Granice i ciągłość funkcji

Przed wprowadzeniem definicji granicy funkcji zdefiniujmy pewne niezbędne pojęcia.
 
Otoczenie i sąsiedztwo punktu
 
Jeśli dana jest funkcja , gdzie  i , to dowolny ciąg , którego każdy wyraz należy do dziedziny funkcji f nazywamy ciągiem argumentów funkcji , natomiast ciąg  nazywamy ciągiem wartości funkcji  odpowiadającym ciągowi .
 
Sąsiedztwo punktu

Sąsiedztwem o promieniu  punktu  nazywamy sumę przedziałów  i oznaczamy symbolem .
            .
 
Otoczenie punktu

Otoczeniem o promieniu  punktu  nazywamy przedział otwarty  i oznaczamy symbolem .
            .
 
Granica funkcji
 
Granica funkcji w punkcie

Istnieją dwie równoważne definicje granicy funkcji  - definicje Heinego i definicje Cauchy'ego.
 
Definicja Heinego

Liczbę  g nazywamy granicą funkcji  w punkcie , wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu argumentów funkcji , gdzie , o wyrazach , zbieżnego do , odpowiadający mu ciąg wartości funkcji  jest zbieżny do g.

 
Definicja Cauchy'ego

Liczbę  g nazywamy granicą funkcji  w punkcie , wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby  istnieje taka liczba , że dla każdego  spełniony jest warunek  .
.
 
Granica niewłaściwa funkcji w punkcie (definicja Heinego)

Funkcja  ma w punkcie  granicę niewłaściwą  wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu argumentów funkcji , gdzie , o wyrazach , zbieżnego do , odpowiadający mu ciąg wartości funkcji  jest rozbieżny do .


 
Granica funkcji w punkcie niewłaściwym - w nieskończoności (definicje Heinego)
 
Granica właściwa

Funkcja  ma w   granicę równą g, wtedy i tylko wtedy, dla każdego ciągu argumentów funkcji , gdzie , rozbieżnego do , odpowiadający mu ciąg wartości funkcji  jest zbieżny do g.

 
Granice niewłaściwe

Funkcja  ma w  granicę niewłaściwą  wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu argumentów funkcji , gdzie , rozbieżnego do , odpowiadający mu ciąg wartości funkcji  jest rozbieżny do .

Funkcja  ma w  granicę niewłaściwą  wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu argumentów funkcji , gdzie , rozbieżnego do  odpowiadający mu ciąg wartości funkcji  jest rozbieżny do .


Granice jednostronne funkcji (definicje Heinego)
 
Granica lewostronna właściwa
Liczbę g nazywamy granicą lewostronną funkcji  w punkcie  wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu argumentów funkcji , gdzie , o wyrazach mniejszych od , zbieżnego do , odpowiadający mu ciąg wartości funkcji  jest zbieżny do g.


Granica prawostronna właściwa
Liczbę g nazywamy granicą prawostronną funkcji  w punkcie  wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu argumentów funkcji , gdzie , o wyrazach większych od , zbieżnego do , odpowiadający mu ciąg wartości funkcji jest zbieżny do g.

 
Granica lewostronna niewłaściwa
Funkcja  ma w punkcie  lewostronną granicę niewłaściwą  wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu argumentów funkcji , gdzie , o wyrazach mniejszych od , zbieżnego do , odpowiadający mu ciąg wartości funkcji  jest rozbieżny do .

 
Granica prawostronna niewłaściwa
Funkcja  ma w punkcie  prawostronną granicę niewłaściwą  wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu argumentów funkcji , gdzie , o wyrazach większych od , zbieżnego do ,  odpowiadający mu ciąg wartości funkcji  jest rozbieżny do .

 
Istnienie granicy funkcji w punkcie

Funkcja , określona w pewnym sąsiedztwie punktu , ma w tym punkcie granicę wtedy i tylko wtedy, gdy ma w tym punkcie obie granice jednostronne i granice te są równe:

Jeśli natomiast , to funkcja nie ma granicy w punkcie .
 
Przykład:
Sprawdź, czy funkcje a) b) mają granice w punkcie .
 
Rozwiązanie:
Należy obliczyć granice jednostronne obu funkcji w punkcie .

1. ,     
   Ponieważ , więc dana funkcja nie ma granicy w punkcie .
2. ,    .
   Ponieważ , więc dana funkcja ma granicę w punkcie .:
   .

Działania na granicach funkcji

Jeśli funkcje i mają w punkcie  granice równe odpowiednio i  , to istnieją w punkcie  granice funkcji , przy czym ta ostatnia istnieje przy dodatkowym założeniu, że , i zachodzą związki:

1. 
2. 
3. 
4. 
5. ,  gdzie >.

Jeżeli , to .
Jeżeli  i  dla , to .
Jeżeli  i  dla , to.
 
Reguła de l'Hospitala

Jeśli funkcje i  są określone i różniczkowalne w sąsiedztwie punktu , , oraz zachodzi jeden z następujących warunków:
  lub     i 
i istnieje granica: , to istnieje granica , przy czym:   .

Granice wybranych funkcji

1. , gdzie .
2. .
3. , gdzie  jest wielomianem.
4. , gdzie  i  są wielomianami i .
5.  dla .
6. ,    .
7. .
8. .
9. .
10. .
11. Jeśli , to:
    

Przykład:

Oblicz granice:

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
10. 

 
Rozwiązanie:

1. Granicą wielomianu  w punkcie  jest wartość tego wielomianu w punkcie (punkt 3 "Granice wybranych funkcji"), więc:
   
    
2. Granica wielomianu w nieskończoności zależy wyłącznie od tego, czy , czy  oraz od wyrazu wielomianu zawierającego najwyższą potęgę zmiennej (od potęgi - parzysta, czy nieparzysta oraz od znaku współczynnika). W przykładzie wyrazem z najwyższą potęgą jest  (współczynnik dodatni, potęga nieparzysta, ), więc:
   .
    
3. Przed policzeniem granicy funkcji wymiernej w punkcie  należy obliczyć wartość wielomianu występującego w mianowniku tej funkcji dla :
   .
   Gdy wartość mianownika dla  jest różna od zera, to granicą funkcji wymiernej dla  jest wartość tej funkcji dla  (punkt 4 "Granice wybranych funkcji"), więc:
   .
    
4. Podobnie jak w przykładzie c) należy obliczyć wartość mianownika funkcji dla :
   .
    
   Ponieważ dla  mianownik jest zerem, trzeba obliczyć wartość licznika funkcji dla : .
    
   Wartości licznika i mianownika dla  są równe zero, więc w celu obliczenia tej granicy należy rozłożyć licznik i mianownik na czynniki. W liczniku występuje wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów, w mianowniku trzeba wyznaczyć pierwiastki:
   .
   Otrzymujemy:
   .
   W mianowniku tego wyrażenia dla  otrzymujemy wartość , a więc granica jest wartością wyrażenia dla :
   .
    
5. Należy obliczyć granicę funkcji wymiernej w nieskończoności. Zależy ona od stopni mianownika i licznika. W danej funkcji stopień licznika (siódmy) jest wyższy od stopnia mianownika (drugi), więc granicą będzie  lub . Znak zależy od różnicy stopni licznika i mianownika (parzysta, czy nieparzysta), od znaku współczynników przy najwyższych potęgach licznika i mianownika oraz od granicy ( , czy ).
   W danej funkcji różnica stopni jest nieparzysta, współczynniki przy najwyższych potęgach są dodatnie, , więc:
   .
    
6. Podobnie jak poprzednio należy obliczyć granicę funkcji wymiernej w nieskończoności. Stopnie licznika jest niższy od stopnia mianownika, więc granica w nieskończoności jest równa zero:
   .
    
7. Podobnie jak poprzednio należy obliczyć granicę funkcji wymiernej w nieskończoności. Stopnie licznika i mianownika są takie same, więc granica w nieskończoności jest równa ilorazowi współczynników przy najwyższych potęgach licznika i mianownika:
   .
    
8. Dla  licznik i mianownik danej funkcji są równe zero. Należy więc najpierw przekształcić wzór danej funkcji mnożąc licznik i mianownik przez , aby móc skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia:
   
   Dla  mianownik powstałego wyrażenia jest równy , więc granicą funkcji dla  jest wartość tego wyrażenia dla :
   .
    
9. W celu obliczenia tej granicy należy funkcję pomnożyć i podzielić przez wyrażenie , aby skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia:
   
    

Dla licznik i mianownik danej funkcji są równe zero. Należy więc najpierw przekształcić wzór danej funkcji korzystając ze wzoru na różnice cosinusów:

Wiadomo, że , więc:

 

Asymptoty

Asymptota ukośna

Prosta o równaniu , gdzie , jest asymptotą ukośną prawostronną (lewostronną) wykresu funkcji , jeżeli: 

. 
Wykres funkcji  ma asymptotę ukośną prawostronną (lewostronną), jeśli spełnione są warunki

1.  (lub ),
2.   (lub ),
3.    (lub .

Jeśli co najmniej jedna z granic (lub ),    
(lub > nie istnieje lub jest niewłaściwa, to wykres funkcji  nie ma asymptoty ukośnej prawostronnej (lewostronnej).


 
Asymptota pozioma
 
Prosta  jest asymptotą poziomą prawostronną (lewostronną) wykresu funkcji  , jeśli:
   (lub  , gdzie .
 
Jeśli prosta jest zarówno asymptotą poziomą lewostronną i prawostronną, to nazywamy ją asymptotą poziomą obustronną.
 
Asymptota pozioma jest szczególnym przypadkiem asymptoty ukośnej dla .


Asymptota pionowa
 
Prosta o równaniu  jest asymptotą pionową prawostronną wykresu funkcji , jeśli:
  lub .
 
Prosta o równaniu  jest asymptotą pionową lewostronną wykresu funkcji , jeśli:
  lub  .
 
Prosta o równaniu  jest asymptotą pionową obustronną wykresu funkcji , jeśli jest jednocześnie asymptotą lewostronną i prawostronną tego wykresu.


 
Przykład:
Wyznacz asymptoty wykresów funkcji:  
a)  ,   b)  .
 
Rozwiązanie:
a) Należy wyznaczyć dziedzinę funkcji:  . Można się więc spodziewać, ż funkcja ma asymptoty pionowe  i . Obliczymy granice jednostronne funkcji dla  i .
  oraz   .
 
Wykres funkcji ma asymptotę pionową obustronną .
  oraz   .
 
Wykres funkcji ma asymptotę pionową obustronną .
 
W celu zbadania istnienia granicy ukośnej lub poziomej należy obliczyć granice funkcji w nieskończoności:
   oraz   .
 
Wykres funkcji ma więc asymptotę poziomą obustronną .
Odp. Asymptotami wykresu funkcji  są proste:
      1. Asymptoty pionowe obustronne:
         a) ,
         b) ,
      2. Asymptota pozioma obustronna:  .
b) W celu wyznaczenia dziedziny funkcji należy rozłożyć jej mianownik na czynniki:
.
Dziedziną funkcji jest więc zbiór:  i można się spodziewać asymptot pionowych  oraz . Obliczymy granice jednostronne:
 
   oraz   .
 
Wykres funkcji ma asymptotę pionową obustronną .
 
Obliczymy granice jednostronne danej funkcji dla . Dla  licznik i mianownik danej funkcji są równe zero. Należy więc rozłożyć licznik funkcji na czynniki, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia"
   oraz   .
 
Wynika stąd, że funkcja nie ma asymptoty pionowej .
 
W celu zbadania istnienia granicy ukośnej lub poziomej należy obliczyć granice funkcji w nieskończoności:
   oraz   .
Funkcja może mieć asymptotę ukośną. Trzeba obliczyć granice:
  oraz  .
A następnie:

Analogicznie:

Wykres funkcji ma więc asymptotę ukośną obustronną .
 
Odp. Asymptotami wykresu funkcji  są proste:
      1. Asymptota pionowa obustronna:
         ,
      2. Asymptota ukośna obustronna:
         .

Ciągłość funkcji

Funkcja ciągła w punkcie

Funkcję  nazywamy funkcją ciągłą w punkcie  wtedy i tylko wtedy, gdy 
, czyli:
1. funkcja  ma w punkcie  granicę ,
2. granica  jest równa wartości funkcji w punkcie  ().
 
Nie bada się ciągłości funkcji w punktach, które nie należą do dziedziny funkcji.
 
W celu zbadania ciągłości funkcji  w punkcie  należy:
 
1. Obliczyć wartość funkcji w punkcie  - ,
2. Obliczyć granicę funkcji w punkcie -  lub granicę prawostronną i lewostronną funkcji w punkcie ,
3. Sprawdzić, czy zachodzi równość   lub .
 
Funkcja ciągła w zbiorze

Funkcję  nazywamy ciągłą w przedziale , jeżeli jest ciągła w każdym punkcie tego przedziału.
 
Funkcja  jest ciągła w przedziale  wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągła w przedziale  oraz  i  .
 
Funkcję nazywamy ciągłą w całej dziedzinie (krótko ciągłą), jeśli jest ciągła w każdym punkcie należącym do dziedziny.
 
Wykres funkcji określonej na przedziale i ciągłej w tym przedziale jest linią ciągłą tzn. nie występują w nim przerwy.
 
Funkcjami ciągłymi w swoich dziedzinach są m.in. funkcje:

1. potęgowe,
2. wielomiany,
3. wymierne,
4. wykładnicze,
5. logarytmiczne,
6. trygonometryczne.

 
Własności funkcji ciągłych
 
Działania arytmetyczne na funkcjach ciągłych

Jeśli funkcje  i  są ciągłe w punkcie , to funkcje , o ile tylko  również są ciągłe w punkcie .
 
Ciągłość funkcji odwrotnej

Funkcja odwrotna do funkcji  ciągłej i rosnącej (malejącej) w przedziale  jest ciągła i rosnąca (malejąca) w przedziale .
 
Ciągłość funkcji złożonej

Funkcja złożona z funkcji ciągłych w punkcie  jest ciągła w punkcie .
 
Przyjmowanie wartości najmniejszej i największej przez funkcję ciągłą (tw. Weierstrassa)

Jeśli funkcja  jest ciągła w przedziale domkniętym , to jest w nim ograniczona i w pewnym punkcie  tego przedziału przyjmuje wartość najmniejszą, oraz w pewnym punkcie  tego przedziału przyjmuje wartość największą.
 
Przyjmowanie wartości pośredniej przez funkcję ciągłą (tw. Darboux)

Funkcja  ciągła w przedziale domkniętym  przyjmuje wszystkie wartości pośrednie między wartością najmniejszą i największa tej funkcji w przedziale .
W szczególności, jeśli <, to funkcja  ma co najmniej jedno miejsce zerowe w tym przedziale.
 
Przykład:
Dla jakich wartości parametru  Funkcja:

jest ciągła w zbiorze liczb rzeczywistych.
 
Rozwiązanie:
Funkcje  oraz  są ciągłe w zbiorze liczb rzeczywistych, więc ich iloraz jest funkcją ciągłą dla wszystkich . Wynika stąd, że należy zbadać ciągłość danej funkcji w punkcie . W tym celu obliczymy granicę:
.
Aby funkcja była ciągła w punkcie  musi być spełniony warunek: , czyli 
.
Odp. Dana funkcja jest ciągła w zbiorze liczb rzeczywistych dla .