Granice i ciągłość funkcji
Jesteś tu: Baza wiedzy / Matematyka / Analiza matematyczna / Granice i ciągłość funkcji
Przed wprowadzeniem definicji granicy funkcji zdefiniujmy pewne niezbędne pojęcia.
Otoczenie i sąsiedztwo punktu
Jeśli dana jest funkcja








Sąsiedztwo punktu
Sąsiedztwem o promieniu







Otoczenie punktu
Otoczeniem o promieniu







Granica funkcji
Granica funkcji w punkcie
Istnieją dwie równoważne definicje granicy funkcji - definicje Heinego i definicje Cauchy'ego.
Definicja Heinego
Liczbę g nazywamy granicą funkcji








Definicja Cauchy'ego
Liczbę g nazywamy granicą funkcji







Granica niewłaściwa funkcji w punkcie (definicja Heinego)
Funkcja











Granica funkcji w punkcie niewłaściwym - w nieskończoności (definicje Heinego)
Granica właściwa
Funkcja







Granice niewłaściwe
Funkcja









Funkcja









Granice jednostronne funkcji (definicje Heinego)
Granica lewostronna właściwa
Liczbę g nazywamy granicą lewostronną funkcji








Granica prawostronna właściwa
Liczbę g nazywamy granicą prawostronną funkcji








Granica lewostronna niewłaściwa
Funkcja










Granica prawostronna niewłaściwa
Funkcja










Istnienie granicy funkcji w punkcie
Funkcja



Jeśli natomiast


Przykład:
Sprawdź, czy funkcje a)



Rozwiązanie:
Należy obliczyć granice jednostronne obu funkcji w punkcie

,
Ponieważ, więc dana funkcja nie ma granicy w punkcie
.
,
.
Ponieważ, więc dana funkcja ma granicę w punkcie
.:
.
Działania na granicach funkcji
Jeśli funkcje








, gdzie >
.
Jeżeli


Jeżeli




Jeżeli




Reguła de l'Hospitala
Jeśli funkcje







i istnieje granica:




Granice wybranych funkcji
, gdzie
.
.
, gdzie
jest wielomianem.
, gdzie
i
są wielomianami i
.
dla
.
,
.
.
.
.
.
- Jeśli
, to:
Przykład:
Oblicz granice:
Rozwiązanie:
- Granicą wielomianu
w punkcie
jest wartość tego wielomianu w punkcie
(punkt 3 "Granice wybranych funkcji"), więc:
- Granica wielomianu w nieskończoności zależy wyłącznie od tego, czy
, czy
oraz od wyrazu wielomianu zawierającego najwyższą potęgę zmiennej (od potęgi - parzysta, czy nieparzysta oraz od znaku współczynnika). W przykładzie wyrazem z najwyższą potęgą jest
(współczynnik dodatni, potęga nieparzysta,
), więc:
.
- Przed policzeniem granicy funkcji wymiernej w punkcie
należy obliczyć wartość wielomianu występującego w mianowniku tej funkcji dla
:
.
Gdy wartość mianownika dlajest różna od zera, to granicą funkcji wymiernej dla
jest wartość tej funkcji dla
(punkt 4 "Granice wybranych funkcji"), więc:
.
- Podobnie jak w przykładzie c) należy obliczyć wartość mianownika funkcji dla
:
.
Ponieważ dlamianownik jest zerem, trzeba obliczyć wartość licznika funkcji dla
:
.
Wartości licznika i mianownika dlasą równe zero, więc w celu obliczenia tej granicy należy rozłożyć licznik i mianownik na czynniki. W liczniku występuje wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów, w mianowniku trzeba wyznaczyć pierwiastki:
.
Otrzymujemy:.
W mianowniku tego wyrażenia dlaotrzymujemy wartość
, a więc granica jest wartością wyrażenia dla
:
.
- Należy obliczyć granicę funkcji wymiernej w nieskończoności. Zależy ona od stopni mianownika i licznika. W danej funkcji stopień licznika (siódmy) jest wyższy od stopnia mianownika (drugi), więc granicą będzie
lub
. Znak zależy od różnicy stopni licznika i mianownika (parzysta, czy nieparzysta), od znaku współczynników przy najwyższych potęgach licznika i mianownika oraz od granicy (
, czy
).
W danej funkcji różnica stopni jest nieparzysta, współczynniki przy najwyższych potęgach są dodatnie,, więc:
.
- Podobnie jak poprzednio należy obliczyć granicę funkcji wymiernej w nieskończoności. Stopnie licznika jest niższy od stopnia mianownika, więc granica w nieskończoności jest równa zero:
.
- Podobnie jak poprzednio należy obliczyć granicę funkcji wymiernej w nieskończoności. Stopnie licznika i mianownika są takie same, więc granica w nieskończoności jest równa ilorazowi współczynników przy najwyższych potęgach licznika i mianownika:
.
- Dla
licznik i mianownik danej funkcji są równe zero. Należy więc najpierw przekształcić wzór danej funkcji mnożąc licznik i mianownik przez
, aby móc skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia:
Dlamianownik powstałego wyrażenia jest równy
, więc granicą funkcji dla
jest wartość tego wyrażenia dla
:
.
- W celu obliczenia tej granicy należy funkcję pomnożyć i podzielić przez wyrażenie
, aby skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia:


Wiadomo, że


Asymptoty
Asymptota ukośna
Prosta o równaniu





Wykres funkcji

(lub
),
(lub
),
(lub
.
Jeśli co najmniej jedna z granic



(lub



Asymptota pozioma
Prosta





Jeśli prosta

Asymptota pozioma jest szczególnym przypadkiem asymptoty ukośnej dla


Asymptota pionowa
Prosta o równaniu




Prosta o równaniu




Prosta o równaniu



Przykład:
Wyznacz asymptoty wykresów funkcji:
a)


Rozwiązanie:
a) Należy wyznaczyć dziedzinę funkcji:







Wykres funkcji ma asymptotę pionową obustronną



Wykres funkcji ma asymptotę pionową obustronną

W celu zbadania istnienia granicy ukośnej lub poziomej należy obliczyć granice funkcji w nieskończoności:


Wykres funkcji ma więc asymptotę poziomą obustronną

Odp. Asymptotami wykresu funkcji

1. Asymptoty pionowe obustronne:
a)

b)

2. Asymptota pozioma obustronna:

b) W celu wyznaczenia dziedziny funkcji należy rozłożyć jej mianownik na czynniki:

Dziedziną funkcji jest więc zbiór:





Wykres funkcji ma asymptotę pionową obustronną

Obliczymy granice jednostronne danej funkcji dla




Wynika stąd, że funkcja nie ma asymptoty pionowej

W celu zbadania istnienia granicy ukośnej lub poziomej należy obliczyć granice funkcji w nieskończoności:


Funkcja może mieć asymptotę ukośną. Trzeba obliczyć granice:


A następnie:

Analogicznie:

Wykres funkcji ma więc asymptotę ukośną obustronną

Odp. Asymptotami wykresu funkcji

1. Asymptota pionowa obustronna:

2. Asymptota ukośna obustronna:

Ciągłość funkcji
Funkcja ciągła w punkcie
Funkcję



1. funkcja



2. granica



Nie bada się ciągłości funkcji w punktach, które nie należą do dziedziny funkcji.
W celu zbadania ciągłości funkcji


1. Obliczyć wartość funkcji w punkcie


2. Obliczyć granicę funkcji w punkcie



3. Sprawdzić, czy zachodzi równość


Funkcja ciągła w zbiorze
Funkcję


Funkcja





Funkcję nazywamy ciągłą w całej dziedzinie (krótko ciągłą), jeśli jest ciągła w każdym punkcie należącym do dziedziny.
Wykres funkcji określonej na przedziale i ciągłej w tym przedziale jest linią ciągłą tzn. nie występują w nim przerwy.
Funkcjami ciągłymi w swoich dziedzinach są m.in. funkcje:
- potęgowe,
- wielomiany,
- wymierne,
- wykładnicze,
- logarytmiczne,
- trygonometryczne.
Własności funkcji ciągłych
Działania arytmetyczne na funkcjach ciągłych
Jeśli funkcje






Ciągłość funkcji odwrotnej
Funkcja odwrotna do funkcji



Ciągłość funkcji złożonej
Funkcja złożona z funkcji ciągłych w punkcie


Przyjmowanie wartości najmniejszej i największej przez funkcję ciągłą (tw. Weierstrassa)
Jeśli funkcja




Przyjmowanie wartości pośredniej przez funkcję ciągłą (tw. Darboux)
Funkcja



W szczególności, jeśli <


Przykład:
Dla jakich wartości parametru


jest ciągła w zbiorze liczb rzeczywistych.
Rozwiązanie:
Funkcje





Aby funkcja była ciągła w punkcie



Odp. Dana funkcja jest ciągła w zbiorze liczb rzeczywistych dla
