+ Pokaż spis treści

Funkcja wielomianowa


Pojęcie wielomianu


Wielomianem n-tego stopnia jednej zmiennej (funkcją wielomianową) nazywamy funkcję postaci:

,


gdzie ,  i 

Liczby  nazywamy współczynnikami wielomianu, liczbę  nazywamy wyrazem wolnym.

Stopień wielomianu

Stopniem wielomianu jednej zmiennej nazywamy największy wykładnik potęgi zmiennej w tym wyrazie, w którym współczynnik jest różny od zera.

Jednomiany  występujące w wielomianie nazywamy jego wyrazami.

Wielomian stały

Wielomianem zerowego stopnia (stałym) nazywamy wielomian postaci: , gdzie .

Wielomian zerowy

Wielomianem zerowym nazywamy wielomian postaci: , co zapisujemy symbolicznie
Wielomian zerowy nie ma określonego stopnia.

Równość wielomianów

Dwa wielomiany są równe Ű gdy mają taki sam stopień i takie same współczynniki przy odpowiednich potęgach.


Suma współczynników wielomianu

Suma współczynników wielomianu  jest równa wartości tego wielomianu dla :


Działania na wielomianach

Suma, różnica i iloczyn wielomianów jest wielomianem.
Przy dodawaniu wielomianów dodaje się do siebie jednomiany podobne (jednomiany zawierające zmienną w tej samej potędze).
Przy odejmowaniu wielomianów odejmuje się jednomiany podobne.
Mnożąc dwa wielomiany mnoży się każdy wyraz jednego z nich przez każdy wyraz drugiego, a następnie porządkuje otrzymany wynik.
Stopień iloczynu wielomianów jest równy sumie ich stopni.
Stopień sumy (różnicy) wielomianów jest nie większy od  najwyższego ze stopni składników tej sumy (różnicy).

Dzielenie wielomianów

Wielomian  jest podzielny przez wielomian nie będący wielomianem zerowym wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje wielomian  taki, że

Jeżeli  i są wielomianami oraz wielomian nie jest wielomianem zerowym, to istnieją dwa jednoznacznie wyznaczone wielomiany  i , że:

,

przy czym albo wielomian , albo stopień wielomianu jest mniejszy od stopnia wielomianu

Wielomian nazywamy ilorazem, a  resztą z dzieleniawielomianu  przez

Metoda dzielenia wielomianów

Aby podzielić wielomian  przez należy:
 
  1. Uporządkować oba wielomiany tzn. zapisać ich wyrazy w kolejności od największej do najmniejszej potęgi zmiennej.
  2. Podzielić  pierwszy wyraz dzielnej  () przez pierwszy wyraz dzielnika ()
  3. Otrzymany jednomian pomnożyć przez dzielnik i odjąć od dzielnej. W wyniku odejmowania powstaje reszta
  4. Pierwszy wyraz reszty należy podzielić przez pierwszy wyraz  dzielnika ()
  5. Otrzymany jednomian należy pomnożyć przez dzielnik i odjąć od reszty . W wyniku odejmowania powstaje reszta
  6. Punkty 4-5 powtarza się aż do uzyskania reszty   lub reszty , której stopień jest niższy od stopnia dzielnika  
Przykład:
Podziel wielomian przez wielomian
 
Rozwiązanie:

 
Stopień trzeciej reszty  jest niższy od stopnia dzielnika , więc dzielenie należy zakończyć. Otrzymaliśmy:
 

 
 
Pierwiastki wielomianu
 
Miejscem zerowym (pierwiastkiem) wielomianu nazywamy każdą liczbę , dla  której wartość wielomianu wynosi zero:
Wielomian n-tego stopnia ma co najwyżej n pierwiastków
Wielomian stopnia nieparzystego ma co najmniej jeden pierwiastek
Wielomian stopnia parzystego może nie mieć pierwiastków
  
Twierdzenie Bezouta
 
Liczba  jest pierwiastkiem wielomianu wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian  jest  podzielny przez dwumian
  
Twierdzenie o reszcie
 
Reszta z dzielenia wielomianu   przez dwumian  jest równa  tzn. wartości wielomianu dla liczby
  
Przykład:
Wyznacz wartości parametrów  i  wiedząc, że wielomian: jest podzielny przez dwumian , a reszta z dzielenia tego wielomianu przez dwumian  wynosi 4.
 
Rozwiązanie:
Ponieważ wielomian  jest podzielny przez dwumian , więc liczba  jest jego pierwiastkiem (tw. Bezouta) tzn. .
Reszta z dzielenia  przez  wynosi 4, wiec (tw. o reszcie). Wstawiając w miejsce zmiennej liczby i  otrzymujemy układ równań:
 
 
Odp.      i  
  
Pierwiastek wielokrotny wielomianu
 
Liczba  jest -krotnym pierwiastkiem wielomianu - tego stopnia  wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian jest podzielny przez    i nie jest podzielny przez 
  
Twierdzenie o pierwiastkach wielomianu o współczynnikach całkowitych
 
Jeżeli wszystkie współczynniki wielomianu są całkowite i  wielomian ten posiada pierwiastki wymierne postaci ,  to liczba  jest dzielnikiem wyrazu wolnego , a liczba  jest  dzielnikiem współczynnika przy najwyższej potędze
 
Wniosek z twierdzenia o pierwiastkach wielomianu o współczynnikach całkowitych
 
Gdy współczynnik wielomianu przy najwyższej potędze jest równy jedności , to wymierne pierwiastki wielomianu o współczynnikach całkowitych są podzielnikami wyrazu wolnego

Postać iloczynowa wielomianu
 
Przedstawienie wielomianu w postaci iloczynu czynników nazywa się rozkładem wielomianu na czynniki.
Jeżeli liczby są pierwiastkami wielomianu -tego stopnia, to wielomian ten można przedstawić w postaci iloczynowej:
 

Każdy wielomian  -tego stopnia  można rozłożyć na czynniki  liniowe albo kwadratowe nierozkładalne ()