+ Pokaż spis treści

Bryła sztywna


Bryłą nazywa się układ wielu (na ogół) punktów materialnych, których wzajemne odległości pozostają stałe. Pojęcie bryły rozszerza się także na obiekty mikroskopowe, takie jak np. cząsteczki chemiczne. Rozkład mas w obrębie bryły opisuje się przez różne parametry, z których najważniejszymi są: środek masy oraz moment bezwładności.
 
Środek masy
 
Pojęcie to odnosi się nie tylko do brył sztywnych, ale także do dowolnego układu punktów materialnych. Jest to punkt geometryczny, w którym jakby koncentruje się masa całego układu. Jest to średnie położenie poszczególnych składowych układu. W przypadku brył jednorodnych środek masy pokrywa się ze środkiem geometrycznym. Środek masy kuli leży w jej środku, środek masy odcinka znajduje się w jego połowie, środek masy trójkąta leży na przecięciu się jego środkowych.

Środek masy S dwóch ciał o masach m oraz M określa się jako punkt leżący na odcinku łączącym te masy, przy czym md = MD


Przykład 1. Środek masy dwóch ciał o masach 1 kg i 3 kg, oddalonych o 40 cm, znajduje się w punkcie S odległym o 10 cm od ciała cięższego i 30 cm - od ciała lżejszego.
 
Przykład 2. Środek masy ciała w kształcie litery L, w której pozioma część (o długości a) jest 2 razy krótsza od części pionowej, znajduje się w następujący sposób. Najpierw zastępujemy obie części litery przez dwie masy punktowe, usytuowane w punktach A i B. Współrzędne tych punktów są równe: A  = (0, a), B = (a/2, 0). Następnie znajdujemy położenie środka masy tych punktów względem kierunku Ox  oraz Oy oddzielnie. Współrzędne środka mas oznaczmy jako S = (x, y). Wówczas w kierunku poziomym mamy równość: 2m x = m (a/2 - x), skąd znajdujemy: x = -a/6. W kierunku pionowym obowiązuje podobna zależność: 2m(a - y) = m y, skąd wynika, że y = a/3. Zatem środek masy takiego ciała znajduje się  w punkcie o współrzędnych:
 
S = (a/6, a/3)


Przykład 3.   Środek masy S układu Ziemia - Księżyc. Masa Ziemi MZ  wynosi ok.   6 × 1024 kg, zaś masa Księżyca MK - ok. 7,3 × 1022 kg. Odległość d między środkami tych ciał jest bliska wartości 3,84 × 108 m. Odległość x środka masy S od środka Ziemi określamy z równania: x MZ = (d - x) MK.
Po prostych przekształceniach otrzymujemy stąd x = 4600 km. Promień Ziemi wynosi ok. 6370 km, a zatem środek masy układu Ziemia - Księżyc znajduje się wewnątrz Ziemi. Wokół tego punktu obracają się - w rytmie miesięcznym - oba ciała jak jedna sztywna całość.
 
Ruch środka masy
 
Środek masy porusza się tak, jakby cała masa M ciała była skupiona w tym punkcie. Jego przyspieszenie a0 określone jest przez sumę sił zewnętrznych F działających na bryłę:
 

 
Oznacza to, że siły istniejące między poszczególnymi częściami ciała nie mają wpływu na jego ruch postępowy. Na mocy trzeciej zasady dynamiki Newtona siły wewnętrzne znoszą się parami. Gdy wypadkowa sił zewnętrznych równa jest zeru, środek masy spoczywa (lub porusza się jednostajnie po prostej).

Ruch środka masy bryły utożsamiamy z jej ruchem postępowym
 
Przykład 1.   Na końcu nieruchomej łodzi o masie M = 200 kg i długości L = 6 m stoi człowiek o masie m = 50 kg. W pewnym momencie człowiek przeszedł na drugi koniec łodzi. W tym czasie łódź przesunęła się o pewien odcinek x względem wody. Jego wartość znajdujemy z warunku stałości położenia środka masy (linia przerywana).



Środek łodzi (zaznaczony kreseczką) przesunął się o wartość dwa razy większą, niż wynosi jego odległość d od ustalonego punktu S. Określamy ją z równości: 200 d = 50 (3 - d) Stąd mamy:    d = 0,6 m. Przesunięcie łodzi wynosi więc 1,2 m.
 
Przykład 2.   Pocisk wystrzelony pod pewnym kątem do powierzchni Ziemi porusza się po paraboli. W pewnym momencie rozpada się na kilka części. Mimo to środek masy kontynuuje lot po pierwotnej paraboli.
 
Moment bezwładności
 
Moment bezwładności jest miarą bezwładności w ruchu obrotowym. Oznacza się go symbolem I. Jego wartość w istotnym stopniu zależy od rozkładu mas w obrębie bryły. Definiuje się go jako sumę mas składających się na bryłę, pomnożonych przez kwadraty ich odległości od osi obrotu:
 
I = m1d1 + m2d2 + m3d3 + . . .



Przykład  Moment bezwładności cząsteczki amoniaku, mającej kształt czworościanu prawidłowego. Jego podstawą jest trójkąt równoboczny (o boku a), w wierzchołkach którego znajdują się atomy wodoru (każdy o masie m). Atom azotu znajduje się w górnym wierzchołku "bryły".



Jeśli za oś obrotu przyjmiemy oś symetrii tej cząsteczki (linia przerywana), to wszystkie atomy wodoru są od niej odległe o tę samą wartość d = . Moment bezwładności cząsteczki wynosi więc I = 3(m) = ma2.  Atom azotu nie daje przyczynku do momentu bezwładności względem tej osi.
 
Momenty bezwładności najprostszych brył podaje poniższa tabelka. Obliczone one zostały metodami rachunku całkowego.
 
Lity walec o masie M i promieniu R z osią obrotu pokrywającą się z jego osią:

Walec pusty wewnątrz o masie M i promieniu R z osią obrotu pokrywającą się z jego osią:  MR2.
Kula o masie M i promieniu R z osią obrotu przechodzącą przez jej środek: 
Jednorodny pręt o masie M i długości l z osią przechodzącą przez jego koniec: 
 
Ruch obrotowy bryły sztywnej
 
Jeśli bryła może wykonywać ruch obrotowy lub wahadłowy wokół ustalonej, nieruchomej osi, to przyspieszenie kątowe e tego ruchu określone jest przez dwie wielkości: całkowity moment sił zewnętrznych K oraz moment bezwładności I ciała względem tej osi:
 

 
Przykład  Ruch obrotowy bloczka (czyli jednolitego krążka o masie M i promieniu R), ciągniętego linką o naprężeniu T.  W tym przypadku
 
 =



Energia kinetyczna ruchu obrotowego
 
Energia kinetyczna obracającej się bryły równa jest sumie energii kinetycznych poszczególnych cząstek bryły. Po ich zsumowaniu dostaje się następujący wynik:
 

 
gdzie w oznacza (chwilową) prędkość kątową obrotu.
 
Przykład  Toczący się z prędkością liniową v pełny walec o masie M i promieniu R ma energię kinetyczną równą sumie energii kinetycznej ruchu postępowego i energii ruchu obrotowego:
 
 +
 
Gdy toczenie walca odbywa się bez poślizgu, to jego prędkość kątowa w = . Wtedy otrzymujemy:
 
 =
           
W przypadku walca pustego wewnątrz,
 
Moment pędu bryły sztywnej
         
Całkowity moment pędu L bryły równy jest sumie momentów pędu poszczególnych cząstek; wynosi ona:
 
L = Iw.
 
W przypadku bryły odizolowanej jej moment pędu pozostaje stały niezależnie od dokonujących się w jej wnętrzu przemian. Zmniejszeniu się jej momentu bezwładności musi towarzyszyć podobny wzrost prędkości kątowej i na odwrót.
 
Przykład  Jednorodna kula o ustalonej masie obraca się początkowo z pewna prędkością kątową. Po pewnym czasie zapada się tak, że jej średnica maleje dwukrotnie. Oznacza to, że jej moment bezwładności (równy MR2) maleje 4 razy. Zatem prędkość kątowa jej obrotu musi zwiększyć się czterokrotnie.
            
Wahadło fizyczne
 
Wahadłem fizycznym zwykło się nazywać bryłę, mogącą wykonywać drgania wokół ustalonej osi, nie przechodzącej przez jej środek masy.  Działający na bryłę moment sił równy jest K = Mg sin a. Jeśli kąt odchylenia od pionu a jest mały, to sin a ť a i wówczas związek między przyspieszeniem kątowym e oraz wychyleniem kątowym a jest następujący:
 
e =  =



Współczynnik proporcjonalności między tymi wielkościami ma sens kwadratu (2p/T)2. Stąd wynika, że okres drgań T jest równy:
 
T = 2p
 
W powyższym wzorze M oznacza masę bryły, I - jej moment bezwładności względem osi obrotu, d - odległość środka masy od osi obrotu, g - przyspieszenie ziemskie.
 
Przykład  Jednorodny pręt o masie M i długości l zawieszony na jednym końcu. W tym przypadku d = l/2 (środek masy znajduje się w środku pręta), zaś I = Ml2/3. Zatem pręt wykonuje drgania z okresem T równym:

T = 2p

Okres ten jest ok. 0,8 razy mniejszy od okresu drgań wahadła matematycznego o tej samej długości, w którym cała masa skupiona jest na końcu nici.