+ Pokaż spis treści

Ciągi

Jesteś tu: Baza wiedzy / Matematyka / Ciągi


Ciągiem nazywamy każdą funkcję , której dziedziną jest zbiór liczb naturalnych  (ciąg nieskończony) lub skończony początkowy podzbiór zbioru liczb naturalnych  (ciąg skończony). Przyjmuje się też czasami, że dziedziną ciągu może być zbiór liczb naturalnych z zerem (np. w ciągu Fibonacciego).

Wartość funkcji  dla argumentu  nazywamy tym wyrazem ciągu i oznaczamy symbolem :


Ciąg o wyrazach  zapisujemy symbolicznie jako .

Wyrazami ciągu mogą być elementy dowolnego zbioru . Jeśli zbiór jest zbiorem liczb rzeczywistych, to ciąg nazywamy liczbowym.


Najważniejsze sposoby opisu ciągów liczbowych:

1. Wzór ogólny - podaje zależność między -tym wyrazem ciągu  a jego numerem  (wskaźnikiem ) np.


2. Wzór rekurencyjny (indukcyjny) - wyraz  ciągu zostaje wyrażony przy pomocy poprzednich wyrazów tego ciągu, przy czym musi zostać podany wyraz pierwszy  np.



Nie każdy ciąg  liczbowy daje się przedstawić przy pomocy powyższych wzorów.

Monotoniczność ciągu

* Ciąg nazywamy rosnącym Ű   - tzn. każdy następny wyraz jest większy od poprzedniego.

* Ciąg nazywamy malejącym Ű  - tzn.  każdy następny wyraz jest mniejszy od poprzedniego.

* Ciąg nazywamy nierosnącym Ű  - tzn. każdy następny wyraz jest nie większy od poprzedniego (mniejszy bądź równy).

* Ciąg nazywamy niemalejącym Ű  - tzn. każdy następny wyraz jest nie mniejszy od poprzedniego (większy bądź równy).

* Ciąg nazywamy stałym Ű  - tzn. wszystkie wyrazy ciągu są takie same.

Ciąg stały jest nierosnący i niemalejący jednocześnie.

Ciąg nierosnący lub niemalejący nazywamy monotonicznym, ciąg rosnący lub malejący nazywamy ściśle monotonicznym.

Aby zbadać monotoniczność ciągu wyznaczamy różnicę  i badamy jej znak.

Przykład:   
Zbadaj monotoniczność ciągu opisanego wzorem ogólnym: .

Rozwiązanie.
Tworzymy wyraz następny ciągu:  

i wyznaczamy różnicę:



.

Ponieważ  więc  dla każdego . Wynika stąd, że  a więc dany ciąg, zgodnie z definicją, jest rosnący.


Ciąg ograniczony

Ciąg  jest ograniczony Ű .