+ Pokaż spis treści

Jednomiany

Jednomianem nazywamy wyrażenie algebraiczne, które jest stałą (liczbą) lub zmienną (literą) lub iloczynem stałych i zmiennych.

Np.:

Jednomian nazywamy uporządkowanym, jeśli najpierw występuje znak, potem czynnik liczbowy, a następnie czynniki literowe w kolejności alfabetycznej.

Np.  jednomiany nieuporządkowane:     Odpowiednio te same jednomiany po uporządkowaniu przybierają postać:

W jednomianie uporządkowanym liczbę występującą na jego początku nazywamy współczynnikiem liczbowym.
Gdy jednomian uporządkowany zaczyna się od zmiennej, to jego współczynnik liczbowy jest równy 1

Sumy algebraiczne


Sumą algebraiczną nazywamy wyrażenie, które powstało w wyniku dodawania lub odejmowania jednomianów
 
Np.  - 
 
Jednomiany tworzące sumę algebraiczną nazywamy wyrazami tej sumy.

Wyrazy sumy algebraicznej (jednomiany) nazywamy wyrazami podobnymi, jeżeli różnią się co najwyżej współczynnikiem liczbowym. Wyrazy podobne zawierają takie same zmienne w takich samych potęgach tzn. mają identyczne czynniki literowe.

W celu uproszczenia postaci sumy algebraicznej przeprowadza się, o ile jest to możliwe, redukcję wyrazów podobnych tzn. zastępuje się wyrazy podobne ich sumą.
 
Np.
-4xyz + 5x + 6xy3 - 3xy - 15x2 + 4xyz + 10xy - 14x - 10x2 + 2xy3 = -9x + 7xy - 25x2 + 8xy3

Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych

Dodawanie sumy algebraicznej do danego wyrażenia polega na dopisaniu do tego wyrażenia kolejnych wyrazów sumy z ich znakami. Na koniec należy przeprowadzić redukcję wyrazów podobnych.



Np. Dodajemy sumę  do wyrażenia
Otrzymujemy:





Odejmowanie sumy algebraicznej od danego wyrażenia polega na dopisaniu do tego wyrażenia kolejnych wyrazów sumy z przeciwnymi znakami. Na koniec należy przeprowadzić redukcję wyrazów podobnych.



Np. od wyrażenia  odejmujemy sumę
I otrzymujemy:





Mnożenie sumy algebraicznej przez jednomian

Mnożenie sumy algebraicznej przez jednomian polega na pomnożeniu każdego wyrazu sumy przez ten jednomian.



Np. Mnożymy sumę algebraiczną  przez jednomian . Otrzymujemy:




Mnożenie sum algebraicznych

Mnożenie dwóch sum algebraicznych polega na pomnożeniu każdego wyrazu pierwszej sumy przez każdy wyraz drugiej sumy i dodaniu otrzymanych iloczynów. Na koniec należy przeprowadzić redukcję wyrazów podobnych.




Np. Mnożymy dwie sumy algebraiczne  oraz  . Otrzymujemy:





Rozkładanie sum algebraicznych na czynniki

Rozłożenie sumy algebraicznej na czynniki polega na przedstawieniu jej w postaci iloczynu co najmniej dwóch czynników, którymi mogą być jednomiany lub sumy algebraiczne.

Można zastosować trzy sposoby przy dokonywaniu takiego rozkładu:
  1. Wyłączenie wspólnego czynnika poza nawias.

    W metodzie tej korzysta się z prawa rozdzielności mnożenia względem dodawania:


    Gdy zauważymy, że we wszystkich wyrazach sumy występuje ten sam czynnik, możemy wyłączyć go przed nawias.

    Np.:
  2. Grupowanie wyrazów i wyłączanie wspólnego czynnika poza nawias.

    Nie zawsze we wszystkich wyrazach sumy algebraicznej występuje ten sam czynnik. Czasami można jednak zauważyć, że w pewnych grupach wyrazów występuje ten sam czynnik. Wówczas dzielimy wyrazy sumy na takie grupy i w każdej z nich wyłączamy ich wspólny czynnik przed nawias.

    Np.:
  3. Wykorzystanie wzorów skróconego mnożenia.

    W rozkładaniu sum algebraicznych na czynniki pomocne mogą być wzory skróconego mnożenia.

    Np.:


Wybór metody rozkładu sumy algebraicznej na czynniki zależy od konkretnego przykładu. W jednym przykładzie można korzystać z kilku metod.

Np.: