Linia świata i szczególna teoria względności

Zdarzenia A zachodzą w czterowymiarowej czasoprzestrzeni, trzy współrzędne przestrzenne (x, y ,z) i jedna czasowa (t):

A = A (x, y, z, t)

Do ich opisu potrzebujemy czterowymiarowego układu współrzędnych. Ponieważ nasza wyobraźnia jest w stanie uchwycić tylko trójwymiarowe obiekty, musimy użyć dwu- lub trójwymiarowych projekcji, aby je sobie wyobrazić. Najczęściej ograniczamy ilustracje graficzne do zdarzeń jednego obiektu punktowego poruszającego się wzdłuż jednej osi współrzędnych (x). Następnie możemy go przedstawić za pomocą dwuwymiarowego wykresu położenia (odległości przestrzennej) w czasie:

x = x(t)

W przeciwieństwie do znanego schematu droga-w-czasie przedstawiania położenia na osi rzędnych i czasu na osi odciętych układu współrzędnych, w szczególnej teorii względności stało się normą przedstawianie czasu jako rzędnej, a położenia jako odciętej (Diagram czasoprzestrzenny Minkowskiego).

t = t(x)

Ten rodzaj prezentacji jest szczególnie interesujący, gdy obiekty poruszają się z szybkością nie mniejszą niż prędkość światła (c  = 2.99 792 458 *10⁸ m/s), mierzonej względem obserwatora spoczywającego w początku układu. Użycie ct zamiast t jako współrzędnej czasowej na osi rzędnych, daje dla obu osi ten sam wymiar długości.

ct = ct(x)

Linia na tym diagramie kreślona przez obiekt to linia świata. Dla t < 0 pokazuje całą przeszłość zdarzenia, dla t > 0 jego przyszłość. Pojedynczy punkt diagramu nazywany jest zdarzeniem.

Aby uzyskać rozsądne skalowanie szybkich obiektów 2.99 792 458 *10⁸ m/s * (1 jednostka czasu) jest używane jako jednostka dla osi x. Jeśli czas jest mierzony w sekundach, jednostką-x będzie 2.99 792 458 *10⁸ m ≈ 300 000 km =  1 sekunda świetlna.

Przy takim skalowaniu geometrii czasoprzestrzennej sygnał świetlny przechodzący przez punkt początkowy pojawia się jako linia prosta nachylona pod kątem 45 stopni względem osi (stożek świetlny, jeśli obejmuje dwa kierunki przestrzenne).

Symulacja demonstruje cząstkę poruszającą się ze stałym przyspieszeniem po swojej linii świata.

Zgodnie z prawami mechaniki klasycznej nie byłoby ograniczenia szybkości, jaką obiekt może osiągnąć przy stałym przyspieszeniu, względem obserwatora spoczywającego w miejscu startu. Podążałby w czasoprzestrzeni po paraboli.

Szczególna teoria względności mówi nam, że nie jest to możliwe. Rzeczywisty, przyspieszający obiekt może osiągnąć co najwyżej szybkość światła. Gdy zbliża się do tej wartości, z punktu widzenia obserwatora spoczywającego jego masa wzrasta, a przyrost prędkości maleje.

Z punktu widzenia obserwatora poruszającego się wraz z obiektem, prędkość wzrasta. Obserwator spoczywający interpretuje to wrażenie jako spowodowane dylatacją czasu w poruszającym się obiekcie.

Podstawą szczególnej teorii względności jest eksperymentalnie udowodniony fakt, że światło (foton, który nie ma masy spoczynkowej) porusza się ze stałą prędkością c w dowolnym układzie. Jego linia świata jest nachylona pod kątem 45° zarówno dla obserwatora spoczywającego, jak i poruszającego się. Konsekwencją jest to, że żaden obserwowany obiekt nie może podróżować szybciej niż światło. Dlatego wszelkie zdarzenia, które mogą mieć związek przyczynowo-skutkowy, leżą wewnątrz stożka świetlnego. "Klasyczna" linia staje się nierealna, gdy osiąga nachylenie stożka.

Klasyczna i relatywistyczna linia świata

Po wciśnięciu przycisku Uruchom obiekt (czarne koło: klasyczny, magenta: relatywistyczny) rusza z początku układu współrzędnych w kierunku x ze stałym przyspieszeniem a. Jego "klasyczna" linia świata jest pokazana w kolorze czarnym. Przecinałaby czerwony stożek świetlny w x = 2 , a prędkość światła zostałaby osiągnięta przy x = 1 (nachylenie jest równe nachyleniu stożka świetlnego).

Początkowo klasyczne i relatywistyczne obiekty zdają się pokrywać i przemieszczać razem wzdłuż paraboloidalnej klasycznej linii świata, podczas gdy czerwony foton biegnie naprzód w swoim stożku świetlnym z prędkością światła. Kiedy prędkość nie jest już mała w porównaniu do prędkości światła, klasyczna i relatywistyczna linia świata rozdziela się. Podczas gdy "klasyczne", czarne koło kontynuuje po czarnej paraboli, rzeczywisty, obiekt w kolorze magenta rysuje swoją relatywistyczną niebieską linię świata (hiperbola), która w końcu biegnie równolegle do stożka świetlnego, gdy obiekt zbliża się do prędkości światła.

Różnica między "klasycznym" a relatywistycznym opisem staje się oczywista tylko wtedy, gdy szybkość jest rzędu szybkości światła. Przy t wyrażanym w sekundach x = 1 odpowiada 300 000 km. Wszystkie wydarzenia w "normalnym życiu" są ograniczone do najbliższego sąsiedztwa początku układu współrzędnych.

Czarna linia to klasyczne rozwiązanie dla stałego przyspieszania a:

x = 1/2 at²

wyprowadzone z równania różniczkowego

d ²x / d t ²= a

Ruch relatywistyczny jest obliczany numerycznie za pomocą równania różniczkowego

d ²x / d ²t = a sqrt(1-((dx /dt)/c)²)  = a sqrt(1-(v(t)/c)²) 

Czerwona linia to stożek świetlny z x = ct

Uruchom/zatrzymaj uruchamia i zatrzymuje animację. Resetuj przywraca warunki początkowe. Dwukrotne kliknięcie w obszarze panelu włącza/wyłącza tryb pełnoekranowy.

Przyspieszenie można zmienić za pomocą suwaka a. Domyślna wartość to a = 1 co prowadzi do tego, że klasyczny obiekt osiągałby prędkość światła po 1 jednostce ct w odległości 1/2 jednostki x km. Po 2 ct jednostkach obiekt wyprzedziłby wysłany równocześnie z jego startem foton.

W skalowaniu jest otwarte, co jest jednostką czasu. Jeśli czas jest skalowany w sekundach, jednostką skali x jest sekunda świetlna; jeśli latach, to rok świetlny.

Faktyczna relatywistyczna linia świata (niebieska) to hiperbola, która dla małej prędkości nie odróżnia się w sposób widoczny od klasycznej paraboli. Przy dużej szybkości hiperbola biegnie prawie równolegle do stożka świetlnego. Obiekt może zbliżać się do szybkości światła, ale nie może jej osiągnąć.

Ćwiczenia

Ćw.1: Uruchom symulację i sprawdź kiedy stają się zauważalne efekty relatywistyczne. Wypróbuj to dla różnych przyspieszeń.

Ćw.2: Obserwuj stożek świetlny pochodzący z poruszającego się obiektu. W jaki sposób spoczywający obserwator ocenia sygnały świetlne emitowane do przodu lub do tyłu?

Ćw.3: Zastanów się nad skalą wielkości "ziemskich" wydarzeń. Jako przykład weźmy rakietę o stałym przyspieszeniu 10 razy większym od przyspieszenia ziemskiego g  = 9,8 m/s². Ile czasu zajmie zauważalne wystąpienie efektów relatywistycznych? Jak daleko będzie ten obiekt po tym czasie?

Wskazówka do Ćw.3: Grafika pokazuje, że efekty relatywistyczne ujawniają się powyżej 1/2 c. Oblicz t klasycznie dla tej szybkości granicznej z v = at.  Następnie s  = a t²/2.