+ Pokaż spis treści

Fale mechaniczne

Drgania mechaniczne jednego ciała  często przenoszą się na inne ciała, sąsiadujące z nim. Następuje to wtedy, gdy drgające ciało jest częścią jakiegoś ośrodka. Jego cząsteczki są ze sobą powiązane; oddziaływania między nimi powodują powstanie zjawiska, które nazywamy falą. Każda fala jest przestrzennie rozciągła i rozchodzi się jedynie w ośrodku materialnym. W próżni fale mechaniczne nie rozchodzą się, mogą natomiast rozchodzić się w gazach, cieczach i ciałach stałych. Rodzaj ośrodka jest w dużej mierze odpowiedzialny za sposób rozchodzenia się fali.


Ogólna charakterystyka fali

      Źródłem fali jest zawsze jakieś drgające ciało: membrana głośnika, poruszany rytmicznie koniec naprężonej linki lub poruszana rytmicznie w wodzie płytka drewniana. Jeśli drgania źródła mają częstotliwość f, to z taką samą częstotliwością drgają wszystkie punkty fali. Amplituda drgań źródła A zwykle maleje w miarę oddalania się od niego, ale w jego pobliżu zwykle zakłada się, że jej zmiany są niewielkie. Zmniejszanie się amplitudy następuje z dwóch powodów: tarcia towarzyszącego drganiom oraz rozkładaniu się drgań na coraz większą powierzchnię.

      Fala może rozchodzić się w jednym kierunku (jak np. fala biegnąca wzdłuż linki zaczepionej na jednym końcu) lub też w wszystkie strony (jak np. fale dźwiękowe w powietrzu). Prędkość rozchodzenia się fali v zależy od jej rodzaju oraz od rodzaju ośrodka. Np. prędkość dźwięku w powietrzu wynosi ok. 340 m/s, w wodzie - 1500 m/s, zaś w stali - 5130 m/s. Prędkość fali zależy też od temperatury ośrodka (rośnie z jej wzrostem) oraz od częstotliwości samej fali; tę ostatnią zależność nazywa się dyspersją.
Długość fali l  to droga, jaką fala przebywa w ciągu jednego okresu:


      l = vT =

P r z y k ł a d.  Fala głosowa o częstotliwości 1000 Hz ma w powietrzu długość równą l = (340 m/s) /(1000 s-1 ) = 34 cm. Fala o najniższej częstotliwości odbieranej przez ucho ludzkie (ok. 20 Hz) ma długość l = 17 m, zaś o największej słyszanej częstotliwości (ok. 20 000 Hz) - 17 mm. Tak więc maksymalny zakres długości fal głosowych w powietrzu to obszar: 17 mm ¸ 17 m.
      Matematyczny zapis fali. Jeśli za kierunek rozchodzenia się fali przyjmujemy jako kierunek Ox, a położenie źródła znajduje się w punkcie O, to wychylenie uo źródła opisane jest wyrażeniem:

      u0 = A sin wt = A sin

      Drgania w punkcie odległym o x od źródła są opóźnione o czas potrzebny do przebycia tej odległości przez falę, równym x/v. Tę wartość należy odjąć od zmiennej t , występującej w powyższym wzorze. Tak więc wychylenie u z położenia równowagi w punkcie x dane jest wyrażeniem:

      u = A sin w(t - x/v) = A sin
lub też
      u = A sin 2p
           
      Wychylenie jest funkcją periodyczną dwóch zmiennych: czasu (z okresem T) oraz położenia (z okresem l). Wykresy tych zależności przedstawione są na rysunkach.


      Argument funkcji sinus nazywa się fazą fali. Określa ona stan drgania względem np. położenia równowagowego.           

Polaryzacja fal
           
      Fale mechaniczne można podzielić na kilka sposobów zależnie od tego, jaka cechę fali rozpatrujemy. Pierwszy podział związany jest z kierunkiem drgań (polaryzacją fali). Jeśli wychylenie u jest prostopadłe do kierunku rozchodzenia się fali, to mówimy o fali poprzecznej. Gdy drgania zachodzą równolegle do prędkości fali, mamy do czynienia z falami podłużnymi. W ośrodkach stałych rozchodzą się oba rodzaje fal, zwykle jednocześnie. Atomy w tych ośrodkach mają ustalone pozycje równowagowe, wokół których mogą wykonywać drgania w dowolnych kierunkach. W gazach możliwe są jedynie fale podłużne



Fale płaskie i fale kuliste

      Inny podział fal związany jest  kształtem źródła, a pośrednio - z kształtem czoła fali, czyli powierzchni ograniczającej obszar, do którego dotarła fala. Pod tym względem można wyróżnić dwie podstawowe kategorie: fala płaska i fala kulista.
      Czoło fali płaskiej jest płaszczyzną (lub prostą - jak w przypadku fal powierzchniowych). Czoło fali kulistej jest sferą. Taki sam kształt mają inne powierzchnie stałej fazy.



      Fala kulista powstaje wtedy, gdy źródło drgań jest bardzo małe (punktowe) w porównaniu z innymi odległościami. Amplituda fali kulistej maleje odwrotnie proporcjonalnie do odległości od źródła:  A ~  . Wynika to z faktu, że energia źródła rozkłada się na coraz większą ilość oscylatorów. Energia każdego z nich jest proporcjonalna do kwadratu amplitudy, a ich ilość - do powierzchni czoła fali (proporcjonalnej do kwadratu odległości). Całkowita energia wysyłana przez źródło w jednostce czasu jest stała, zatem kwadrat amplitudy musi być odwrotnie proporcjonalny do kwadratu odległości.
           
Interferencja fal

      Dodawanie fal o tej samej częstotliwości nazywamy interferencją. Jej efektem jest pewna fala wypadkowa o tej samej częstotliwości, której amplituda może zależeć od położenia. Zwykle mamy do czynienia z dodawaniem dwóch fal, ale zjawisko interferencji występuje też i przy większej liczbie fal..
Klasycznym przykładem interferencji jest dodawanie się fal wytwarzanych przez dwa jednakowe źródła punktowe, które drgają synchronicznie. Fale te dochodzą do wszystkich  punktów
 



ośrodka otaczającego źródła. Jeśli w jakimś punkcie przestrzeni (A) dochodzące fale mają zgodne fazy, to ich drgania dodają się i w punkcie tym następuje wzmocnienie. Jeśli fazy obu fal są przeciwne (B), następuje znoszenie się drgań. Różnica faz związana jest z różnicą odległości  Dr danego punktu od obu źródeł. Gdy różnica ta jest równa całkowitej krotności długości fali w tym ośrodku (l), to fazy drgań są zgodne; gdy jest ona równa nieparzystej krotności połowy długości fali, fazy drgań są przeciwne:
 

wzmocnienie:
wygaszenie:
Dr = nl
Dr = (n+1/2) l
(n = 0, 1, 2, . . . )
(n = 0, 1, 2, . . . )


 

      W rezultacie wzdłuż pewnych linii następuje wzmocnienie drgań; między nimi znajdują się linie, wzdłuż których następuje znoszenie się fal.

Fale stojące

      Innym popularnym przykładem interferencji jest proces powstawania fali stojącej, będącej wynikiem dodania się dwóch jednakowych fal biegnących w przeciwne strony.  Sytuacja taka ma miejsce na przykład wtedy, gdy fala generowana przez źródło punktowe dodaje się z falą odbitą.



 

      W wyniku dodania się tych fal powstaje charakterystyczny obraz interferencyjny, złożony z regularnie powtarzających się segmentów. Długość każdego z nich równa jest połowie długości fali. Amplituda drgań zmienia się sinusoidalnie. Najmniejszą (zerową) wartość osiąga w punktach zwanych węzłami, największą (równą dwukrotnej amplitudzie drgań źródła) - w punktach zwanych strzałkami. Matematycznym wyrazem tego procesu jest dodanie dwóch fal sinusoidalnych o przeciwnie skierowanych prędkościach:

      u = A sin + A sin= [2A cos (2p )] sin ().


      Wyraz w nawiasie kwadratowym ma sens amplitudy drgań opisywanych funkcją sin ( ). Amplituda ta zależy od położenia, a jej wykresem jest obwiednia fali stojącej.



Fale stojące w strunach

      Fale wzbudzane w strunach mają ściśle określone częstotliwości. Jest to związane z tym, że odbijają się od końców tworzą fale stojące. Dopuszczalne są jedynie taki fale, które mieszczą się całkowicie na długości struny L. Na końcach struny powstają węzły, gdyż jest ona tam zamocowana do podstawy. Wynika stąd, że długość struny jest całkowitą krotnością jednego segmentu fali stojącej, którego długość równa jest połowie długości fali:

      L = n l/2. 


Z tego warunku można określić częstotliwości drgań struny:

      fn =  = n 

gdzie v oznacza prędkość dźwięku w strunie. Częstotliwości te nazywają się częstotliwościami rezonansowymi (lub własnymi) struny.
      Dźwięk o najniższej częstotliwości nosi nazwę tonu podstawowego. Wynosi ona  f1 = . Dźwięki o częstotliwościach będących krotnościami tonu podstawowego nazywają się wyższymi harmonicznymi ("owertonami"). Ich amplitudy są mniejsze niż tonu podstawowego, ale w istotny sposób wpływają na barwę dźwięku. 

            
Fale stojące w rurach

      W powietrzu wypełniającym rurę mogą powstać stojące fale podłużne, których częstotliwości są ściśle określone przez długość rury oraz sposobu jej zamknięcia. 
      Jeśli rura jest zamknięta na obu końcach, to powstają w niej fale analogiczne do fal w 


strunach. Ich częstotliwości dane są identycznym wzorem, a mianowicie fn = n ,  n = 1, 2, 3, . . . , przy czym v oznacza teraz prędkość fali dźwiękowej w powietrzu, zbliżoną do wartości 340 m/s. 
      W rurze otwartej na jednym i zamkniętej na drugim końcu mogą powstać fale stojące takie, by na długości L mieściła się nieparzysta liczba ćwiartek fali: L =(2n-1) (l/4),    n = 1, 2, 3, . . . Na końcu zamkniętym powstaje węzeł (fala odbita znosi się z fala padającą), natomiast na końcu otwartym - strzałka.


Częstotliwości rezonansowe takiej rury: fn = 
      W przypadku rury otwartej na obu końcach warunek rezonansu ma postać: L = n l/2. Częstotliwości rezonansowe są takie same, jak w rurze obustronnie zamkniętej. 


Częstotliwości rezonansowe:  fn,   n = 1, 2, 3, . . . .

P r z y k ł a d .   Określmy, jaką długość powinna mieć obustronnie otwarta piszczałka organowa, by jej ton podstawowy miał częstotliwość f1 = 45 Hz. Przyjmując prędkość dźwięku w powietrzu v = 340 m/s, mamy: L = v/2f1 = (340 m/s)/(90/s) ť 3,8 m.

Dudnienia

      Zjawisko dudnienia polega na tym, że w każdym ustalonym punkcie przestrzeni występuje na przemian regularne wzmacnianie i osłabianie dźwięku. Pojawia się wtedy, gdy dodają się dwie fale o podobnych amplitudach lecz nieco różnych częstotliwościach. Częstotliwość tych zmian równa jest różnicy (ściślej: modułowi różnicy) częstotliwości fal pierwotnych: fd = f1 - f2 . Wynik taki otrzymuje się z dodania dwóch drgań o różnych częstotliwościach:

      u = A sin(2pf1t) + A sin(2pf2t) = [2A  ]  sin 2p 

Funkcja sinus reprezentuje drgania z częstotliwością równą średniej arytmetycznej obu drgań. Wyraz w nawiasie kwadratowym reprezentuje amplitudę drgania wypadkowego, która drga z częstotliwością równą połowie różnicy częstotliwości drgań składowych. Amplituda równa jest modułowi tego wyrażenia, zatem jego częstotliwość jest dwa razy większa i równa różnicy częstotliwości. 
P r z y k ł a d.   Dwa dźwięki o częstotliwościach 22 000 Hz i 23 000 Hz są niesłyszalne dla normalnego człowieka. Po ich dodaniu powstają dudnienia o częstotliwości 1000 Hz, które są normalnie słyszalne.
      Dudnienia są przykładem ogólniejszego zjawiska zwanego modulacją. Polega ona na zmianach amplitudy fali, przy czym zmiany te są znacznie wolniejsze od drgań zachodzących w samej fali. Modulacja jest podstawowym sposobem przenoszenia informacji w radiofonii.

Zjawisko Dopplera

      Zjawiskiem Dopplera określa się pozorną zmianę częstotliwości drgań fali, spowodowaną ruchem jej źródła lub ruchem obserwatora albo obu tymi czynnikami jednocześnie.

Przypadek 1. Ruch źródła. 
Załóżmy, że obserwator jest nieruchomy, a źródło fali porusza się w kierunku obserwatora z pewną prędkością vz. Po upływie czasu równego jednemu okresowi T drgań odległość między źródłem i obserwatorem równa jest l' = l - vz T. Jest to więc pozorna długość fali, odbierana 


przez obserwatora. Zatem pozorna częstotliwość f ' wynosi:

      f ' =  = = f  

gdzie v oznacza prędkość fali. Jeśli źródło oddala się od obserwatora, to w mianowniku należy użyć znaku "plus". Ogólnie można więc napisać następujący wzór na częstotliwość drgań fali odbieranej przez obserwatora:
      f ' = f 

przy czym znak górny odpowiada zbliżaniu się źródła do obserwatora.

P r z y k ł a d.   Syrena samochodu emitująca dźwięk o częstotliwości 3000 Hz zbliża się do obserwatora z prędkością 72 km/h (czyli 20 m/s). Dźwięk odbierany przez ucho ma częstotliwość      f ' = 3000 Hz/(1 - 20/340) = 3188 Hz. Dźwięk ten jest wyższy od pierwotnego o 188 Hz. Gdy samochód oddala się od obserwatora z tą samą prędkością, obserwujemy częstotliwość f ' =  2833 Hz, czyli dźwięk niższy od pierwotnego o 167 Hz. 

Przypadek 2. Ruch obserwatora. 

Załóżmy, że obserwator zbliża się od nieruchomego źródła z prędkością vo. Tym razem długość fali nie zmienia się, natomiast prędkość jej rozchodzenia ulega zwiększeniu do wartości v + vo. Pozorna częstotliwość drgań równa jest więc

 

      f ' =   =  = f 

 

Przy oddalaniu się należy przed prędkością obserwatora użyć znaku "minus".

 

Fale akustyczne

 

      Fale akustyczne (inaczej: dźwiękowe) stanowią specyficzną grupę fal mechanicznych. Wytwarzane są przez różne układy drgające takie, jak membrany, struny itp. Następnie rozchodzą się w powietrzu, po czym są odbierane przez ucho. Ich własności są w dużym stopniu zdeterminowane przez budowę i funkcjonowanie układu słuchowego organizmów żywych. 

      Do fal akustycznych zalicza się tylko te fale, które są odbierane przez ucho ludzkie. Są to fale o częstotliwościach zawartych w przedziale od 20 Hz do 20 000 Hz. Granice te nie są jednakowe dla wszystkich ludzi i kurczą się z wiekiem. Odnosi się to szczególnie do wyższych częstotliwości. 

      Fale o częstotliwościach większych od 20 000 Hz nazywane są ultradźwiękami. Są one odbierane przez niektóre zwierzęta (psy, nietoperze i inne). Ich długość fali jest stosunkowo mała - jest rzędu 1 cm, dzięki czemu stały się one wygodnym narzędziem do wykrywania obiektów podobnego rzędu wielkości.

            

Wysokość dzwięku

 

      Dla scharakteryzowania fali akustycznej używa się kilku wielkości, z których część ma charakter obiektywny, a część - subiektywny. Podstawową cechą fali jest częstotliwość, która odczuwa się jako wysokość dźwięku. Wysokość dźwięku w nie jest proporcjonalna do częstotliwości, lecz do logarytmu częstotliwości f ( odniesionej do pewnej częstotliwości podstawowej f0) :  w ~ log (f/f0).  Zależność logarytmiczna odzwierciedla sposób odczuwania dźwięku przez ucho ludzkie. Reaguje ono nie na różnicę częstotliwości, lecz na różnicę logarytmów, czyli na logarytm ilorazu częstotliwości. Oznacza to, że np. różnicę wysokości  dźwięków o częstotliwościach: 440 Hz i 880 Hz odbieramy tak samo, jak różnicę dźwięków o częstotliwościach 880 Hz i 1760 Hz. W obu przypadkach stosunek częstotliwości wynosi 2, co odpowiada jednej oktawie na skali muzycznej. 

 

Natężenie fali akustycznej

           

Wielkość ta jest miarą energii niesionej przez falę. Natężenie to (zwykle oznaczane przez I) definiuje się jako ilość energii przepływającej w jednostce czasu przez jednostkową powierzchnię ustawioną prostopadle do fali:

 

      I = 

 

Jednostką natężenia I jest wat podzielony przez metr kwadratowy.

Aby fala była słyszalna jej natężenie nie może być zbyt małe. Graniczna wartość natężenia nazywa się progiem słyszalności. Próg ten jest różny dla różnych częstotliwości. Został on określony doświadczalnie i na postać przedstawioną na rysunku. Z pokazanej krzywej wynika, że ucho ludzkie jest najwrażliwsze na dźwięki o częstotliwości zbliżonej do 1000 Hz. Minimalna wartość natężenia przy tej częstotliwości (I0) wynosi ok. 10- 12 W/m2


      Dla każdego dźwięku istnieje też ograniczenie z góry. Począwszy od pewnej wartości natężenia ucho zaczyna odczuwać ból. Przy skrajnych wartościach częstotliwości (20 i 20 000 Hz) linia bólu leży bardzo blisko progu słyszalności. Najpóźniej ból pojawia się przy częstotliwości rzędu 1000 Hz. Ten obszar częstotliwości jest więc podwójnie "faworyzowany" przez ucho.
      Subiektywnym odpowiednikiem natężenia fali jest jej głośność. I w tym przypadku nie ma prostej proporcjonalności miedzy wrażeniem słuchowym a natężeniem dźwięku. Zależność ta ma charakter logarytmiczny. W związku z tym wprowadzono wielkość b , nazywaną poziomem natężenia dźwięku. Jej matematyczna definicja jest następująca:
      b =  log 
Jednostką tej wielkości jest bel (B). Aby uzyskać głośność jednego bela, natężenie dźwięku musi być równe 10I0. Jest to jednostka stosunkowo duża i dlatego zwykle używa się jednostki dziesięć razy mniejszej, czyli decybela (dB). Normalnej rozmowie odpowiada poziom rzędu 40 dB; silnik samolotu wytwarza w odległości kilku metrów - dźwięk o głośności 130 dB, osiągając granicę bólu. Jeśli głośność wyrażamy w decybelach, wówczas należy przyjąć definicję: b = 10 log 
      Głośności b1 i b2 dźwięków pochodzących z dwóch źródeł nie dodają się arytmetycznie:        b1 + b2.  Dodają się jedynie natężenia: I = I1 + I2
P r z y k ł a d .   Przypuśćmy, że dźwięk jest wytwarzany przez 5 jednakowych źródeł, znajdujących się blisko siebie. Niech głośność każdego z nich wynosi b1 = 20 decybeli. Sumaryczna głośność wszystkich źródeł wynosi  b= 10 log(5I1/I0) = 10 log 5  + b1 = 27 dB (a nie 100 dB). 

Cechy ruchu falowego


Ruch falowy polega na przenoszeniu ruchu drgającego z jednego miejsca (punktu) ośrodka na inne. Aby sprowokować ten ruch należy odkształcić fragment ośrodka np. wrzucić kamień do wody, uderzyć w strunę, itp. Odkształcenie ośrodka  nie pozostaje w miejscu tylko rozchodzi się w tym ośrodku (cząstki ośrodka wykonują drgania i przekazują je cząstkom sąsiednim)






Wielkości opisujące fale


Do opisu fal używa się pojęć:

a) okres : częstotliwość
b) amplituda
c) długość
d) prędkość
e) promień fali, powierzchnia falowa, czoło fali

  • okres (T) to czas w jakim cząstka ośrodka, w którym rozchodzi się fala wykonuje jedno pełne drganie (przebywa drogę równą czterem amplitudom). Odwrotność okresu to częstotliwość fali 
  • amplituda (A) to maksymalne wychylenie cząstki ośrodka z położenia równowagi w czasie gdy przez ośrodek przechodzi fala
  •   długość fali  
       
    długość fali (l) to droga jaką przebywa fala w czasie jednego okresu, jest to odległość między dwoma cząstkami zachowującymi się identycznie (mającymi tę samą fazę drgań). Pokazuje to poniższy rysunek:

    Długość wyraża się wzorem: 
    V - oznacza prędkość fali
  • prędkość fali (V) to prędkość rozchodzenia się zaburzenia (prędkość przekazywania energii)

    Prędkość fali zależy właściwości sprężystych ośrodka, w którym dana fala się rozchodzi. Fale o różnych częstotliwościach mogą rozchodzić się w tym samym ośrodku z różnymi prędkościami (np. światło czerwone i światło fioletowe rozchodzą się w szkle z różnymi prędkościami).
  • promień fali to kierunek rozchodzenia się fali.
    powierzchnia falowa to zbiór punktów (cząstek) ośrodka, zachowujących się identycznie i jednakowo odległych od źródła fali
    Najbardziej odległa od źródła powierzchnię falową stanowią tzw. czoło fali (zbiór punktów, do których w danej chwili dociera fala).

    Promień falipowierzchnię falową i czoło fali obrazują poniższe rysunki:




Dyfrakcja i interferencja fal

  dyfrakcja na szczelinie  
   
Zjawisko dyfrakcji polega na zmianie kierunku rozchodzenia się fali wtedy gdy fala przechodzi przez szczelinę (otwór) lub napotka na swej drodze krawędź przeszkody.

  dyfrakcja na krawędzi  
   


Zjawisko obserwuje się wyraźnie wtedy gdy rozmiary szczeliny (przeszkody) są porównywalne z długością fali. Po przejściu przez szczelinę fala rozchodzi się we wszystkich kierunkach (np. dźwięki słyszane za drzwiami) czyli jak fala kulista (na płaszczyźnie - kolista). Wyjaśnienie zjawiska opiera się o zasadę HUYGENSA "każdy punkt ośrodka, do którego dociera fala, staje się źródłem nowej, elementarnej fali kulistej".

Zjawisko interferencji zachodzi podczas nakładania się fal tzw. spójnych, czyli fal o tych samych częstotliwościach, długościach poruszających się z tymi sami prędkościami (identyczne fale) różniących się jedynie przebytą drogą (mające stałą różnicę faz). Takie fale można uzyskać mając dwa identyczne źródła lub jedno źródło fali przechodzącej przez dwie (lub więcej) szczeliny.

  interferencja dwu źródeł  
   


  interferencja dwu szczelin  
   


Wynikiem nałożenia fal spójnych jest wzmocnienie lub wygaszenie fal. Wzmocnienie obserwuje się gdy różnica dróg przebytych przez fale jest całkowitą wielokrotnością długości fali, czyli s- s= nl, gdzie n = 0, 1, 2, 3, 4, ... i oznacza numer wzmocnienia (rząd).
Gdy różnica dróg przebytych przez fale jest nieparzystą wielokrotnością połówek długości fali, wtedy nastąpi wygaszenie fal:
Szczególnym przypadkiem interferencji jest wynik nałożenia fali odbitej z falą padającą. Taka fala jest falą stojącą, której charakterystyczne miejsca tzw. węzły (wygaszenie) i strzałki (wzmocnienie) znajdują się w odległości od siebie.


Takie fale wytwarzane są w strunach i słupach powietrza instrumentów muzycznych.