zbiory

Matematyka - Zbiory

Pojęcie zbioru

      Pojęcie zbioru jest jednym z pierwotnych pojęć matematycznych, a więc pojęciem nie definiowanym.
Używane jest we wszystkich działach matematyki, podobnie jak w mowie potocznej, w znaczeniu kolekcji określonych obiektów np. zbiór uczniów w klasie, zbiór liczb pierwszych, zbiór rozwiązań nierówności itp.
 
Obiekty, które należą do danego zbioru nazywamy elementami tego zbioru.
 
      Zbiory oznaczamy zwykle dużymi literami A, B, X ,Y, W, ...., a ich elementy małymi literami: a, b, x, y, w, ...
 
Jeżeli element a należy do zbioru A , to zapisujemy to symbolicznie .
Jeśli element a nie należy do zbioru A, to piszemy .

Symbolem oznaczamy zbiór skończony o n elementach. 
Zbiór, do którego nie należy żaden element nazywamy zbiorem pustym i oznaczamy symbolem .

Zbiór, który nie jest skończony i który nie jest pusty, nazywamy zbiorem nieskończonym.

Mocą zbioru skończonego nazywamy ilość elementów tego zbioru i oznaczamy symbolem .
 
Najważniejsze sposoby określenia zbioru:
 

1. Wymienienie wszystkich jego elementów, 
   .
   
2. Podanie warunków, jakie spełniają elementy zbioru i tylko one
   .
    Z powyższego opisu wynika, że

Podzbiory.
 
      Zbiór  jest zawarty w zbiorze , lub inaczej mówiąc zbiór  jest podzbiorem zbioru . wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element zbioru  należy do zbioru .

 
      W szczególności każdy zbiór jest swoim własnym podzbiorem  tzn. oraz zbiór pusty jest podzbiorem każdego zbioru tzn.
 
Jeśli , to zbiór A nazywamy podzbiorem właściwym zbioru B.
 
      Każdy zbiór skończony -elementowy ma  wszystkich podzbiorów (łącznie z samym sobą i zbiorem pustym).
 
Przykład:
Wypisz wszystkie podzbiory zbioru
 
Rozwiązanie:
Zbiór  jest zbiorem 3 elementowym, więc ma  podzbiorów:
,  , ,  ,
, , , 
 
Równość zbiorów
 
      Zbiory oraz są równe wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór  jest podzbiorem zbioru , a zbiór  jest podzbiorem zbioru , czyli każdy element zbioru  jest elementem zbioru  i na odwrót.

 
Zbiory są równe, jeśli mają takie same elementy.
 
Przykład:
Sprawdź, czy równe są poniższe zbiory.

 

 
Rozwiązanie:
      Zbiory  i są równe, ponieważ należą do nich takie same elementy :
(kolejność zapisu nie jest ważna). Dla sprawdzenia, czy zbiór  jest równy zbiorom  i należy wypisać jego elementy. Po rozwiązaniu warunku określającego zbiór  otrzymujemy:

 
Wszystkie trzy zbiory składają się z takich samych elementów, więc są równe: .
 
Działania na zbiorach:
 

1.       Sumą dwóch zbiorów  nazywamy zbiór tych elementów, które należą do zbioru  lub do zbioru .
     lub 
   
2.       Iloczynem (częścią wspólną) zbiorów  nazywamy zbiór tych elementów, które należą jednocześnie do zbioru  i do zbioru .
      lub  
    
   Zbiory  i  są rozłączne, wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn jest zbiorem pustym.
   
   
3.       Różnicą zbiorów  nazywamy zbiór tych elementów, które należą do zbioru  i nie należą do zbioru .
      lub  
   
4.       Jeżeli  jest dowolnym zbiorem w przestrzeni , to dopełnieniem  zbioru (w przestrzeni ) nazywamy różnicę zbiorów  i .
      lub  
   

Iloczyn kartezjański zbiorów.
 
      Iloczynem kartezjańskim zbiorów  i  () nazywamy zbiór wszystkich uporządkowanych par  takich, że

 
Podstawowe prawa rachunku zbiorów:

1. Prawa De Morgana:
   ,
   
   
2. Prawa przemienności dodawania i mnożenia:
   
   
   
3. Prawa łączności dodawania i mnożenia:
   
   (A ČB)Č C = A Č(B Č C),(A Ç B) Ç C = A Ç (B Ç C).
   
4. Prawa rozdzielności:
   mnożenia względem dodawania:  A Ç (B ČC) = (A Ç B) (A Ç C),
   dodawania względem mnożenia:  A (B Ç C) = (A B) Ç (A C).
   
5. Prawa idempotentności dodawania i mnożenia:
   
   A Č A = A        A Ç A = A
   
6. Zamiana różnicy na iloczyn zbiorów:
   A B = A Ç B'.
   
7. Działania ze zbiorem pustym Ć:
   A = A,   A Ç = Ć,  A Ć= A,  Ć A = Ć.

Przedziały liczbowe.
 
      Ważnymi podzbiorami zbioru liczb rzeczywistych  są przedziały.
Niech  będą liczbami rzeczywistymi takimi, że .
Wszystkie rodzaje przedziałów o końcach  zawiera tabela:

Nazwa	Zapis	Określenie
Przedział obustronnie otwarty	(a, b)	x Î <=> (a, b) a < x < b.
Przedział obustronnie domknięty	á a, b ń	x Îáa, bń a ? x ? b.
Przedział lewostronnie domknięty	áa, b)	x Î áa, b) a ? x ? b.
Przedział prawostronnie domknięty	(a, bń	x Î (a, bń <=> a < x ? b.
Przedział lewostronnie nieograniczony i prawostronnie otwarty	(-Ą, b)	x Î (-Ą,  b) <=>x < b.
Przedział lewostronnie nieograniczony i prawostronnie domknięty	(-Ą, bń	x Î (-Ą,  bń <=> x ? b.
Przedział lewostronnie otwarty i prawostronnie nieograniczony	(a, Ą)	x Î (a,Ą) x > a.
Przedział lewostronnie domknięty i prawostronnie nieograniczony	áa,Ą )	x Î áa,Ą) <=> x ł a.

W szczególnym przypadku :
.