VI 3b optyka geometryczna

Fizyka - Fale 3b

Optyka geometryczna c.d

Zwierciadła sferyczne

      Rozróżnia się dwa typy zwierciadeł sferycznych: wklęsłe (a) i wypukłe (b). Każde takie zwierciadło ma pewien promień krzywizny R. Zwykle zakłada się, iż jest on na tyle duży, że zakrzywienie zwierciadła jest słabe. Warunek ten można spełnić automatycznie, jeśli założy się, że padające promienie biegną blisko osi zwierciadła, padając na nie pod małymi kątami.

      Wiązka promieni równoległych do osi zwierciadła wklęsłego odbija się tak, że promienie odbite zbiegają się w jednym punkcie zwanym ogniskiem F zwierciadła. Punkt ten leży po tej stronie zwierciadła, co i środek jego krzywizny O - przed zwierciadłem. Odległość ogniska od wierzchołka zwierciadła nazywa się ogniskową. Należy zaznaczyć, że ognisko jest dobrze określone jedynie dla promieni przyosiowych; wiązka szeroka nie skupia się w jednym punkcie.

W przypadku zwierciadła wypukłego zarówno środek krzywizny, jak i ognisko, leżą za zwierciadłem.
      Wartość ogniskowej zwierciadła sferycznego równa jest połowie promienia:

      f =

Konstrukcja obrazu w zwierciadle sferycznym

      Położenie obrazu (y) wiąże się z położeniem przedmiotu (x) równością, zwaną równaniem zwierciadła:

       + = ą

Znak "plus" odnosi się do zwierciadła wklęsłego, znak " minus" - do zwierciadła wypukłego.
Położenie x jest zwykle liczba dodatnią, co oznacza, że przedmiot jest rzeczywisty i znajduje się przed zwierciadłem. W niektórych przypadkach (np. wtedy, gdy między przedmiotem a zwierciadłem znajduje się soczewka) przedmiot może być pozorny (wypada za zwierciadłem) i wówczas jego położenie x przyjmujemy za ujemne. Ta sama konwencja odnosi się do obrazu. Jego położenie y jest dodatnie wtedy, gdy obraz powstaje przed zwierciadłem. W przeciwnym razie (y 0), obraz jest pozorny.

Obraz każdego punktu przedmiotu powstaje w miejscu przecięcia się promieni wychodzących z tego punktu, po odbiciu od zwierciadła. Do znalezienia obrazu jednego punktu wystarczy naszkicować bieg dwóch promieni. Jednym z nich może być promień biegnący równolegle do osi zwierciadła (po odbiciu przechodzi przez ognisko),  drugim - promień przechodzący przez środek krzywizny (po odbiciu biegnie przeciwnie do promienia padającego). Można też jeden promień poprowadzić przez wierzchołek zwierciadła - po odbiciu biegnie symetrycznie względem osi.
      Stosunek wysokości obrazu i przedmiotu nazywa się powiększeniem liniowym (p). Z czysto geometrycznych rozważań wynika, że

      p =

(wartości bezwzględne zapewniają dodatniość p w przypadku obrazów pozornych).

P r z y k ł a d.   Rozważmy zwierciadło wklęsłe o promieniu krzywizny R = 40 cm. Niech przedmiot (o wysokości 5 cm) znajduje się w odległości x = 15 cm. Jego obraz powstaje w odległości y spełniającej równanie: +  = . Wynika stąd, że y = -60 cm. Ujemna wartość oznacza, że obraz powstaje za zwierciadłem (jest więc obrazem pozornym), a jego powiększenie wynosi p = 4. W tym przypadku obraz jest prosty (ma ten sam zwrot, co i przedmiot).


Soczewki

      Soczewką nazywa się fragment ośrodka przezroczystego, ograniczonego dwoma powierzchniami sferycznymi. Dla jej scharakteryzowania używa się trzech parametrów: dwóch promieni krzywizn powierzchni ograniczających (R₁ i R₂) oraz współczynnika załamania n ośrodka względem próżni. Linia łącząca środki krzywizn nazywa się osią optyczną soczewki.
      Pod względem kształtu soczewki można podzielić na 6 grup: (a) dwuwypukłe, (b) płasko-wypukłe, (c) wklęsło-wypukłe, (d) wypukło-wklęsłe, (e) płasko-wklęsłe i (f) dwuwklęsłe.

Przy rozwiązywaniu zadań z udziałem soczewek przyjmuje się uproszczony symbol na soczewkę, a mianowicie dwustronną strzałkę lub strzałkę z odwróconymi grotami.              

Ognisko i ogniskowa soczewki

      Promienie biegnące równolegle do osi soczewki i w niezbyt dużej od niej odległości po przejściu przez soczewkę tworzą wiązkę zbieżną do jednego punktu lub rozbieżną z jednego punktu. Punkt ten nazywamy ogniskiem soczewki F.

W pierwszym przypadku mówimy o soczewce skupiającej (zbierającej), w drugim - o soczewce rozpraszającej. Każda soczewka może być skupiająca bądź rozpraszająca, zależnie od ośrodka, w którym jest umieszczona. W powietrzu skupiające są soczewki wypukłe (grubsze w środku niż na brzegach - (a), (b) i (c) ), zaś rozpraszającymi są soczewki wklęsłe ((d), (e) i (f)).
      Każda soczewka posiada dwa ogniska, po jednym z każdej strony. Jeśli z obu stron soczewki jest taki sam ośrodek, to ogniska znajdują się symetrycznie.
      Odległość ogniska od środka soczewki nazywa się jej ogniskową f. Jej odwrotność określona jest wyrażeniem:
 
       =  ,

gdzie n₀ oznacza współczynnik załamania ośrodka otaczającego soczewkę. W powietrzu jego wartość przyjmuje się za równą 1.
      Tak zdefiniowana wartość może być zarówno dodatnie, jak i ujemna. Dla soczewek skupiających jej wartość jest dodatnia. Ujemna wartość oznacza, że soczewka jest rozpraszająca. Przy określaniu f przyjmuje się zasadę, że promień krzywizny powierzchni wklęsłej jest ujemny.

P r z y k ł a d.   Rozważmy soczewkę wypukło - wklęsłą (d), której promienie wynoszą: R₁ = - 10 cm, R₂ = - 20 cm,   n = 1,4.  Jej ogniskowa w powietrzu wynosi  f = [0,4 ( - 1/10 + 1/20)]^-1  cm = - 50 cm. Jest to więc soczewka rozpraszająca. Jeśli tę samą soczewkę zanurzymy w cieczy o współczynniku załamania n₀ = 1,6 , to f = [- 1/8 ( - 1/10 + 1/20)]^-1 = 160 cm. W tym przypadku soczewka jest skupiająca.

      Odwrotność ogniskowej nazywa się zdolnością skupiającą soczewki D. Jej jednostką jest dioptria (D), równa odwrotności metra.

      Ogniskowa zależy od barwy światła, gdyż różnym barwom odpowiadają na ogół różne wartości współczynnika załamania. Najbardziej załamują się promienie fioletowe, najmniej - czerwone.

Ogniskowa dla światła fioletowego jest więc najmniejsza, dla światła czerwonego - największa. Inne barwy mają pośrednie wartości ogniskowych.

Równanie soczewki

      Położenie przedmiotu (x) i obrazu (y) związane są równością:

       + =

Konwencja dotycząca znaków jest tu następująca:
x 0            przedmiot znajduje się przed soczewką, po tej jej stronie, skąd dochodzą  promienie świetlne;
x 0            przedmiot znajduje się za soczewką (sytuacja taka ma miejsce wtedy, gdy przedmiotem jest obraz dawany przez inną soczewkę lub zwierciadło);
y 0            obraz powstaje za soczewką (jest wtedy obrazem rzeczywistym);
y 0            obraz powstaje przed soczewką (jest wtedy obrazem pozornym).

P r z y k ł a d .   Jeśli przed soczewka o ogniskowej f= 20 cm umieścimy przedmiot w odległości x = 15 cm od niej, to obraz powstanie w punkcie y = (20 ^. 15)/(15 - 20) cm = - 60 cm .  Punkt ten znajduje się z lewej strony soczewki; obraz jest obrazem pozornym.


Lupa

      Schemat przedstawiony na powyższym rysunku obrazuje działanie soczewki skupiającej jako lupy. Ustawiamy ja w takiej odległości od przedmiotu, by obraz utworzył się w odległości dobrego widzenia (d), czyli ok. 25 cm. W takim przypadku powiększenie lupy wynosi

      p =  =   = 1 +

Ogólny wzór na powiększenie jest prawdziwy dla każdej soczewki.

Luneta

      Luneta składa się dwóch soczewek skupiających ustawionych tak, by ich ogniska się pokrywały. Soczewka od strony przedmiotu nazywa się obiektywem, zaś od strony oka - okularem. Bieg promieni w lunecie przedstawiony jest na rysunku. Ponieważ luneta służy do oglądania przedmiotów odległych, toteż obraz dawany przez obiektyw jest rzeczywisty. Powstaje on przed okularem, tuż za jego ogniskiem, stając się przedmiotem dla okularu. Okular powoduje powstanie kolejnego, ostatecznego już obrazu. Jest to obraz pozorny i odwrócony.

Powiększenie kątowe lunety dane jest wzorem:

      P =

Powiększenie można zwiększyć przez zwiększenie ogniskowej obiektywu lub zmniejszenie ogniskowej okularu. Dodatkową funkcja lunety jest to, iż do jej obiektywu wchodzi znacznie większy strumień światła niż do źrenicy oka. Dzięki temu możliwe jest oglądanie obiektów świecących słabo, w sposób nie dostrzegalny dla oka.

Mikroskop

      Mikroskop służy do obserwacji obiektów bardzo małych, niewidocznych z tego powodu dla oka. Składa się zasadniczo z dwóch soczewek: obiektywu i okularu, o bardzo małych ogniskowych. Odległość l tych soczewek jest większa od sumy ogniskowych: l f₁ + f₂.
      Obserwowany przedmiot umieszcza się tuż przed obiektywem, w odległości nieco większej niż f₁. Dzięki temu powstaje obraz rzeczywisty i odwrócony. Jest on następnie przedmiotem dla okularu, który wytwarza następny obraz, który widzimy okiem przyłożonym blisko okularu. Jego obraz powstaje w odległości dobrego widzenia d

Powiększenie (wypadkowe) mikroskopu jest iloczynem powiększeń dawanych przez obiektyw i okular. Wynoszą one odpowiednio: p₁ =  oraz p₂ = . Tak więc

      p =

Powiększenie mikroskopu może osiągać duże wartości, nierzadko kilka tysięcy. Różne wady soczewek powodują, że przy wyższych powiększeniach pojawiają się nieostrości i obraz staje się zamazany.