Funkcje trygonometryczne


Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym


Funkcje trygonometryczne kąta ostrego
wyrażają stosunki długości odpowiednich boków trójkąta prostokątnego, którego jednym z kątów jest kąt .

 
Oznaczenia w trójkącie prostokątnym:

 - kąty ostre trójkąta,
 - przeciwprostokątna trójkąta,
 - przyprostokątna leżąca naprzeciw kąta ,
 - przyprostokątna leżąca naprzeciw kąta .
 
Definicje funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym.
 
Sinus:
Sinusem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej przeciwległej temu kątowi do długości przeciwprostokątnej:

.


Cosinus:
Cosinusem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej przyległej do tego kąta do długości przeciwprostokątnej:

.


Tangens:
Tangensem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej przeciwległej temu kątowi do długości drugiej przyprostokątnej:

.


Cotangens:
Cotangensem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek długości przyprostokątnej przyległej do tego kąta do długości drugiej przyprostokątnej:

.


Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta

Dla każdego kąta ostrego można tak wybrać układ współrzędnych, aby:

  1. wierzchołek kąta leżał w początku tego układu (punkcie (0,0)),
  2. jedno ramię kąta pokrywało się z dodatnią półosią osi OX,
  3. drugie ramię kąta znajdowało się w pierwszej ćwiartce układu.


Wówczas na ramieniu kąta leżącym w pierwszej ćwiartce należy obrać dowolny punkt , nie pokrywający się z początkiem układu,  wyznaczyć jego odległość od początku układu (tzw. promień wodzący) :

i policzyć odpowiednie stosunki:


Z twierdzenia Talesa wynika, że wartości tych stosunków nie zależą od wyboru punktu , jeśli tylko leży on na drugim ramieniu kąta  i nie pokrywa się z początkiem układu współrzędnych.
 
Kąt skierowany

Każdą liczbę stopni można uważać za miarę kąta obrotu półprostej wokół początku układu współrzędnych od  jej położenia początkowego na dodatniej półosi OX. Półprostą po obrocie traktuje się jako drugie ramię kąta.
W ten sposób otrzymaliśmy pojęcie kąta skierowanego - kąta płaskiego z ustalonym uporządkowaniem ramion, pierwsze ramię kąta nazywane jest ramieniem początkowym, drugie ramieniem końcowym
 
Rozwartością kąta skierowanego nazywamy miarę kąta, którego ramionami są ramiona kąta skierowanego.
 
Miarą kąta skierowanego nazywamy jego rozwartość ze znakiem plus "+"  lub minus "-" w zależności od kierunku obrotu półprostej będącej drugim ramieniem kata.
 
Przyjęto uznawać za dodatnie te miary kątów, które zakreśla półprosta obracająca się w kierunku  przeciwnym do ruchu wskazówek zegara ,  natomiast za ujemne miary tych kątów, które zakreśla półprosta obracająca się zgodnie z ruchem wskazówek zegara .
 
Końcowe ramiona kątów skierowanych różniących się od siebie o wielokrotność kąta pełnego pokrywają się, tzn. aby znaleźć się w tym samym położeniu końcowym półprosta może obrócić się o kąt  lub o kąt , gdzie  może być dowolną liczbą całkowitą. Miara kata skierowanego ma zatem nieskończenie wiele wartości różniących się między sobą o całkowitą wielokrotność.
 
Najmniejszą nieujemną miarę kąta skierowanego nazywamy miarą główną tego kąta. Miara główna kąta należy do przedziału .
 
Równość kątów skierowanych
 
Dwa kąty skierowane są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają takie same miary główne.
 
Miara łukowa kąta

W wielu zastosowaniach funkcji trygonometrycznych korzysta się z miary łukowej kąta, która wiąże miarę kąta  z jednostką długości.
 
Miarą łukową kąta nazywamy długość łuku wyciętego przez ten kąt z okręgu o promieniu 1 i środku leżącym w wierzchołku tego kąta.
 
Jednostką miary łukowej jest radian. Jest to kąt środkowy oparty na łuku długości promienia okręgu. Nazwę tej jednostki najczęściej pomija się w zapisie.  1 radian  ť  57o 17' 14'' .
 
Kąt pełny (360o) wycina łuk o długości okręgu, czyli dla okręgu o promieniu 1 jest to łuk długości.
Wniosek  -  kąt pełny ma miarę łukową  radianów.
 
Zamiana  miary stopniowej kąta na miarę łukową i na odwrót jest prosta:
       .
 
Miary łukowe wybranych kątów:

Miara Stopniowa kąta
30o
45o
60o
90o
180o
270o
360o
Miara łukowa kąta


Funkcje trygonometryczne kąta skierowanego

W celu wyznaczenia funkcji trygonometrycznych kąta skierowanego, na drugim ramieniu kąta  (na półprostej po wykonaniu odpowiedniego obrotu) obiera się, podobnie jak poprzednio, punkt  i oblicza się odpowiednie stosunki długości.


.


Jak wynika z powyższych wzorów funkcje sinus i cosinus określone są dla wszystkich kątów , ponieważ
.
Funkcja tangens nie jest określona dla nieparzystych wielokrotności , ponieważ dla tych kątów końcowe ramię kąta pokrywa się z osią OY i wówczas .
 dla ,  gdzie   (lub dla kątów w mierze łukowej)
 
Funkcja cotangens nie jest określona dla parzystych wielokrotności , ponieważ dla tych kątów końcowe ramię kąta pokrywa się z osią OX i wówczas .
dla ,  gdzie   (lub  dla kątów w mierze łukowej)
 
Znaki funkcji trygonometrycznych

Znaki funkcji trygonometrycznych zależą od tego, w której ćwiartce leży końcowe ramię kąta.
 
W I ćwiartce:, więc wszystkie funkcje trygonometryczne są dodatnie.
W II ćwiartce: , więc dodatni jest sinus, a pozostałe są ujemne.
W III ćwiartce: , więc dodatnie są  tangens i cotangens, a pozostałe są ujemne.
W IV ćwiartce: , więc dodatni jest cosinus, a pozostałe są ujemne.
 
Tabela znaków funkcji trygonometrycznych:

 
Sinus
Cosinus
Tangens
Cotangens
I ćwiartka
+
+
+
+
II ćwiartka
+
-
-
-
III ćwiartka
-
-
+
+
IV ćwiartka
-
+
-
-


Przy zapamiętaniu znaków funkcji trygonometrycznych może pomóc wierszyk:
 
W pierwszej wszystkie są dodatnie.
W drugiej tylko sinus.
W trzeciej tangens i cotangens.
A w czwartej cosinus.
 
Pierwsza, druga, trzecia, czwarta, to ćwiartki układu współrzędnych.

Funkcje trygonometryczne kątów przeciwnych

Na podstawie położenia końcowych ramion kątów przeciwnych można wnioskować o zależnościach między funkcjami trygonometrycznymi tych kątów.


Wartości funkcji trygonometrycznych wybranych kątów
 
Tabela przedstawia wartości funkcji trygonometrycznych niektórych kątów.

Kąt w stopniach
0o
15o
30o
45o
60o
90o
180o
270o
Kąt w radianach
0
0
1
0
-1
1
0
-1
0
0
1
nie istnieje
0
nie istnieje
nie istnieje
1
0
nie istnieje
0


Wzory redukcyjne

Wartości funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta można  otrzymać na podstawie znajomości wartości tych funkcji dla odpowiednich kątów ostrych.  Służą do tego tzw. wzory redukcyjne.
 
Jest 28 wzorów redukcyjnych. Przedstawia je tabela:


Istnieje wzór ogólny, przy pomocy którego można uzyskać wszystkie wzory redukcyjne zawarte w tabeli. Wzór ten ma postać:

gdzie:

Oznacza dowolną funkcję trygonometryczną
Oznacza odpowiednią kofunkcję trygonometryczną
 
Oznacza miarę dowolnego kąta skierowanego
Oznacza miarę główną danego kąta
Oznacza miarę kąta I  ćwiartki, po dodaniu lub odjęciu którego od wielokrotności 90o otrzymujemy miarę główną  danego kąta
 
Oznacza dowolną liczbę całkowitą
Oznacza liczbę należącą do zbioru 


Znak  przed funkcją lub kofunkcją zależy od rodzaju funkcji trygonometrycznej i od ćwiartki, do której należy miara główna  danego kąta .
 
Tabela funkcji  trygonometrycznych i odpowiadających im kofunkcji trygonometrycznych.

Funkcja trygonometryczna
Kofunkcja trygonometryczna


Przykład:
Oblicz: a)  sin 840o,   b)  cos (-600o),   c)  tg (-1215o),   d)  ctg(660o).
Rozwiązanie:
a) Najpierw należy znaleźć miarę główną kąta 840o . Ponieważ   840o =  2×360o  +  120o,  więc  . Miara główna kąta należy do II ćwiartki, w której sinus jest dodatni.
Teraz należy przedstawić kąt  przy pomocy kąta pierwszej ćwiartki:   120o = 90o  + 30o , czyli  .
90o jest nieparzystą wielokrotnością 90o , więc funkcja sinus przechodzi na kofunkcję cosinus,  ze znakiem dodatnim, ponieważ   Reasumując otrzymujemy:
.
b) Ponieważ  , więc:


c) Ponieważ  , więc:


d)

Związki między funkcjami trygonometrycznymi

 
Związki między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta
 
Między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta zachodzą następujące związki:

  1. ,  zwany jedynką trygonometryczną,
  2. ,  dla   ,
  3. ,  dla ,   gdzie ,
  4. ,  dla  ,   gdzie .


Wszystkie powyższe związki są prawdziwe również dla kątów w mierze łukowej.
 
Związki te służą m. in. do obliczania wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych danego kąta, gdy znana jest jedna z nich, do dowodzenia tożsamości, do przekształcania wyrażeń przy rozwiązywaniu równań i nierówności trygonometrycznych itp.

 

Przykład:

Wyznacz wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta a wiedząc, że:

a) 

b) .

 

Rozwiązanie:

a)Najpierw korzystając z jedynki trygonometrycznej obliczamy :

  .

Ponieważ kąt  jest kątem dowolnym (nie należy do konkretnej ćwiartki), należy uwzględnić obie odpowiedzi.

 

Teraz wyznaczymy .

 .

 

Odpowiedź: 

   Ú  

b) Najłatwiej obliczyć .

 

Aby obliczyć , należy ułożyć układ równań -  pierwszym będzie zależność  od , drugim jedynka trygonometryczna:

          

 .

Ponieważ,więc wybieramy wartość ujemną cosinusa. Wówczas .

Odpowiedź:

.

 

Związki między funkcjami trygonometrycznymi dwóch kątów

 

Funkcje trygonometryczne sumy kątów:

,

,

, gdy   i ,

, gdy   i .

 

Funkcje trygonometryczne różnicy kątów:

,

,

,gdy    i ,

,gdy    i .

 

Funkcje trygonometryczne kąta podwojonego:

,

,

, gdy    i 

, gdy   i .

 

Sumy funkcji trygonometrycznych:

,

,

, gdy  ,

, gdy  .

 

Różnice funkcji trygonometrycznych:

,

,

, gdy ,

, gdy .

 

Wzory te przydają się przy przekształcaniu wyrażeń trygonometrycznych, przy dowodzeniu tożsamości, przy rozwiązywaniu równań i nierówności trygonometrycznych itp.

 

Przykład 1:

Przedstaw w postaci iloczynowej następujące wyrażenie:

Rozwiązanie:

 

= [ ]×[ ] =
 
Zastosowanie wzoru skróconego mnożenia

 

Zastosowanie wzorów na różnicę i sumę  kosinusów

 

 =
Uporządkowanie argumentów funkcji Skorzystanie z parzystości funkcji kosinus i nieparzystości funkcji sinus

 

=
Skorzystanie ze wzoru na sinus podwojonego argumentu

 
 
Odp.   =  
 
 
Przykład 2:
Udowodnij tożsamość:  
 
Rozwiązanie:
Aby tożsamość mogła być prawdziwa, muszą być spełnione założenia:  
 
Należy przekształcić lewą stronę tożsamości:
 

 
Skorzystanie ze wzorów na sinus
i kosinus podwojonego argumentu
Uporządkowanie wyrażeń w liczniku i mianowniku

 

 
=  
 
Skrócenie
ułamka
Skorzystanie ze wzorów
na sinus i kosinus podwojonego argumentu
Uporządkowanie mianownika Skrócenie ułamka i skorzystanie z zależności między tangensem, sinusem i kosinusem kąta

 
Funkcje trygonometryczne zmiennej rzeczywistej
 
Wprowadzenie miary łukowej kąta pozwala na określenie funkcji trygonometrycznych jako funkcji zmiennej rzeczywistej. 
Każda liczba rzeczywista  może być potraktowana jako miara łukowa kąta o mierze stopniowej: 
 
Tak więc: 
 
,   ,   ,   
 
Wykresy funkcji trygonometrycznych

 

Wykresy funkcji trygonometrycznych nazywają się odpowiednio sinusoidą, cosinusoidą, tangensoidą i cotangensoidą.

 

Sinusoida - wykres funkcji 

 

Cosinusoida - wykres funkcji 

 

Tangensoida - wykres funkcji 

 

Cotangensoida - wykres funkcji 

Dodaj do swoich materiałów
Morze możliwości
na edukator.pl
Narzędzia, zasoby, komunikacja, współpraca. Zarejestruj się. Twórz, gromadź zasoby i dziel się nimi.
Morze możliwości na edukator.pl