zbiory

Zbiory

Pojęcie zbioru jest jednym z pierwotnych pojęć matematycznych, a więc pojęciem nie definiowanym.
Używane jest we wszystkich działach matematyki, podobnie jak w mowie potocznej, w znaczeniu kolekcji określonych obiektów np. zbiór uczniów w klasie, zbiór liczb pierwszych, zbiór rozwiązań nierówności itp.

Obiekty, które należą do danego zbioru nazywamy elementami tego zbioru.

Zbiory oznaczamy zwykle dużymi literami , ...., a ich elementy małymi literami: ...

Jeżeli element  należy do zbioru , to zapisujemy to symbolicznie  .  Jeśli element  nie należy do zbioru , to piszemy .

Symbolem oznaczamy zbiór skończony o n elementach.
Zbiór, do którego nie należy żaden element nazywamy zbiorem pustym i oznaczamy symbolem .

Zbiór, który nie jest skończony i który nie jest pusty, nazywamy zbiorem nieskończonym.

Najważniejsze sposoby określenia zbioru:

1. Wymienienie wszystkich jego elementów:
   np. .
   
2. Podanie warunków, jakie spełniają elementy zbioru i tylko one:

.
Z powyższego opisu wynika, że

Podzbiory

Zbiór  jest zawarty w zbiorze , lub inaczej mówiąc zbiór < jest podzbiorem zbioru , wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element zbioru  należy do zbioru .
,  jeśli  z warunku, że  dla dowolnego elementu .

RYSUNEK
Zawieranie się zbiorów.

W szczególności każdy zbiór jest swoim własnym podzbiorem  tzn.  oraz zbiór pusty    jest podzbiorem każdego zbioru tzn. .

Jeśli , to zbiór A nazywamy podzbiorem właściwym zbioru B.

Przykład:
Wypisz wszystkie podzbiory zbioru .
 
Rozwiązanie:

, _{, , , , , ,} 

Równość zbiorów

Zbiory  i  są równe wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór  jest podzbiorem zbioru , a zbiór  jest podzbiorem zbioru , czyli każdy element zbioru  jest elementem zbioru  i na odwrót.



RYSUNEK
Równość zbiorów

Zbiory są równe, jeśli mają takie same elementy.

Przykład.
Sprawdź, czy równe są zbiory:
 , 

Rozwiązanie:
Zbiory A i B są równe, ponieważ należą do nich takie same elementy :  (kolejność zapisu nie jest ważna). Dla sprawdzenia, czy zbiór C jest równy zbiorom A i B, należy wypisać jego elementy. Po rozwiązaniu warunku określającego zbiór C otrzymujemy:

.

Wszystkie trzy zbiory składają się z takich samych elementów, więc są równe: .