+ Pokaż spis treści

Granica ciągu

Granica właściwa ciągu


Liczbę  spełniającą dla danego ciągu nieskończonego  warunek:

 = g Ű  .

nazywamy granicą właściwą tego ciągu.

Liczba taka, jeśli istnieje, jest jedna dla danego ciągu.
Z definicji tej wynika, że liczba  jest granicą ciągu , jeśli prawie wszystkie wyrazy tego ciągu (tzn. wszystkie wyrazy ciągu nieskończonego bez pewnej liczby jego początkowych wyrazów) należą do przedziału . Mówiąc inaczej dla coraz większych , różnica pomiędzy liczbą  a wyrazem  jest coraz mniejsza.

Granica niewłaściwa ciągu

Ciąg  nazywamy rozbieżnym do + Ą wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby  prawie wszystkie wyrazy tego ciągu są większe od .

 = + Ą Ű .

Z definicji wynika, że ciąg jest rozbieżny do nieskończoności, jeśli jego kolejne wyrazy są coraz większe.

Ciąg (a ) nazywamy rozbieżnym do - Ą wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby  prawie wszystkie wyrazy tego ciągu są mniejsze od .

 = - Ą Ű    .

Z definicji wynika, że ciąg jest rozbieżny do minus nieskończoności, jeśli jego kolejne wyrazy są coraz mniejsze i ujemne.

Ciąg mający granicę właściwą nazywamy ciągiem zbieżnym, ciąg nie mający granicy nazywamy ciągiem rozbieżnym.
 
Twierdzenia o ciągach zbieżnych
 
1. Każdy ciąg zbieżny jest ograniczony.
 
2. Każdy ciąg ograniczony i monotoniczny jest zbieżny.
 
3. Granicą ciągu stałego o wyrazach równych  jest liczba .
 
4. Jeżeli ciągi  i są zbieżne, przy czym  i  , to zbieżne są też ciągi ,,  a przy założeniu, że   jest zbieżny ciąg i zachodzą związki:
,   .
 
5. Dla dowolnej liczby rzeczywistej  i ciągu  o granicy zachodzi twierdzenie:
 
6. Twierdzenie o trzech ciągach: jeżeli ciągi  i  są zbieżne do tej samej granicy  i jeśli  jest ciągiem, którego prawie wszystkie wyrazy spełniają zależność:  , to ciąg  jest zbieżny do granicy.
 
7. Jeśli, to.
 
Granice niektórych ciągów
 
1. .
2. .
3. , dla .
4..
5. , dla .
6. , dla  i .
7. .
8. = .
9. , dla .
 
10.
 
11.  
 
Przykład:
Dla jakich wartości parametru  ciąg  o wyrazie ogólnym ma granicę równą 4.
 
Rozwiązanie:
Ciąg z zadania ma postać ciągu ze wzoru 11. Dla  stopień licznika i mianownika są takie same, a więc 
 =
(z warunków zadania).
 
Należy rozwiązać równanie kwadratowe:
 
     
Odp. Dany ciąg ma granicę równą  dla .