+ Pokaż spis treści

Funkcja kwadratowa

 
Pojęcie funkcji kwadratowej
 
Funkcję   daną wzorem:

 
gdzie  są liczbami danymi i  nazywamy funkcją kwadratową lub trójmianem kwadratowym.
 
Liczby  nazywamy współczynnikami funkcji kwadratowej.
  
Jednomian kwadratowy
 
Jeśli  , to funkcję

nazywamy jednomianem kwadratowym.
 
Wykresem jednomianu kwadratowego jest parabola. Punkt , zwany wierzchołkiem paraboli, dzieli tę parabolę na dwie części zwane ramionami.
 

Wykres jednomianu kwadratowego  dla
 
 

Wykres jednomianu kwadratowego  dla
 
 
Wykresem każdej funkcji kwadratowej jest parabola, której położenie w układzie współrzędnych zależy od wartości współczynników .
 

Postacie trójmianu kwadratowego
 
1. Postać ogólna:
,   dla
 
 
2. Postać kanoniczna
 
Każdy trójmian kwadratowy można przedstawić w tzw. postaci kanonicznej. Mianowicie:
 

 

Wyrażenie w liczniku ułamka:  nazywamy wyróżnikiem trójmianu kwadratowego i oznaczamy symbolem  (delta).

 
Zatem postać kanoniczna trójmianu kwadratowego jest następująca:
 

 
Przyjmując w powyższym wzorze:   oraz   otrzymujemy:
 

 
Wynika stąd, że wykres trójmianu kwadratowego   jest parabolą będącą przesunięciem wykresu jednomianuo wektor 
 
 
3. Postać iloczynowa.
 
Jeżeli wyróżnik trójmianu kwadratowego jest nieujemny ( ), to korzystając z postaci kanonicznej, można   trójmian kwadratowy rozłożyć na czynniki liniowe:
 

 

 
Przyjmując oznaczenia:

 
 
otrzymujemy:

 
Dla  otrzymujemy:
 
Reasumując:
 
Dla  trójmian kwadratowy może być przedstawiony w następujących postaciach:
 
 

Postać ogólna

Postać kanoniczna
  lub   , gdzie   i 

Postać iloczynowa

nie ma postaci iloczynowej
  
Wzory Viete'a

Jeśli istnieją pierwiastki trójmianu kwadratowego, to:
 

 
Szkicowanie wykresu funkcji kwadratowej
 
Szkicowanie wykresu funkcji kwadratowej przedstawionej w postaci ogólnej:
 
Aby  wystarczająco dokładnie naszkicować parabolę należy:
 
1. Określić skierowanie ramion paraboli:
       dla  ramiona skierowane do góry,
       dla ramiona skierowane do dołu.
 
2. Obliczyć miejsca zerowe funkcji (lub stwierdzić, że nie istnieją).
 
3. Obliczyć współrzędne wierzchołka paraboli.
 
4. Wyznaczyć rzędną punktu przecięcia paraboli z osią OY.
 

Wykres funkcji  dla
 
 
 
Przykład:
Naszkicuj wykres funkcji
 
Rozwiązanie:
 
1. , więc parabola ma ramiona skierowane do dołu.
 
2.,   .
Miejscami zerowymi funkcji są  i .
 
3. Współrzędne wierzchołka:  .
 
4. Punkt przecięcia z osią OY: 
 
Teraz można już naszkicować parabolę:
 

 
Własności funkcji kwadratowej
 
Własności funkcji kwadratowej , dla a
 
 

Dziedzina

Zbiór wartości

Największa wartość funkcji
Nie istnieje
Najmniejsza wartość funkcji  
Nie istnieje
Monotoniczność rosnąca dla
malejąca dla
Miejsca zerowe , nie istnieją,
, jedno 
, dwa
 
Własności wykresu funkcji kwadratowej
 
Parametr
Ramiona paraboli Skierowane do góry Skierowane do dołu
Oś symetrii paraboli
Współrzędne wierzchołka paraboli
 
 
Położenie paraboli w układzie współrzędnych zależy od:
 
1. znaku współczynnika , który warunkuje skierowanie ramion paraboli,
 
2. wartości wyróżnika, która warunkuje ilość punktów przecięcia paraboli z osią OX:
 
     -dla  parabola leży pod ( ) lub nad ( ) osią OX, nie ma z osią OX punktów wspólnych,
     - dla  parabola jest styczna do osi OX,
     - dla  parabola przecina oś OX w dwóch punktach.
 
 
Rożne możliwości położenia paraboli w układzie współrzędnych przedstawia rysunek: