+ Pokaż spis treści

Ciąg arytmetyczny i geometryczny


Pojęcie ciągu arytmetycznego

 
Ciąg liczbowy  nazywamy ciągiem arytmetycznym gdy jest co najmniej trzywyrazowy, i którego każdy wyraz, począwszy od drugiego, powstaje przez dodanie do wyrazu poprzedniego stałej liczby . Liczbę  nazywamy różnicą ciągu arytmetycznego.
 
Pojęcie ciągu geometrycznego

Ciąg liczbowy  nazywamy ciągiem geometrycznym gdy jest co najmniej trzywyrazowy, i którego każdy wyraz, poczynając od drugiego, powstaje z pomnożenia wyrazu  poprzedniego przez stałą liczbę  zwaną ilorazem tego ciągu.
 
Własności ciągów arytmetycznych i geometrycznych
 
Tabela przedstawiająca własności ciągu arytmetycznego i geometrycznego.
 
  Ciąg arytmetyczny Ciąg geometryczny  
Definicja (wzór
rekurencyjny)
 
 
Wzór ogólny  
 
Zależność między
trzema sąsiednimi
wyrazami ciągu
 
 
Suma pierwszych
n wyrazów ciągu
 

 
 
Monotoniczność
ciągu
r 0,  ciąg malejący,
r = 0,  ciąg stały,
r 0,  ciąg rosnący.
q 0,  ciąg niemonotoniczny,
q = 1,  ciąg stały,
a1 = 0, ciąg stały,
0 q 1 i a1 0, ciąg malejący,
q 1 i a1 0, ciąg malejący,
0 q 1 i a1 0, ciąg rosnący,
q 1 i a1 0, ciąg rosnący.
 
Przykład 1:
Wyznacz ciąg arytmetyczny malejący, w którym iloczyn wyrazu trzeciego i szóstego jest równy , zaś przy dzieleniu wyrazu drugiego przez piąty otrzymujemy iloraz  i resztę .
 
Rozwiązanie:
Z treści zadania wynikają dwa warunki: 
 
 oraz .
 
Drugi warunek można zapisać w postaci:

 
Korzystając ze wzoru ogólnego ciągu arytmetycznego otrzymujemy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi  i :

 
wyznaczając z drugiego równania niewiadomą  w zależności od niewiadomej 

i wstawiając do równania pierwszego otrzymuje się równanie kwadratowe:
 
.
 
,    .
Ciąg ma być malejący, więc 
Tylko  spełnia ten warunek. Dla  wyraz pierwszy ciągu jest równy . Szukanym ciągiem jest więc ciąg: 
.
 
Przykład 2:
Dla jakiej wartości zmiennej  liczby:  tworzą ciąg geometryczny.
 
Rozwiązanie.
Aby trzy liczby tworzyły ciąg geometryczny muszą spełniać zależność między trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego: .
W zadaniu:
.
Po przekształceniach otrzymujemy równanie:
 
      .
 
Tak więc dla  powyższe liczby tworzą ciąg geometryczny.