą od 1 (n > 1), która nie jest liczbą pierwszą (ma więcej niż dwa dzielniki).

Z powyższych definicji wynika, że liczby 0 i 1 nie są liczbami pierwszymi i nie są liczbami złożonymi.


Rozkład liczby naturalnej na czynniki pierwsze

Rozkładem liczby naturalnej na czynniki pierwsze nazywamy przedstawienie tej liczby w postaci iloczynu liczb pierwszych..

Każdą liczbę naturalną n > 1 można w jeden tylko sposób przedstawić w postaci iloczynu liczb pierwszych
(z dokładnością do kolejności ich występowania w tym iloczynie).

Przykład:

Rozłóż liczbę 624 na czynniki pierwsze.

Rozwiązanie:

624 2
312 2
156 2
78 2
39 3
13 13
1  


Liczbę 624 można przedstawić jako iloczyn:

624 = 2 . 2 . 2 . 2 . 3 . 13



Największy wspólny dzielnik i najmniejsza wspólna wielokrotność

Największym wspólnym dzielnikiem liczb , z których przynajmniej jedna jest różna od zera, nazywamy największą z liczb naturalnych, przez którą dzieli się bez reszty każda z liczb m i n i oznaczamy go symbolem NWD(m,n).

Najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb , różnych od zera, nazywamy najmniejszą liczbę naturalną różną od zera, która dzieli się bez reszty przez każdą z liczb m i n i oznaczamy ją symbolem NWW(n,m).


Dla dowolnych liczb  zachodzi równość:

NWD(m,n) . NWW(m,n) = m . n


Aby znaleźć największy wspólny dzielnik liczb, rozkładamy je na czynniki pierwsze, wybieramy wspólne czynniki i mnożymy je przez siebie.

Aby znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność dwóch liczb, rozkładamy je na czynniki pierwsze, a następnie pierwszą z nich mnożymy przez te czynniki występujące w rozkładzie drugiej, które nie występowały w rozkładzie pierwszej (lub odwrotnie - liczbę drugą mnożymy przez te czynniki pierwszej, które nie są jednocześnie czynnikami drugiej).

Przykład:

Znajdź NWD i NWW liczb 136 i 510.

Rozwiązanie:

136 2
68 2
34 2
17 17
1  
510 2
255 3
85 5
17 17
1  


W obu rozkładach występują liczby: 2 i 17, więc:

NWD(136,510) = 2 . 17 . 34


W rozkładzie drugiej liczby są czynniki 3 i 5, które nie występują w rozkładzie pierwszej liczby, więc

NWW(136, 510) = 136 . 3 . 5 = 2040


lub

NWW(136,510) = 510 . 2 . 2 = 2040



Liczby względnie pierwsze

Liczby  nazywamy względnie pierwszymi wtedy i tylko wtedy, gdy NWD(m, n) = 1.