Funkcje


Niech X i Y będą niepustymi zbiorami.


Funkcją
odwzorowującą zbiór  w zbiór , nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi zbioru  dokładnie jednego elementu zbioru .


Uwaga: aby przyporządkowanie było funkcją, musi, zgodnie z definicją, spełniać dwa warunki:

  1. Element ze zbioru  musi być przyporządkowany każdemu elementowi zbioru ,
  2. Każdemu elementowi zbioru  musi być przyporządkowany dokładnie jeden element zbioru


Funkcje oznaczamy najczęściej małymi literami: f, g, h, ...
Zapis  oznacza, że f jest funkcją odwzorowującą zbiór  w zbiór
Zbiór , którego elementom funkcja przyporządkowuje elementy zbioru , nazywamy dziedziną funkcji. Dziedzinę funkcji f oznaczamy również symbolem
Elementy zbioru  nazywamy argumentami funkcji.
Zbiór którego elementy zostały przyporządkowane elementom dziedziny funkcji, nazywamy przeciwdziedziną funkcji.
Przeciwdziedzinę funkcji oznaczamy również symbolem 
Zapis  oznacza, że  jest elementem zbioru  przyporządkowanym przez funkcję  argumentowi . Mówimy, że  jest wartością funkcji f dla argumentu
Elementom ze zbioru  mogą być przyporządkowane wszystkie elementy zbioru  lub tylko niektóre z nich. Zbiór tych elementów ze zbioru , które zostały przypisane elementom ze zbioru , nazywamy zbiorem wartości funkcji .Zbiór wartości funkcji  oznaczamy symbolem .
Do zbioru  należą więc tylko te elementy  przeciwdziedziny, dla których istnieją takie argumenty dziedziny funkcji, że  jest wartością funkcji dla pewnego :


Sposoby opisywania funkcji:

  1. Przepis słowny.
  2. Tabelka.
  3. Graf.
  4. Zbiór par uporządkowanych, gdzie poprzednik oznacza argument funkcji, a następnik wartość funkcji dla tego argumentu.
  5. Wzór.
  6. Wykres.


Funkcja liczbowa

 
Funkcję, której argumentami i wartościami są liczby rzeczywiste, nazywamy funkcją rzeczywistą zmiennej rzeczywistej lub funkcją liczbową.
 
Dziedziną i zbiorem wartości takiej funkcji są podzbiory zbioru liczb rzeczywistych .
 
Równość funkcji
 
Funkcje  i są równe wtedy i tylko wtedy, gdy:
1.  (mają takie same dziedziny)
2. (dla wszystkich argumentów przyjmują takie same wartości).
 
Podstawowe pojęcia związane funkcją
 
Tabela zawiera podstawowe pojęcia jak dziedzina, przeciwdziedzina itp. związane z funkcjami oraz ich określenia.

Nazwa Określenie
Dziedzina funkcji określonej wzorem Dziedziną funkcji określonej wzorem nazywamy zbiór takich argumentów,
dla których wzór opisujący funkcję ma sens liczbowy.
 
Dziedziną funkcji opisanej wzorem jest zbiór liczb rzeczywistych za wyjątkiem tych jego podzbiorów, dla elementów których nie można
obliczyć wartości wyrażenia występującego we wzorze funkcji (tzn., gdy działanie we wzorze funkcji nie jest dla nich wykonalne).
 
Np. w mianowniku nie może wystąpić zero lub pod pierwiastkiem musi znajdować się wartość nieujemna lub liczba logarytmowana musi być dodatnia itp.
Argumenty funkcji Elementy dziedziny funkcji - .
Przeciwdziedzina funkcji Zbiór, którego elementy (wszystkie lub niektóre) są przyporządkowywane przez funkcję elementom dziedziny funkcji.
Wartość funkcji Element przeciwdziedziny funkcji, który został przyporządkowany elementowi dziedziny funkcji. Wartość funkcji dla argumentu oznaczamy symbolem .
Zbiór wartości funkcji Zbiorem wartości funkcji nazywamy  zbiór tych elementów należących do przeciwdziedziny funkcji , które zostały przyporządkowane argumentom funkcji:


Zbiór wartości funkcji jest zawsze podzbiorem przeciwdziedziny.
Wykres funkcji Wykresem funkcji nazywamy zbiór wszystkich punktów płaszczyzny o współrzędnych , gdzie  jest argumentem funkcji, a  jest wartością funkcji dla tego argumentu.
Miejsce zerowe funkcji Miejscem zerowym funkcji nazywamy każdą wartość argumentu , dla której wartość funkcji równa jest 0: .



Rodzaje funkcji

Tabela zawiera definicje i omówienie różnych rodzajów funkcji:

Nazwa Definicja i komentarz
Funkcja "w" Funkcję nazywamy funkcją "w", jeśli zbiór jej wartości jest podzbiorem właściwym przeciwdziedziny:.
(W zbiorze Y są elementy, które nie zostały przyporządkowane elementom należącym do zbioru X)
Funkcja "na" Funkcję nazywamy funkcją "na", jeśli jej zbiór wartości jest równy przeciwdziedzinie: .
(Wszystkie elementy zbioru Y zostały przyporządkowane elementom zbioru X).
Funkcja różnowartościowa Funkcję nazywamy różnowartościową wtedy i tylko wtedy, gdy .
Każdej parze różnych argumentów funkcja przyporządkowuje różne wartości tzn. każda  wartość funkcji jest przyjmowana tylko jeden raz.
Funkcja wzajemnie jednoznaczna Funkcję nazywamy wzajemnie jednoznaczną, jeśli jest funkcją różnowartościowa i funkcją "na".
Funkcja rosnąca Funkcja f jest rosnąca  .
Wraz ze wzrostem argumentów rosną wartości funkcji.
Funkcja malejąca Funkcja f jest malejąca  .
Wraz ze wzrostem argumentów maleją wartości funkcji.
Funkcja niemalejąca Funkcja f jest niemalejąca  .
Wraz ze wzrostem argumentów wartości funkcji rosną lub pozostają niezmienione.
Funkcja nierosnąca Funkcja f jest nierosnąca  .
Wraz ze wzrostem argumentów wartości funkcji maleją lub pozostają niezmienione.
Funkcja stała Funkcja f jest stała  .
Dla wszystkich argumentów funkcja przyjmuje tą samą wartość.
Funkcja monotoniczna Funkcja jest monotoniczna, jeśli jest nierosnąca albo niemalejąca.
Funkcja ściśle monotoniczna Funkcja jest ściśle monotoniczna, jeśli jest rosnąca albo malejąca.
Funkcja parzysta Funkcja jest parzysta  .
Funkcja jest parzysta wtedy i tylko wtedy, gdy
  1. dziedzina funkcji jest symetryczna względem zera  (liczby przeciwne albo jednocześnie należą, albo jednocześnie nie należą do dziedziny),
  2. wykres funkcji jest symetryczny względem osi OY .
Funkcja nieparzysta Funkcja jest nieparzysta  .
Funkcja jest nieparzysta wtedy i tylko wtedy, gdy
  1. dziedzina funkcji jest symetryczna względem zera (liczby przeciwne albo jednocześnie należą, albo jednocześnie nie należą do dziedziny),
  2. wykres funkcji jest symetryczny względem punktu (0,0) 
Funkcja okresowa Funkcja jest okresowa .
Liczba T nazywana jest okresem funkcji f. Najmniejszy dodatni okres funkcji f 
(o ile istnieje) nazywa się okresem podstawowym (zasadniczym) funkcji.
Funkcja odwrotna Warunek istnienia funkcji odwrotnej do funkcji :
Funkcja  musi być wzajemnie jednoznaczna.
Funkcję przyporządkowującą każdemu elementowi  taki element , że  nazywamy funkcją odwrotną do .
Aby wyznaczyć funkcję odwrotną , należy ze wzoru funkcji  wyznaczyć zmienną 
w zależności od , a następnie mechanicznie zamienić miejscami obie litery ( ).
Wykresy funkcji wzajemnie odwrotnych są symetryczne względem prostej .
Jeśli funkcja f ma funkcję odwrotną, to nazywamy ją funkcją odwracalną.
 Funkcja  złożona  Dane są funkcje  i . Jeżeli , to funkcję  określoną na zbiorze  wzorem: 
nazywamy złożeniem funkcji  i  (funkcją złożoną z funkcji  i ) i oznaczamy 
Dziedziną złożenia  jest więc zbiór tych argumentów  należących do dziedziny funkcji , dla których  należy do dziedziny funkcji .
Składanie funkcji nie jest przemienne tzn. na ogół .
Aby wyznaczyć funkcję  we wzorze funkcji  w miejsce argumentu  wstawiamy funkcję .

 

Wykresy niektórych funkcji

 

  1. Funkcja liniowa: 


    Wykresem tej funkcji jest prosta przechodząca przez punkt  i nachylona do osi OX pod kątem  

     

     

     

  2. Funkcja kwadratowa:  

      

    Wykresem tej funkcji jest krzywa zwana parabolą

      

     

      

  3. Funkcja wymierna:  

      Wykresem tej funkcji jest krzywa zwana hiperbolą. 

      

     

       

  4. Funkcja:  

    Wzór tej funkcji można zapisać w innej postaci wykorzystując definicję wartości bezwzględnej:  

    Wykres tej funkcji jest przedstawiony na rysunku: 

      

     

     

  5. Funkcja signum:  

      

    Litery  występujące w nazwie tej funkcji pochodzą od łacińskiego słowa signum oznaczającego znak

    Funkcja signum przypisuje każdej liczbie rzeczywistej wartość zależną wyłącznie od jej znaku zgodnie ze schematem: 


    - liczbie dodatniej przypisuje liczbę 1

    - liczbie ujemnej przypisuje liczbę -1

    - liczbie zero (0) przypisuje liczbę 0 (zero jest liczbą bez znaku). 

    Wzór funkcji signum jest następujący:  

    Wykres tej funkcji jest przedstawiony na rysunku: 

      

     

      

  6. Funkcja część całkowita:  

      

    Symbol  lub  oznacza część całkowitą liczby  tzn. największą liczbę całkowitą nie większą niż . Część całkowita liczby  nazywana też jest cechą liczby  
    Symbol  pochodzi od francuskiego słowa , oznaczającego cały, całkowity. 

    Wykres tej funkcji jest przedstawiony na rysunku: 

      

     

      

  7. Funkcja mantysa:  

      

    Funkcja mantysa zwana też jest częścią ułamkową liczby. 

    Wykres tej funkcji jest przedstawiony na rysunku: 

      


Przekształcenia wykresów funkcji
 

 

Przekształcenie Wzór funkcji po przekształceniu Ilustracja graficzna
  
Symetria osiowa względem osi OX


Symetria osiowa względem osi OY


  
Symetria środkowa względem początku układu współrzędnych


Powinowactwo prostokątne o osi OX i skali  
(k 0)

  
Powinowactwo prostokątne o osi OY i skal  
(k 0) 
 

Translacja o wektor 


Wartość bezwzględna funkcji


Wartość bezwzględna argumentu

Dodaj do swoich materiałów
Morze możliwości
na edukator.pl
Narzędzia, zasoby, komunikacja, współpraca. Zarejestruj się. Twórz, gromadź zasoby i dziel się nimi.
Morze możliwości na edukator.pl