+ Pokaż spis treści

Funkcja logarytmiczna

 
Logarytm
 
Logarytmem dodatniej liczby  przy podstawie , gdzie  nazywamy wykładnik potęgi , do której należy podnieść liczbę , aby otrzymać liczbę
 

 
Liczbę  nazywamy podstawą logarytmu, liczbę  - liczbą logarytmowaną, a liczbę  logarytmem z liczby  przy podstawie  (wynikiem logarytmowania).
 
 
Logarytm dziesiętny
 
Jeśli podstawą logarytmu jest liczba , to logarytm nazywamy dziesiętnym i oznaczamy symbolem  lub  tzn. w symbolu nie występuje podstawa:
 

 
Logarytm naturalny

Jeśli podstawą logarytmu jest liczba , to logarytm nazywamy logarytmem naturalnym i oznaczamy symbolem
 
Własności logarytmu:
 
 
Prawa działań na logarytmach:
 
Prawa poniższe obowiązują przy założeniach:
 
  1. Logarytm iloczynu: 
  2. Logarytm ilorazu: 
  3. Logarytm potęgi: 
  4. Logarytm pierwiastka: 
  5. Zmiana podstawy logarytmu: 
    W szczególności, gdy następuje zamiana między podstawą logarytmu i liczbą logarytmowaną, powyższy wzór przybiera postać: 

Funkcja logarytmiczna

Funkcją logarytmiczną nazywamy funkcję postaci: , gdzie
 
Dziedziną każdej funkcji logarytmicznej jest zbiór liczb rzeczywistych dodatnich , a zbiorem wartości zbiór liczb rzeczywistych
 
Wykres funkcji logarytmicznej nazywa się krzywą logarytmiczną.
 
Własności funkcji logarytmicznych
 
Własności funkcji logarytmicznych są przedstawione w tabeli:
  
 
Dziedzina
Zbiór wartości
Monotoniczność Funkcja malejąca Funkcja rosnąca
Różnowartościowość Funkcja różnowartościowa Funkcja różnowartościowa
Wartość funkcji dla
argumentu równego
Wykres
 
 
Symetria wykresów funkcji logax i log1/ax
 
Wykresy funkcji:

są symetryczne względem osi OX, ponieważ:
 

 
Funkcja logarytmiczna jest funkcją ciągłą spełniającą warunek:
 

dla
 
Funkcja wykładnicza i funkcja logarytmiczna
 
Jeżeli , to funkcja logarytmiczna  dla  jest funkcją odwrotną do funkcji wykładniczej , a więc ich wykresy są symetryczne względem prostej
 

Wykresy funkcji  i  dla