Wibrująca struna

Ten model rozwiązuje jednowymiarowe równanie falowe. Równanie falowe to liniowe równanie różniczkowe cząstkowe rzędu drugiego uwzględniające siły przyłożone do małego fragmentu struny o długości dx.

Symulacja wibrującej struny

Gdy otwieramy symulację, widzimy strunę uwiązaną na obu końcach. Jest początkowo symetrycznie wygięta w kształcie krzywej Gaussa, o szerokości takiej, że wychylenie na końcach jest bliskie zera.

Przycisk uruchom rozpoczyna obliczenia, zatrzymaj wstrzymuje je, krok oblicza jeden krok. Czas między krokami można zdefiniować za pomocą suwaka szybkość (po dokonaniu wyboru parametry w menu rozwijanym).

Model zakłada, że sąsiednie punkty struny są połączone sprężyście. Długość struny jest podzielona na 1000 punktów obliczeniowych.

Wbrew naiwnym oczekiwaniom struna nie odchyla się po prostu prostopadle do osi (jak w przypadku harmonicznej). Raczej dwa identyczne impulsy, o połowie początkowej amplitudy, biegną do obu końców, są odbijane i rekombinują w środku do początkowego impulsu z przeciwnym znakiem. Po dwóch odbiciach zostaje zrekonstruowany pierwotny puls.

Wzór Gaussa zawiera parametr a określający szerokość impulsu. Po wybraniu za pomocą suwaka a = 0.1, można zaobserwować dwa wyraźnie oddzielone krótkie impulsy, biegnące wzdłuż struny i interferujące.

Przy bardzo wąskim impulsie ( a < 0.03 ) ograniczona rozdzielczość prowadzi do artefaktów obliczeniowych. Można jednak zaobserwować, jak utworzone w ten sposób zniekształcenia dalej się rozwijają.

W menu rozwijanym możemy dokonać wyboru spośród predefiniowanych funkcji, których wykresami są następujące krzywe:

• Dzwonowa o zmiennej szerokości położona symetrycznie
• Dzwonowa o zmiennej szerokości położona niesymetrycznie
• Trójkątna o zmiennej szerokości położona symetrycznie
• Trójkątna o zmiennej szerokości położona niesymetrycznie
• Piłokształtna o spadku gaussowskim
• Piłokształtna wąska o spadku gaussowskim
• Sinusoidalna (w - liczba połówek fali)

Można edytować wyrażenia lub wpisać własne.

Dla w całkowitego fale sinusoidalne oscylują jako fale stojące. Są to mody własne struny. Jednak ten kształt nie jest tworzony przez proste ugięcie prostopadłe do struny, ale przez interferencję dwóch fal biegnących w przeciwnych kierunkach.

W instrumentach muzycznych atrakcyjność określonego dźwięku zależy od jego składowych harmonicznych. Prosta harmoniczna, jak ta z piszczałki organowej, brzmi nudno i nieciekawie, mniej czarująco niż flet poprzeczny o wyższych harmonicznych i dodatkowych efektach oddechowych. W klawesynie ostry, ćwierkający dźwięk jest generowany przez ściśle zlokalizowane, niesymetryczne szarpanie struny. To zlokalizowane początkowe pobudzenie następnie rozchodzi się i interferuje wzdłuż struny.

Gitarzysta wie, że delikatne szarpanie palcami w pobliżu środka struny daje tępy ton, a miejscowe, z użyciem kostki blisko końca prowadzi do ostrych, dzikich dźwięków. Różne przykłady symulacji pomogą zrozumieć te efekty i pokażą jak złożone może być ich wyjaśnienie.

Ćwiczenia

Ćw.1: Uruchom domyślną gaussowską zrozumieć to co obserwujesz jako rozwiązanie równania falowego z dwoma falami poruszającymi się w przeciwnych kierunkach. Zauważ, że impuls odbija się na uwiązanych końcach struny.

Ćw.2: Ustaw a = 0.3; teraz impulsy są wyraźnie rozdzielone.

Ćw.3:  Wybierz funkcję sinus i mod podstawowy w = 1.

Zwiększaj w, biorąc kolejne liczby naturalne. Harmoniczne pojawią się jako fale stojące, z drganiami prostopadłymi do osi struny.

Ćw.4:  Wybierz liczbę niecałkowitą w. Teraz rozpoznasz fale biegnące w przeciwnych kierunkach. (Oś struny może być przekrzywiona.) Małymi krokami przejdź do liczby całkowitej.

Ćw.5:  Wypróbuj inne funkcje i zastanów się, co będzie decydujące dla interesującej jakości brzmienia, z alikwotami i przemieszczającymi się wzbudzeniami.

Uwaga 1:  W rzeczywistości struna będzie tłumiona przez promieniowanie akustyczne i tarcie. Dla wrażenia jakości dźwięku wybrzmiewającego w czasie ważne jest, w jaki sposób tłumione będą różne harmoniczne. Normalnie wysokie harmoniczne będą tłumione znacznie silniej niż niskie. A zatem pojedynczy dźwięk może zaczynać się od efektownego, bogatego w alikwoty spektrum i przejść w łagodną podstawową harmoniczną.

Uwaga 2: W fortepianie przy każdym dźwięku (w środkowym i wyższym zakresie) uderzane są jednocześnie trzy struny, które są prawie, ale nie dokładnie, dostrojone do tej samej częstotliwości. Każda z nich oscyluje w odpowiednim kierunku poprzecznym; wszystkie trzy są silnie sprzężone z powietrzem i ramą. W tym samym czasie pozostałe struny będą delikatnie pobudzane pasującymi harmonicznymi, w zależności od stopnia tłumienia. Zważ, jak bardzo skomplikowane będzie zachowanie się fali w czasie i przestrzeni. Z tego powodu praktycznie niemożliwe jest symulowanie fortepianu za pomocą elektronicznej syntezy (ciekawą próbą jest V-Piano). Najczęstszym sposobem symulacji jest skopiowanie dźwięku prawdziwego fortepianu przez samplowanie.

Dwukrotne kliknięcie otwiera/zamyka tryb pełnoekranowy.