Wizualizacja 3D działań na wektorach

Ta symulacja wizualizuje podstawowe działania na wektorach w przestrzeni 3D. Aktywacja przycisku nowe wektory generuje wektory o losowych kierunkach, przedstawione w postaci niebieskiej i czerwonej strzałki. Dla lepszej przejrzystości wszystkie mają wartość 1 i początek w początku układu współrzędnych, zaznaczonym kolorem magenta. Są one osadzone w sferze o promieniu 1, pokazanej w postaci przezroczystej siatki.

Układ 3D może być obracany przy przeciąganiu myszą, kółkiem myszy ustawimy zoom (w Firefox z wciśniętym klawiszem Ctrl).

W górnym pasku (po wyborze odpowiedniej opcji w rozwijanym menu) wyświetlane są następujące dane dotyczące wektorów a i b

Kąt między wektorami: w stopniach.

Iloczyn wartości: zawsze 1, bo oba mają wartość 1.

Iloczyn skalarny: a∙b = |a| |b| cos(∡(a,b)).

Wartość iloczynu wektorowego: |a × b| = |a| |b| sin(∡(a,b)).

W górnym pasku po wyborze w rozwijanym menu opcji pokaż zaznaczając odpowiednie pola wyboru aktywujemy wyświetlanie wyników następujących działań:

Dodawanie: a + b.

Odejmowanie: a - b.

Odejmowanie: b - a (= -(a - b)).

Iloczyn wektorowy: a × b.

Iloczyn wektorowy: b × a (= - a × b).

Dodawanie 3 wektorów a + b + c: generowanie c i sumy (c w kolorze żółtym).

Wybrana kombinacja jest zachowywana, gdy generowane są nowe wektory.

Działania na wektorach

Wektory

a = [a₁ , a₂ , a₃]

b = [b₁ , b₂ , b₃]

Wartość (długość wektora) |a| = √(a₁² + a₂² + a₃²)

Dodawanie a + b = [a₁+b₁ ,a₂+b₂ , a₃+b₃] = b + a

Odejmowanie a - b =  [a₁ -b₁ ,a₂- b₂ , a₃- b₃]= - (b - a)

Odejmowanie b - a = [b₁- a₁ , b₂- a₂ , b₃- a₃] = - (a - b)

Mnożenie przez liczbę k: ka = [ka₁ , ka₂ , ka₃]

Iloczyn skalarny a · b = a₁b₁ +a₂b₂ + a₃b₃ = |a| |b| cos(∡(a,b) )

a ⊥ b ⇒ ∡(a,b) = 90^o ⇒cos 90^o = 0 ⇒ iloczyn skalarny = 0

Iloczyn wektorowy  a × b = (a₂b₃-b₂a₃ , a₃b₁ - b₃a₁ , a₁b₂ - a₂b₁)

Iloczyn wektorowy b × a= (b₂a₃- a₂b₃ , b₃a₁ - a₃b₁ , b₁a₂ - a₁b₂) = - a × b

Wartość iloczynu wektorowego |a × b| = |a| |b| sin(∡(a,b))

a ∥ b ⇒ ∡(a,b) = 0^o ⇒sin(∡(a,b)) = 0 ⇒ | a × b| = 0

a × b i b × a są prostopadłe do płaszczyzny wspólnej dla a i b

a nałożone na b daje kierunek obrotu śruby prawoskrętnej, której ruch wskaże zwrot wektora a × b .

Ćwiczenia

Ćw.1: Wygeneruj losowe wektory. Obróć sferę, aby uzyskać widok z góry na ich wspólną płaszczyznę. Oszacuj kąt między wektorami i porównaj swoje oszacowanie z wartością wyświetlaną w górnym wierszu (po dokonaniu wyboru inne w menu rozwijanym). Eksperymentuj z różnymi widokami .

Ćw.2: Iloczyn wartości jest wyświetlany jako 1 (każdy z dwóch wektorów ma wartość 1). Porównaj to z iloczynem skalarnym. Kiedy iloczyn skalarny równa się iloczynowi wartości wektorów? Kiedy jest zero? Obserwuj kąt między wektorami.

Ćw.3: Zaznacz, (po dokonaniu wyboru pokaż w menu rozwijanym), a + b. Od końca wektora a poprowadzono niebieski odcinek o kierunku i długości wektora b. Żółty wektor to wektor sumy. Opisz jego geometryczną konstrukcję (utwórz domyślnie równoległobok). Przekonaj się obracając układ, że a, b i a+b leżą w jednej płaszczyźnie.

Ćw.4: Obracaj układ i obserwuj, że konstrukcja równoległoboku obowiązuje dla każdej projekcji.

Ćw.5: Jak w E3, ale dołóż a + b + c. Oprócz wektora a+b zobaczysz trzeci wektor c oraz wektor sumy a+b+c. Zauważ, że a, b i c na ogół nie nie leżą w jednej płaszczyźnie. Wykonaj geometryczną konstrukcję przejścia od a+b do a+b+c .

Ćw.6: Zamknij inne opcje i wybierz a - b. Pojawi się wektor różnicy w kolorze magenta. Przekonaj się, obracając układ, że ta konstrukcja działa również przy dowolnej projekcji. Zapamietaj, że a + (-b) = a - b.

Ćw.7: Wybierz b - a i zinterpretuj geometrycznie równanie b - a = - (a - b).

Ćw.8: Zamknij inne opcje i wybierz iloczyn wektorowy a × b , który pojawi się jako czarna strzałka. Obróć układ tak, aby spojrzeć wzdłuż kierunku iloczynu wektorowego. Zauważ, że patrzysz prostopadle na wspólną płaszczyznę a i b (przy tej perspektywie oba wektory powinny dotykać obrzeża koła).

Ćw.9: Wybierz kilka razy nowe wektory i zwróć uwagę, kiedy wartość iloczynu wektorowego jest mała, a kidy duża. Jakie jest kryterium? Jakie są wartości minimalne i maksymalne? (wartość a i b wynosi 1).

Ćw.10: Wybierz b × a i zinterpretuj geometrycznie równanie b × a = - a × b .

Kliknij dwukrotnie w dowolnym miejscu panelu, aby włączyć/wyłączyć tryb pełnoekranowy.